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文档简介

关于随机变量的函数的分布12问题的提出

在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积A=

的分布.比如，已知圆轴截面直径d

的分布，第2页,共19页，2024年2月25日，星期天3设随机变量X

的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面进行讨论.

这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.第3页,共19页，2024年2月25日，星期天4

定义设有函数，与是两个随机变量，如果当随机变量取值时，随机变量取值为，则称随机变量是随机变量的函数，记作．则称Y的概率分布为随机变量X函数的分布．第4页,共19页，2024年2月25日，星期天5一、离散型随机变量函数的分布解：当X

取值

1，2，5时，

Y取对应值

5，7，13，例1求

Y=2X+3的概率分布.而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.故第5页,共19页，2024年2月25日，星期天6练习1第6页,共19页，2024年2月25日，星期天7第7页,共19页，2024年2月25日，星期天8如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.一般地，若X是离散型r.v，X的分布律为X～则Y=g(X)～第8页,共19页，2024年2月25日，星期天9

设随机变量

X

具有以下的分布律，试求

Y=(X-1)2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:Y有可能取的值为0，1，4.

且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1，所以,P{Y=0}=P{X=1}=0.1,例2第9页,共19页，2024年2月25日，星期天10同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7,P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,pkY0140.10.70.2所以，Y=(X-1)2的分布律为：pkX-10120.20.30.10.4Y=(X-1)2例2（续）第10页,共19页，2024年2月25日，星期天11练习２已知

X

的概率分布为Xpk-1012求：Y2=X

2

的分布律．解Y2pi1014Y2pi014第11页,共19页，2024年2月25日，星期天12二.连续型随机变量函数的分布解题思路第12页,共19页，2024年2月25日，星期天13设随机变量X

具有概率密度：试求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函数

FY(y)：例3第13页,共19页，2024年2月25日，星期天14例３（续）第14页,共19页，2024年2月25日，星期天15

整理得Y=2X+8

的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式例３（续）第15页,共19页，2024年2月25日，星期天16设随机变量

X

具有概率密度求

Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函数

FY(y)：例４第16页,共19页，2024年2月25日，星期天17例４（续）第17页,共19页，2024年2月25日，星期天18

定理

设随机变量X

具有概率密度则Y=g(X)

是一个连续型随机变量Y，其概率密度

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