《新工科大学物理》课件第7章 气体动理论2

理想气体物态方程若分子总数为N玻尔兹曼常数则7.3温度的微观解释所以（1）处于平衡态的理想气体，分子的平均平动动能与气体的温度成正比。同一温度下,各种气体分子平均平动动能均相等。比较与压强公式得(3)温度是统计概念,是大量分子热运动的集体表现。对于少量的分子，温度的概念就失去了意义。说明(2)温度的本质是物体内部分子热运动剧烈程度的标志。是分子热运动平均平动动能的度量。例1.容积V的容器中装有N1个氧分子和N2个氮分子的混合气体，混合气体的压强P，求：（1）分子的平均平动动能；（2）混合气体的温度。解：（1）由压强公式（2）自由度（i）

:确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标数目。7.4能量均分原理一、自由度的概念i=3i=2i=1t平动自由度；r转动自由度。v

振动自由度。

自由度数目1.单原子分子(看作质点)t=3.i=3

既有平动，又有转动。平动可看作质心的平动。

两个被看作质点的原子被一质量不计的刚性杆相连。xyzμ1μ2C2.刚性双单原子分子t=3,r=2，i=5。3.多原子分子六个自由度水蒸气、甲烷等t=3,r=3，i=6。三个或三个以上原子构成的分子。刚性分子自由度633多原子分子523双原子分子303单原子分子总i转动r平动t分子自由度分子的平均平动动能：二、能量按自由度均分定理能量均分定理在温度为T的平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其值为。自由度为i的分子的平均动能：单原子分子多原子分子双原子分子理想气体的内能：分子动能和分子内原子间的势能之和。

1mol

理想气体的内能

νmol理想气体的内能三、理想气体的内能

理想气体的内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。例1体积为V的钢瓶中盛有氧气，使用一段时间后，测瓶中气体压强为P。求:

此时氧气的内能。

解:内能利用理想气体物态方程得氧气的内能例2在容积为V的容器内盛有质量不等的两种单原子分子理想气体，设处于平衡状态时，它们的内能相等，且均为E，求混合气体的压强。

解:设两种气体的物质的量分别为和

混合气体物态方程两种气体的内能分别联立可得一、速率分布函数在平衡态下，0℃空气分子数按速率的分布100200300400500600700m/s5%10%15%20%25%0每一速率区间内分子数取决于速率和速率区间间隔大小。7.5麦克斯韦速率分布定律1、速率分布函数

平衡态下，在v~v

+dv

区间内分子数dN占总分子数N比率为，由于和速率区间dv有关，dv越大，则越大，通常用来反映分子的速率分布，它与所取区间无关，而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数物理意义：在速率v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。2、速率分布曲线Ovf(v)f(v)以v为横轴，f(v)为纵轴，作出的分布函数f(v)的曲线，称为分布曲线。它反映了平衡态下气体分子数按速率的分布规律。窄条面积：总面积：归一化条件：部分面积：Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2速率分布曲线下的面积

v~v

+dv区间的分子数在总数中占的比率v1~v

2区间的分子数在总数中占的比率Ovf(v)dvvf(v)f(v)dv二、速率分布函数的应用利用速率分布函数可求出：1.v~v

+dv区间的分子数v~v

+dv区间内分子数：dN总分子数：N3.v~v

+dv区间的分子数在总数中占的比率2.v1~v

2区间的分子数4.v1~v

2区间的分子数在总数中占的比率5.v1~v

2区间分子的平均速率

v1~v

2区间内分子平均速率：

v1~v

2内任取

v~v

+dv

区间，其中。该区间内的分子个数因为dv很小，可近似认为dN个分子的速率相等，均为v，于是dN个分子的速率之和为：

v1~v

2内的分子速率之和为：

v1~v

2内的分子总数：

v1~v

2内的分子的平均速率6.v1~v

2区间分子的方均速率

v1~v

2区间内分子方均速率：

v1~v

2内任取

v~v

+dv

区间，其中。该区间内的分子个数因为dv很小，可近似认为dN个分子的速率相等，均为v，于是dN个分子的速率的平方的和为：

v1~v

2内的分子速率的平方的和为：

v1~v

2内的分子总数：

v1~v

2内的分子的方均速率7.分子的平均速率8.分子的方均速率9.最概然速率vp（1）定义：速率分布函数曲线（f(v)~v)曲线峰值所对应的速率。（2）意义：在vp附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大。分子的平均速率，方均根速率和最概然速率

vp统称为速率分布的特征速率。Ovf(v)例1有N个粒子，其速率分布曲线如下图，则求常数a等于:()O解：(A)(B)速率分布函数的归一化条件为：即速率分布曲线下的总面积等于1，即(C)(D)答案为（C）例2有N个粒子，其速率分布函数为：(1)作速率分布曲线并求常数a；(2)求速率区间在(

，

）内分子的平均速率；(3)求速率区间在(0

，

）之间的分子数解(1)由归一化条件，得O(2)(3)三、麦克斯韦速率分布定律1.麦克斯韦速率分布定律其中，m为分子质量，

T为温度，k=1.38×10-23J/K是玻耳兹曼常量。早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式2.麦克斯韦速率分布曲线的性质气体分子速率可取的一切值，但v

很小和v很大的分子所占比率小，具有中等速率分子所占比率大。

Ovf(v)vp3.三个统计平均值(1)平均速率

(2)方均根速率

利用公式

(3)最概然速率,

vp在vp时,分布函数应有极大值。利用公式

三种统计速率比较f(v

)vf(vP)研究碰撞讨论分布计算平均平动动能O同温度下不同气体速率分布N2分子在不同温度下的速率分布1.

vp

与温度

T的关系:2.

vp

与分子质量

的关系:讨论氢气分子氧气分子例3计算在27oC时，氢气和氧气分子的方均根速率。解例4如图示两条曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，从图上数据求出两气体最概然速率.2000解:34357.6玻耳兹曼分布律

一定量的气体处于平衡态时，若不计外力场的作用，其分子将均匀分布，分子数密度和温度都是处处相等的。

当考虑外力场对气体作用时，其分子数密度和压强将不再是均匀分布了。1877年玻耳兹曼求出了在外力场中气体分子按能量分布的规律——玻耳兹曼分布律。36一、玻耳兹曼分布律由麦克斯韦速率分布律式中因子指数是一个与分子平动动能有关的量：故麦克斯韦速率分布律可以表示为37麦克斯韦速率分布律

玻耳兹曼将分布推广到分子在外力场（如重力场）中的情况，认为分子总能量为动能势能

平衡态下温度为T的气体中，位置在x~x+dx，y~y+dy，

z~z+dz

中，且速度在vx~vx+dvx,vy~vy+dvy,vz~vz+dvz区间分子数为38式中n0表示势能为零处单位体积内含有各种速度的分子数。

上式反映了气体分子按能量的分布规律，称为玻耳兹曼能量分布律。39二、重力场中粒子按高度的分布

在重力场中，分子受到两种作用：一是分子热运动，使得分子趋于均匀分布；二是重力作用，使得分子趋于向地面降落。

当这两种作用共同存在而达到平衡时，气体分子在空间形成一种非均匀稳定分布，气体分子数密度和压强都将随高度而减小。40

在x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz

区间中的分子数为分子按势能分布规律括号内积分为1，所以41两边与dV=dxdydz相比，得势能为处单位体积内含有各种速度的分子数—分子按势能的分布律。在重力场中，地球表面附近分子的势能为42分子在重力场中按势能分布为式中n0、n分别为h=0和h=h处分子数密度。说明

（1）分子数密度n随高度的增大按照指数减小。

（3）气体温度越高（分子热运动剧烈），n就减小的越缓慢。

（2）分子质量

越大（重力的作用显著），n就减小的越迅速。43三、气压公式将地球表面的大气看作理想气体，有代入式子，得气压公式结论：大气压强随高度增加按照指数减小。气体分子平均速率空气分子在270C时的平均速率为476m/s.矛盾克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。分子运动论佯谬:在常温下，空气分子速率400~500米/秒，如果在讲台上打开一瓶香水，后排的同学立刻就可闻到香水味。但实际需要1~2分钟才能闻到，扩散与分子速率102m/s矛盾.7.7气体分子的平均自由程

单位时间内分子与其他分子碰撞的平均次数。一、分子的平均碰撞频率dA

研究分子碰撞规律时，可把气体分子看作相互间无吸引力的有效直径为d的弹性小球。分子之间的碰撞为完全弹性碰撞。

跟踪分子A,观察它在

t时间内与多少分子相碰。

圆柱体的截面积为

，称为分子的碰撞截面。

=

d2

分子A的运动轨迹为一折线，以A的中心运动轨迹为轴线，以分子有效直径d为半径，作一曲折圆柱体。凡中心在此圆柱体内的分子都会与A相碰。dA假设其他分子静止不动，只有分子A在它们之间以平均速率

运动。平均碰撞次数即在

t时间内与A相碰的分子数：dA

在

t

内，