《直线、射线、线段（3）》名师教案

1/14.2直线、射线、线段（张祖全）第三课时线段的性质一、教学目标（一）学习目标1.掌握“两点之间，线段最短”的性质，并能熟练应用.2.理解两点的距离，并能计算线段中两点的距离.（二）学习重点掌握“两点之间，线段最短”的性质及应用.（三）学习难点两点的距离定义及计算二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短.（2）连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离.预习自测（1）如图所示，在我国“西气东输”的过程中，从A城市到B城市架设管道，有四条路可供选择，在不考虑其他因素的情况下，架设管道的最短路线是，你能说明为什么吗？【知识点】线段性质.【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，选择②.【思路点拨】根据线段性质直接判断.【答案】②.（2）下列说法中正确的个数是()①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短．A.O个B．1个C.2个D.3个【知识点】线段性质.【解题过程】解：①③正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故②错误.【思路点拨】分清直线性质、线段性质、两点的距离,注意文字表述要准确.【答案】C.（3）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有()A.①②B.①③C.②④D.③④【知识点】线段性质.【解题过程】解：①③属直线性质的应用；②④属线段性质的应用，故选C.【思路点拨】区分直线性质、线段性质.【答案】C.（4）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=4，N是AC的中点，MN=3，则A、B两点的距离是．【知识点】线段性质.【解题过程】解：如图，∵M是线段AB的中点，N是AC的中点，∴AB=2AM，，而AC=4，∴AN=2，∴AM=AN+NM=2+3=5，∴AB=2×5=10．故答案为10．【思路点拨】根据线段中点的定义得到AB=2AM，=2，则AM=AN+NM=2+3=5，所以AB=2×5=10．【答案】10.（二）课堂设计1.知识回顾（1）线段的中点及表示（2）线段的和差计算2.问题探究探究一探究线段性质★●活动①学生自主学习128、129页.师问：从A地到B地有如图所示的三条路线：路线①：半圆的长；路线②：折线AC+CB的长；路线③:线段AB的长.你认为哪条路线最短？学生举手抢答.师问:请用度量或计算的方法，验证你的结论是否正确？学生活动：学生思考，小组讨论，如何比较三条路线的长度，教师点拨.总结：路线①>路线②>路线③，由此得出下列结论：在A、B两点的所有连线中，线段AB最短.释义：“所有连线”包括：直线、射线、线段、折线、曲线等，在这些连线中，线段最短.【设计意图】通过学生动手实践，由具体数据直观判断，探究得出线段性质“两点之间，线段最短”，对性质理解更深刻.探究二线段性质的实际应用★●活动①师问：你能列举“两点之间，线段最短”在生活中的例子吗？学生举手抢答.总结：梳理学生所举实例，正面实例：如修高速路时，隧道将路变直；铺水管时，走最短的路线等.负面实例：横穿公路，公园踩踏草坪等，此时对学生渗透德育教育.【设计意图】通过列举实例，学生体会线段性质的应用在我们生活中处处存在，我们在不知不觉中运用这条性质.●活动②学生活动：完成教材130页第8题.师问：对于线段性质“两点之间，线段最短”，在现实生活中，是否都是以设计最短距离为好？（引发学生深层思考）学生举手抢答.总结：通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，如直的河道改弯曲，可以减缓洪水压力，可以灌溉更多土地；风景区湖中修“九曲桥”，可以在桥上增加游客人数及游客停留时间等.【设计意图】通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，要视情况灵活运用线段性质.●活动=3\*GB3③探究两点的距离★▲师问：什么叫做两点的距离？定义中的关键词是什么？学生举手抢答.总结：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离.师问：下列说法正确吗？为什么？（1）连接两点的线段叫两点的距离；（2）画出A、B两点的距离学生举手抢答：（1）错；（2）错.总结：“线段的长度是距离”，距离是一个非负数，距离可度量，不能说画出来.【设计意图】通过解答上述问题，在教师对定义强调后，让学生全面理解两点的距离的概念,突出对关键词的理解.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1.如图所示，设A、B、C、D为4个村庄，现在需要在四个村庄中间建一个自来水中心，请你确定一个点，使这4个村庄的居民到该中心的距离之和最小．【知识点】线段性质.【数学思想】【解题过程】解：如图，连AC、BD交于O点，此时距离之和=AC+BD为最小.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连AC、BD交于O点，此时距离之和最小.【答案】如图，点O为所求.练习：如图所示，A、B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．【知识点】线段性质.【数学思想】【解题过程】解：如图所示，根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置.【答案】如图，O点为水泵站位置.【设计意图】考查线段性质在实际生活中的应用，通过分析作图，进一步体会用线段性质的原理.●活动2例2.已知线段AB=10cm，点C在直线AB上，试探讨下列问题：(1)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm?并说明理由；(2)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于10cm?若存在，它的位置是唯一的吗？(3)当点C到A、B两点距离之和等于20cm，试说明点C的位置，并举例说明．【知识点】线段性质.【数学思想】分类讨论、数形结合.【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为10cm，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；（3）存在，在A、B两点外5cm处的点均满足条件.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB上任意一点均满足条件；（3）在A、B两点外均存在一个点满足条件.【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为10，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；（3）存在，在A、B两点外5处的点均满足条件.练习：数轴上，点A表示的数是-2，点B表示的数是6.解答下列问题：（1）数轴上是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于6?并说明理由；（2）数轴上是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于8？若存在，它的位置是唯一的吗？（3）数轴上当点C到A、B两点距离之和等于10时，试说明点C表示的数是什么数？【知识点】线段性质.【数学思想】分类讨论、数形结合.【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为8，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；（3）存在，C点表示的数为-3或7时均满足条件.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB上任意一点均满足条件；（3）在A、B两点外均存在一个点满足条件.【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC最短距离为8，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB上任意一点均满足条件；（3）存在，C点表示的数为时均满足条件.【设计意图】线段性质和两点间的距离知识在实际问题中综合应用，渗透数学思想，提升学生的分析能力和思维能力.●活动3例3.如图所示，一只蚂蚁从棱长为l的正方体的一个顶点A沿表面爬行到的顶点B，怎样爬行路程最短？画图说明．【知识点】线段的性质.【数学思想】转化思想【解题过程】解：如图，线段AB均可.【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题，转化为平面展开图中研究.【答案】如图所示线段AB.练习：如图所示，有一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由圆柱的一条高线AB的底端点B沿侧面转圈爬到顶端点A，小蚂蚁怎么走才能使路线最短？请画出最短路线.【知识点】线段的性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】解：如图，将圆柱展开后，则图中线段AB为最短路线.【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题，转化为平面展开图中研究.【答案】如图所示线段AB为最短路线.【设计意图】通过问题思考与解答，让学生懂得解决立体图形中两点最短距离问题，转化为平面图形中进行研究.3.课堂总结知识梳理（1）掌握线段“两点之间，线段最短”的性质，并能进行应用.（2）理解两点间的距离，并能计算线段中两点间的距离.重难点归纳（1）掌握线段性质：“两点之间，线段最短”.（2）理解两点间的距离，并能计算线段中两点间的距离.（三）课后作业基础型自主突破1.如图所示，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因：．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：原因为：应用线段性质“两点之间，线段最短”.【思路点拨】根据：“两点之间，线段最短”解答.【答案】应用线段性质“两点之间，线段最短”.2.如图所示，数轴上标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为________．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：A表示的数为5.【思路点拨】A为中点.【答案】5.3.如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）A.两点之间，直线最短 B.两直线相交只有一个交点C.两点确定一条直线 D.两点之间，线段最短【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，故选D.【思路点拨】根据“两点之间，线段最短”解答.【答案】D.4.A、B、C是不在一条直线上的三个点，下列四个判断中不正确的是()A.AB+AC>BCB.BC+AC>ABC.AB+BC>ACD.AB-BC>AC【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，故选D.【思路点拨】根据“两点之间，线段最短”解答.【答案】D.5.如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选B．【思路点拨】根据线段的性质，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B，据此解答即可．【答案】B．6.数轴上A、B、C三点所表示的数分别为、、，且在AB上，若，AC：CB=1：3，则下列、的关系式正确的是()A．B．C．D．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：∵C在AB上，AC：CB=1：3，∴，又∵，∴．故选A．【思路点拨】根据题意作出图象，根据AC：CB=1：3，可得，又根据，即可得出．【答案】A．能力型师生共研1.在直线上依次取点A、B、C、D，且使得AB：BC：CD=3：4：5，若AB的中点M与CD的中点N的距离为10，求线段AB的长度．【知识点】线段的性质.【数学思想】数形结合、方程思想.【解题过程】解：如图：，由AB：BC：CD=3：4：5，可设，，，由M、N分别为AB、CD中点，得，由线段的和差，得，解得，．【思路点拨】画出图形，根据AB：BC：CD=3：4：5，可得，，，根据线段中点的性质，可得MB、CN的长，根据线段和差，可得的值．【答案】.2.下列说法不正确的是（）A.若点C在线段BA的延长线上，则BA=AC﹣BC.B.若点C在线段AB上，则AB=AC+BC.C.若AC+BC＞AB，则点C一定在线段AB外.D.若A、B、C，三点不在一直线上，则AB＜AC+BC.【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：A.根据线段的延长线的概念，则BA=BC﹣AC，故错误；B.根据线段的和的计算，正确；C.根据两点之间，线段最短，显然正确；D.根据两点之间，线段最短，显然正确．故选A．【思路点拨】熟练掌握线段的和差运算和线段性质解答.【答案】A．探究型多维突破1.如图，已知A、B、C、D四点．(1)经过这四点最多能确定______条线段；(2)如果这四点是公园里湖面上桥的支撑点，图中黑的实线表示桥面，从B地到C地有两座桥如图所示，要想在B、C之间铺设自来水管道，从节省材料的角度考虑，应选择图中①、②两条路中的哪一条，为什么？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪条路线？说说你的理由.【知识点】线段的性质.【解题过程】解：（1）因为A、B、C、D四点不共线，故最多能确定6条线段；铺设自来水管道，从节省材料的角度考虑选②，想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①，理由：两点之间，线段最短.【思路点拨】由：“两点确定一条直线”可确定线段的条数；（2）利用线段性质解答【答案】（1）6；（2）②，①，理由：两点之间，线段最短.2.如图所示，从A地到C地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中，从A地到B地有2条水路，2条陆路，从B地到C地有三条陆路可供选择，走空中从A地不经B地直接到C地，则从A地到C地可供选择的方案有()A.20种B.8种C.5种D.13种【知识点】线段的性质.【解题过程】解：从A到B有4条，每条到C有3条，共12条；从A到C有1条，共13条，故选D.【思路点拨】从A到B有4条，每条到C有3条，共12条；从A到C有1条，共13条.【答案】D.自助餐1.如图，点C在线段AB上，M、N分别是线段AC、BC的中点，M、N两点的距离是4cm，则A、B两点的距离是（）A.10cm B.8cm C.6cm D.4cm【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：∵点M是AC中点，∴，∵点N是BC中点，∴，．∴AB=2MN=8故选B．【思路点拨】由于点M是AC中点，所以，由于点N是BC中点，则，而，从而可以求出AB的距离．【答案】B．2.A、B、C、D四个村庄之间的道路如图，从A去D有以下四条路线可走，其中路程最短的是（）A．A→B→C→D B．A→C→D C．A→E→D D．A→B→D【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：如图所示：从A去D有以下四条路线可走，其中路程最短的是：A→E→D．故选C．【思路点拨】利用两点之间线段最短的性质得出答案．【答案】C．3.如图，从A地到B地，最短路线是__________．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：因为两点之间线段最短，从A地到B地，最短路线是最少走曲线，沿直线，行走即为A→F→E→B.【思路点拨】从A地到B地，要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【答案】A→F→E→B.4.如图：由A到B有三条路线，最短路线是（填序号），理由是_____________.【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：由A到B有三条路线，最短路线是③（填序号），理由是：两点之间，线段最短．故答案为③；两点之间，线段最短．【思路点拨】直接利用“两点之间，线段最短”的性质进行作答.【答案】③；两点之间，线段最短．5.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？点P追上点R时在什么位置？【知识点】线段的性质.【数学思想】数形结合、方程思想【解答过程】解：（1）∵A表示的数为6，且AB=10，∴B表示的数为6﹣10=﹣4，∵PA=6，∴P表示的数