2023-2024学年福建省宁德区高一年级下册期中考试数学模拟试题

2023-2024学年福建省宁德区高一下册期中考试数学模拟试题

一、单选题

1.复数z=l+i,贝%=()

A.-l+iB.-l-iC.l+iD.1-i

【正确答案】D

【分析】根据共规复数的概念求解.

【详解】因为复数z=l+i,所以W=IT,

故选:D.

2.已知向量;=(1,2),⅛=(2,-l),则α+∕>=()

A.(―3,—1)B.(—1,3)C.(1,3)D.(3,1)

【正确答案】D

【分析】利用向量的坐标运算直接求解.

【详解】因为向量。=(1,2),⅛=(2,-l),所以“+6=(3,1).

故选：D

3.函数y=sin2x的最小正周期是()

π

A.—B.πC.2万D.4π

2

【正确答案】B

【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.

【详解】解：由函数y=sin2x,

则最小正周期T=券=乃.

故选：B.

4.若卜∕∣=1,W=2>∕^,a∙b=2>则a，Z?的夹角为()

A.0B.-C.-D.—

424

【正确答案】B

【分析】根据向量的夹角公式即可求出.

,ab2Λ∕2

【详解】由题意可得，c°s<α∕>=RW=E3后=~y,由于向量夹角的范围为［0,司，

所以向量α与6的夹角为;.

故选：B.

5.已知复数Z在复平面上对应的点为(2,-1),则()

A.Z的虚部为TB.∣z∣=5C.∑=-2-iD.z-2是纯虚数

【正确答案】D

【分析】根据题意得z=2-i,根据虚部的概念、模的求法、共甑复数的概念、纯虚数的概念依次判

断选项，即可求解.

【详解】A：因为复数Z在复平面上对应的点为(2,-1),

则z=2-i,所以复数Z的虚部为-1,故A错误；

2

B：∣z∣=y∣2+(-ɪ)=亚,故B错误；

C：2=2+i>故C错误；

D：z-2=2-i-2=-i,为纯虚数，故D正确.

故选：D.

6.已知z∣=5+3i,z2=5+4/,下列各式中正确的是

A.Z1>¾B.zl<z2C.∣z,∣>∣z2∣D.∣zl∣<∣z2∣

【正确答案】D

【详解】试题分析：虚数不可比较大小，模可以比较大小，IZJ=J52+32=取,

bJ=τ⅛^`ɪ*4=«瓯，㈤〈㈤

复数的模的计算

7.已知α=log<,7,b=Iog76,c=Iog70.6,则0,b,C的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【正确答案】B

【分析】根据对数函数的单调性可得α>l,0<⅛<l,cvθ.

【详解】⅛a=log67>log66=l,

h=Iog76<Iog77=1J≡L6>Iog71=0,即OVbV1,

C=Iog70.6<Iog71=0,^c<b<a.

故选：B.

本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.

8.在边长为2的正方形ABC力中，点E为边BC上的动点，点尸为边CD上的动点，且。尸=CE,

则BF∙EF的最小值为()

A.3B.5C.-1D.0

【正确答案】A

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设E(2,α),(0≤α≤2),F(2-«,2),则=

即可求最小值.

【详解】以A为原点，AB,AO所在直线分别为尤轴V轴，建立平面直角坐标系

则A(0,0),B(2,0),设E(2,G,(0≤α≤2),由于QF=CE,则F(2—4,2)

BF=II,2),EF=(-a,2-a)

^∖^BF-EF=a2+4-2a=(a-l)2+3

当α=l时，(BFEF)=3

∖∕min

二、多选题

9.已知函数/(x)的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表:

X-11357

-1172-38

则一定包含f(χ)的零点的区间是()

A.(-1,1)B.(1,3)C.(3,5)D.(5,7)

【正确答案】ACD

【分析】由零点存在性定理判断即可.

【详解】因为"x)的图像是一条连续不断的曲线，且/(T)/⑴<OJ(3)"5)<OJ(5)∕(7)<O,

所以一定包含/(x)的零点的区间是(Tl),(3,5),(5,7).

故选：ACD

10.函数〃x)是定义在12,2］上的偶函数，在12,0］上的图象如图所示，则函数/(x)的增区间

是()

A.［—2,2］B.［-2,-l］C.［θ,l］D.［∣.2］

【正确答案】BC

【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到/(x)的单调增区间即可.

【详解】由图象，可知/(X)在上单调递增，在［-1,0］上单调递减.

因为函数是定义在［-2,2］上的偶函数，

所以函数Ax)的图象关于V轴对称，

所以〃x)在［0』上单调递增，在H，2］上单调递减，

所以函数”x)的增区间是［-2,-1］和［0,1］.

故选：BC.

11.已知向量α=(2,1),6=(-3,1),则()

A.(〃+/7)_LaB.∖a+2b∖=5C.若向量C=(一1,2),则CD.(2a+b)∙d≈5

【正确答案】ABD

【分析】根据向量数量积的坐标表示公式，即可判断选项.

【详解】A.α+6=(T,2),(«+i)-«=(-l,2)∙(2,l)=-l×2+2×l=0,所以(α+6),”,故A正确；

B.α+2⅛=(T,3),所以卜+2N=J(-4f+3?=5,故B正确；

C.α=(2,l),C=(T,2),2×2-(-l)×l=5≠0,所以α,C不平行，故C错误；

D.2a+b=(1,3),(2a+⅛)∙α=(1,3)∙(2,1)=1×2+3×1=5,故D正确.

故选：ABD

12.一ASC的内角A,B,C的对边分别为“，b,J下面四个结论正确的是()

A.a=2,4=30。，则一ABC的外接圆半径是2B.若，一=工,则A=45。

cosAsinB

C.若/+从>/,贝U..43C一定是锐角三角形D.若4<8,则SinA<sin3

【正确答案】ABD

【分析】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：由正弦定理知一j=4=2R,所以外接圆半径是2,故A正确；

sinA

对B：由正弦定理及一工可得，坐=驾=1,即tanA=l,由0"<A<180",知A=45。,

cosAsinBcosAsinB

故B正确；

对C：因为cose="+"一/>0,所以C为锐角，但AB不确定，故C错误；

Iab

对D：若4<B,a<b,所以由正弦定理得SinA<sinB,故D正确.、

故选：ABD.

三、填空题

13.己知复数z∣=l+3i,Z2=3+i,则z∣-Z2在复平面内对应的点位于第象限.

【正确答案】二

【分析】利用复数的减法化简复数4-Z2,利用复数的几何意义可得出结论.

【详解】因为复数z∣=l+3i,Z2=3+i,则4—Zz=(l+3i)-(3+i)=-2+2i,

因此，4-4在复平面内对应的点的坐标为(-2,2),即Zl-Z2在复平面内对应的点位于第而象限.

故二.

14.在AABC中，若α=7,b=3,c=8,则AABC的面积等于.

【正确答案】6√3

【分析】先求得SinA,然后根据三角形的面积公式求得AABC的面积.

【详解】由余弦定理得COSA=3-82二7：=工>0,

2×3×82

所以A为锐角，所以A=2,sin4=3，

32

所以Z∖ABC的面积为LbCSinA=Jχ3χ8χ且=65>.

222

故6百

15.已知向量>=(2,4),/7=(-2,∕H),且卜+6卜卜-吁，贝Ij"?=.

【正确答案】1

【分析】根据向量的坐标运算可得向量α+b,"b，再利用模长公式整理即可计算出a=L

【详解】根据题意可知，6z+⅛=(0,4+∕n),6t-⅛=(4,4-m),

所以卜7+=(4+w)^,∣6Z-fe∣=42+(4-m)2,

由卜+母=卜一囚可得H+/??)?=42÷(4-∕n)2,

整理可得16m=16,解得〃7=1.

故1

2V81

16.已知x>0,y>0,若一+—≥>+2机恒成立，则实数阳的取值范围是.

【正确答案】[Y,2]

【分析】先利用基本不等式求出生+跳的最小值，然后解不等式—+—Z*+2zn即可

XyLXTM

【详解】x>O,y>0,

:F等2归=8,当且仅安。，即Ix时等号成立,

.∙.T√+2"7≤8,解得-4≤"Z≤2.

故答案为.[Y,2]

四、解答题

17.已知函数/(x)=COS[2_¥+5).

⑴求函数/(x)图像的对称中心；

(2)求函数〃x)图像的单调递减区间.

【正确答案】(I)Hl+*0,eZ

(2)-q+E,§+左兀，Z∈Z

【分析】(1)根据余弦函数的性质求对称中心；

(2)根据余弦函数的性质求单调递减区间.

【详解】(1)^2x+-=-+⅛⅛∈Z,解得X=E+如次ez,

32122

所以函数/(χ)图像的对称中心为住+M0)kz.

TT

(2)令2⅛π≤2x+]≤兀+2⅛π,左∈Z,

Trπ

解得——+⅛π≤x≤-+Aπ,⅛∈Z,

63

所以函数“X)图像的单调递减区间为q+E,>E,⅛∈Z.

18.已知Z[=-3-4i,z2=(/?-3/??-l)+(/i-zn-6)i,w,∕∕∈R,且Zl=

(1)求实数〃的值；

(2)设复数z=x+yi(χy∈R)满足∣z-z∣∣=l,求IZl的最大值.

【正确答案】(1){“

[n=4

⑵6

【分析】(1)根据复数相等的概念求解；

(2)根据复数的模长的概念以及点到圆上的点的距离的最大值求解.

[n—3tn-1=-3f=2

【详解】(1)因为4=Z2,所以a,,解得”.

[n-m-6=-4[〃=4

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(2)因为Z=X+yi(x,yeR),∖z∖=y∣x+y

所以Z-ZI=(X+3)+(y+4)i,

所以IZ-Zll=J(X+31+(y+4)2=1,即(x+3)2+(y+4)2=1.

所以复数z=x+yi对应的点(χ,y)在以C(-3,-4)为圆心，1为半径的圆上，

且IoCl=J9+16=5,

所以IZl的最大值为IOc+1=6.

19.设函数f(x)="∙6,其中向量α=(,w,COSX),6=(l+sinx,l),xeR,且/("=2.

⑴求实数，”的值；

⑵求函数/(x)的最小值.

【正确答案】(1)1；

Q)I-6.

【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出y(x)，再结合=2即可求出W值；

(2)根据辅助角公式化简./U)解析式，进而根据正弦型函数的性质得到答案.

【详解】(1)向量。=(〃ZcoSx),b=(l+sinx,l),x∈R,

.,.f^x)=a∙b=∕22(l+sirυc)÷cosx,

又„=2，"图=WI(I+si吟卜呜=2,解得m=L

(2)由(1)得/(x)=SinΛ+C°SX+1=应Sin(X+：)+1,

当Sin(X+；)=-1时，f(x)的最小值为1一&.

20.在二ABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=√Lb=l,C=120,求:

⑴角B；

(2)ABC的面积S

【正确答案】(I)B=30

⑵且.

4

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根据面积公式求解.

【详解】(1)由正弦定理工=三，得SinB=史吧C=!，

sinBsinec2

因为在_ABC中，b<cS,C=120,所以8=30.

(2)因为A+8+C=18(),

所以A=180-120-30=30.

所以SɪɪiesinA=^-.

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21.已知函数/(X)=log2(2xMl),g(x)=Iog2(x+1).

(1)求f(∣),g(O)的值；

(2)若/(x)≤g(x),试求X的取值范围.

【正确答案】⑴/(∣)=Lg(0)=0T2)(g,2

【分析】(1)直接代入求解即可得答案；

(2)根据对数函数的单调性求解不等式即可得答案.

【详解】解：(1)因为/(x)