数学北师大版必修2学案1-7-1柱锥台的侧面展开与面积

§7简单几何体的再认识7．1柱、锥、台的侧面展开与面积知识点一侧面积[填一填]1．侧面积的概念把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积(1)圆柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边长为母线长，另一边长为圆柱底面圆的周长．则圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．(2)圆锥的侧面展开图是扇形，如上图②所示，此扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，则圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl，其中r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长．(3)圆台的侧面展开图是一个扇环，如上图③所示，则圆台的侧面积S圆台侧＝π(r1＋r2)l，其中r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l为圆台的母线长．[答一答]1．求圆柱、圆锥、圆台的侧面积的关键是什么？提示：求圆柱、圆锥、圆台的侧面积，关键是在它们的轴截面中求底面半径及母线长．知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积[填一填](1)直棱柱的侧面展开图是矩形，如图①所示，这个矩形的一边是直棱柱的侧棱(也是高)，另一边是直棱柱的底面周长，则直棱柱的侧面积S直棱柱侧＝ch，其中c是直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高．(2)正棱锥的侧面展开图是由全等的等腰三角形拼接成的，如上图②所示，则正棱锥的侧面积S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′，其中c为正棱锥的底面周长，h′为斜高，即为侧面等腰三角形底边上的高．(3)正棱台的侧面展开图是由全等的等腰梯形拼接成的，如上图③所示，则正棱台的侧面积S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′，其中c′，c分别为正棱台的上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等腰梯形的高．[答一答]2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积有何关系？提示：这三种几何体侧面积之间的关系3．如何求简单多面体的侧面积？提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁．(2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．1．在掌握柱体、锥体、台体侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的组合体的表面积，能够将其分解成柱体、锥体、台体，再进一步转化为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．3．棱锥中平行于底面的截面的性质：在棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：eq\f(S小锥底,S大锥底)＝eq\f(S小锥全,S大锥全)＝eq\f(S小锥侧,S大锥侧)＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比．思维拓展：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积时，会大大简化求解过程．在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．类型一柱体的侧面积与表面积【例1】用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的全面积．【思路探究】圆柱的侧面展开图为矩形，圆柱的母线及底面周长为侧面展开图的宽和长，利用这些关系，我们可以在圆柱的侧面积和基本量之间转化．【解】由于卷的方法不同，故有两种情况：(1)如右图(1)，以矩形中8cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，∴OA＝r1＝eq\f(2,π)，此时两底面的面积之和为eq\f(8,π)，S全＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(8,π)))(cm2)．(2)如上图(2)，以矩形中4cm的边为母线，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，∴OB＝r2＝eq\f(4,π)，此时两底面的面积之和为eq\f(32,π)，S全＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32＋\f(32,π)))(cm2)．规律方法圆柱和直棱柱的侧面展开图都是矩形，解决圆柱和直棱柱的侧面积问题时，只需求出相应底面周长及高，再代入侧面积的计算公式即可．对于计算表面积的问题，在侧面积的基础上加上两个底面积即可．底面是菱形的直棱柱，它的体对角线的长分别是7和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是40eq\r(14).解析：依题意，知直棱柱底面的一条对角线长为eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，另一条对角线长为eq\r(72－52)＝eq\r(24)＝2eq\r(6).又菱形的对角线互相垂直平分，故底面边长为eq\r(5\r(2)2＋\r(6)2)＝eq\r(56)＝2eq\r(14)，故S侧＝4×2eq\r(14)×5＝40eq\r(14).类型二锥体的侧面积与表面积【例2】正四棱锥底面边长为4cm，高和斜高的夹角为30°，如图，求正四棱锥的侧面积．【解】正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝eq\f(OE,sin30°)＝4cm.因此S棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32(cm2)．规律方法本题的关键是解正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的Rt△POE.已知正三棱锥的侧棱长等于10cm，侧面积等于144cm2，如图，求棱锥的底面边长和高．解：如图，设正三棱锥S­ABC底面边长为2a，SO为棱锥高，斜高SD在Rt△SAD中，SA＝10，AD＝a，∴SD＝eq\r(102－a2)，由S正三棱锥侧＝3·eq\f(1,2)SD·AB，即144＝3aeq\r(100－a2)得a＝6或a＝8，∴AB＝12或AB＝16，此时SO＝eq\r(SD2－OD2)＝2eq\r(13)或eq\f(2\r(33),3)，∴正三棱锥的底面边长为12cm，高为2或底面边长为16cm，高为eq\f(2\r(33),3)cm.类型三台体的侧面积与表面积【例3】圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的全面积．【思路探究】依据侧面积计算公式，需求出上、下底面的半径．【解】如图所示的是圆台轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin60°＝4eq\r(3)(cm)，AH＝A1A即r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝45°.∴O1M＝O1A1＝r1.同理OM＝OA＝r∴O1O＝O1M＋OM＝r1＋r2＝4eq\r(3)，②由①②可得r1＝2(eq\r(3)－1)，r2＝2(eq\r(3)＋1)．∴S全＝πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＋π(r1＋r2)l＝32(1＋eq\r(3))π(cm2)．规律方法圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面中，为方便起见，旋转体的证明和计算有时不必画立体图形，画出它的轴截面即可．若圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的表面积为(C)A．81πB．100πC．168πD．169π解析：先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长l＝eq\r(h2＋r2－r12)＝eq\r(4r12＋3r12)＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S侧＝π(r2＋r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S表＝S侧＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝100π＋4π＋64π＝168π.类型四三视图与表面积【例4】如图所示，一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为eq\f(\r(3),2)，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．4 D．8【思路探究】解题关键是通过三视图还原为几何体的直观图．【解析】由三视图和已知条件知8个侧面是全等的等腰三角形，且底边和斜高均为1.故表面积为eq\f(1,2)×1×1×8＝4.【答案】C如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(C)A．20π B．24πC．28π D．32π解析：该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长C＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋Ch＋eq\f(1,2)Cl＝4π＋16π＋8π＝28π.故选C.——多维探究系列——有关几何体的表面积中的最值问题【例5】已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？【精解详析】(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面，如图所示，设所求圆柱的底面半径为r，它的侧面积S圆柱侧＝2πr·x，∵eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x.∴S圆柱侧＝2πRx－eq\f(2πR,H)·x2.(2)因为S圆柱侧的表达式中x2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值，此时圆柱的高是x＝－eq\f(2πR,－2×\f(2πR,H))＝eq\f(H,2)>0，且x＝eq\f(H,2)<H，所以当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．如图所示，三棱锥P－ABC的侧棱的长度均为1，且侧棱间的夹角均为40°，动点M在棱PB上移动，动点N在棱PC上移动，求AM＋MN＋NA的最小值．解：三棱锥P－ABC的展开图如图所示，则AM＋MN＋NA＝AN＋MN＋A1M，又∵AN＋MN＋A1M≥AA∴当A，M，N三点共线时，取到最小值．在图中，∵∠A1PB＝∠BPC＝∠CPA＝40°，∴∠APA1＝120°.在△APA1中，AA1＝eq\r(3)，∴AM＋MN＋NA的最小值为eq\r(3).一、选择题1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为(D)A．4 B.eq\f(\r(3),4)C．2eq\r(3) D.eq\r(3)解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为eq\f(\r(3),4)，所以此三棱锥的表面积为4×eq\f(\r(3),4)＝eq\r(3).2．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的(C)A.eq\r(2)倍 B．3倍C．2倍 D．5倍解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.所以eq\f(S侧,S底)＝2.3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(A)A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析：设底面圆半径为r，母线即高为h，∴h＝2πr，∴eq\f(S全,S侧)＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).二、填空题4．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是92.解析：本题考查了三视图及正四棱柱的表面积．该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋eq\r(42＋5－22))×4＝92.5．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是2eq\r(N2＋2Mh2).解析：设长方体的长和宽分别为a，b，则有a·b＝M，eq\r(a2＋b2)·h＝N，2(a＋b)h＝2eq\r(a＋b2)·h＝2eq\r(\f(N2,h2)＋2M)·h＝2eq\r(N2＋2Mh2).三、解答题6．如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．解：旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，因为△ABC为边长为8的正三角形，所以BD＝4，AD＝4eq\r(3)，△EBH中，∠B＝60°，EB＝4，BH＝HD＝DG＝2，EH＝2eq\r(3