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年级：2010专业：工科各专业课程号：110103061020-20学年第二学期本科试卷答案学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院:专业:学号:姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――学院第6页（共6页）第5页（共7页）题号一二三四五六七八总成绩得分判卷人复核人得分一、填空题（共5题，每题3分,共15分）1.设函数，则.答：2.交换二次积分的次序为．答：3.若级数收敛，则．答：4.若曲线积分在面内与路径无关，则．答：25.若函数有连续偏导数，且，为任意分片光滑闭曲面，则曲面积分．答：0得分二、单项选择题（共5题,每题3分,共15分）1.函数在点处两个偏导数及存在，是函数在点可微的（B）条件.（A）充分；（B）必要；（C）充分且必要；（D）即非充分又非必要.2.设，其中具有连续的导数，则下列等式成立的是（D）（A）;（B）;（C）;（D）.3．由几何意义，二重积分（B）.（A）；（B）；（C）；（D）0．4．若是圆周，则曲线积分（A）．（A）；（B）；（C）；（D）．5．若幂级数在点收敛，则级数（C）．（A）发散；（B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）收敛性无法确定．得分三、偏导数和全微分计算题（共2题,每题6分,共12分）1.设函数,验证.解:由，有，（2分）由变量的对称性，得，（4分）于是.（6分）2.设函数由方程确定，求全微分.解:方程两边对求导（将看作的函数），有，解得（2分）类似地，有（4分）因此,.（6分）得分四、重积分计算题（共2题,每题7分,共14分）1．计算二重积分，其中区域由曲线及围成．解：（4分）（6分）．（7分）２．计算三重积分，其中是由平面及旋转抛物面所围成的闭区域．解：原式．（4分）.（7分）

得分五、线面积分计算题（共2题,每题6分,共12分）1．计算曲线积分，其中是上从到一段．解：（3分）．（6分）2.计算曲面积分，其中是介于圆柱内的平面．解：：，，，（2分）原式（3分）（5分）．（6分）得分六、级数题（共3题,每题6分,共18分）1.判断级数的收敛性．解：由，（3分）根据比值审敛法,级数收敛（6分），

2.求幂级数的收敛半径与收敛区间.解：由，（2分）故收敛半径．（4分）由，得，收敛区间为.（6分）3.将函数展开为的幂级数，并指出收敛区间．解：（1分）（5分）收敛区间为（6分）

得分七、极值题（8分）在平面上求一点，使它到点和的距离平方和最小.解:设所求点为，则此点到点和的距离平方和为（1分）作拉格朗日函数，(2分）令（4分）求得（5分）由于驻点惟一，根据问题本身可知，距离平方和最小的点必定存在，（7分）故所求点为.（8分）

得分八、证明题（6分）已知为严格递增的正数数列，且.记.证明:当时,级数收敛.证明:=1\*GB2⑴当时，，（1分）的部分和=.（2分）故，此时级数收敛.（3

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