人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式 教案

/第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式第二课时14.2.2完全平方公式1教学目标1.1知识与技能：熟练掌握完全平方公式的结构特征,并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。掌握完全平方公式的相关推论。1.2过程与方法：经历探索完全平方公式的过程,并会根据多项式的乘法法那么推导完全平方公式。会结合几何图形直观解释这一公式,渗透数形结合的思想。1.3情感态度与价值观：在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。2教学重点/难点/易考点2.1教学重点完全平方公式的结构及灵活运用。2.2教学难点理解公式中字母的广泛含义〔可以是数字、单项式、多项式〕。a,b,a+b,ab,a−b,a2+b2,六者的关系。3专家建议完全平方公式这一节内容在整个初中数学乃至学生后续学习中占有十分重要的地位,它直接和因式分解,一元二次方程,二次函数等内容相关,尤其是a,b,a+b,ab,a−b,a2+b2六者的关系将在后续数学课程中非常多地见到。尽管教材内容有限,但出于扩展、深入讲解的要求,并考量之前刚刚学习过平方差公式,本节分为两课时讲述非常必要。这一课时最好只涉及完全平方公式的内容,给学生降低台阶,使学生能充分认知新公式。4教学方法情景引入——探索新知——概念延伸——补充讲解——练习提高5教学用具多媒体。6教学过程6.1引入新课【师】同学们好。上次课我们学习了平方差公式,大家还记得吗？【生】(a+b)(a−b)=a2−b2【师】没错。平方差公式可以看做是一类特殊的多项式相乘得到的结果,那我们今天继续来学习另外一类特殊的多项式——完全平方公式。【板书】第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式6.2新知介绍情景引入：扩建花坛【师】正课开始之前,我们先来看这样一个实际生活中的问题,请大家看投影。学校为了美化环境,决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。扩建完的花坛仍为正方形,边长增加b米。那新修建的花坛面积可以怎么表示呢？给大家两分钟时间想一想,学习小组之间可以交流和思考一下。【生】〔两分钟思考交流,给出答案〕。整个正方形的边长为(a+b),因此面积可以表示为(a+b)2。将整个正方形分为四局部,面积可以表示为a2+2ab+b2。【师】大家从刚刚这个例子中能得到什么样的猜测呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。探索和介绍：完全平方公式【师】大家刚刚提出了一个猜测,那下面请看投影上给出的多项式的乘法,大家按照多项式乘以多项式的法那么,把结果算出来。(p+1)2=(p+1)(p+1)=。(m+2)2=。【生】〔计算并给出答案〕。【师】现在大家观察一下这两个等式,有什么共同的特点吗？【生】左边都是两个完全相同的和相乘,右面是两个平方项的和加上一个单项式。【师】非常好。那这样的话,我们可以抽象出下面这个通式,它包括了刚刚各位提出的式子的特点。请大家算一算：(a+b)2等于多少。【生】得出答案：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2【师】好了,大家现在得到了结论：(a+b)2=a2+2ab+b。这正好印证了大家刚刚的猜测。这就是两数和的完全平方公式,也就是说两数和的平方,等于这两个数的平方和,加上这两个数的乘积的2倍。〔板书并介绍概念〕【板书/PPT】一、完全平方公式1. (a+b)2=a2+2ab+b2【师】那我们接着来看下面一组多项式,请大家算出它们的结果。(p−1)2=(p−1)(p−1)=。(m−2)2=。【生】〔计算并给出答案〕。【师】这一组多项式和刚刚有什么区别吗？【生】左边变成完全相同的两个差相乘,右面变成了两个平方项的和减去一个单项式。【师】非常好。那这样的话,请直接根据刚刚的两数和的完全平方公式,大家算一算：(a−b)2等于多少。【生】得出答案：(a−b)2=[a+(−b)]2=a2+2a(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2【师】好了,大家现在得到了结论：(a−b)2=a2−2ab+b2,这就是两数差的完全平方公式,也就是说两数差的平方,等于这两个数的平方和,减去这两个数的乘积的2倍。〔板书并介绍概念〕【板书/PPT】(a−b)2=a2−2ab+b2【师】刚刚我们直观地用图形表示了两数和的完全平方公式,那下面大家能仿照刚刚的方法,用旁边这幅图,直观说明(a−b)2=a2−2ab+b2吗？。【生】〔给出答案,跟之前的例子类似,这里略〕【师】我们刚刚介绍的这一组公式,可以简写成(a±b)2=a2±2ab+b2,这一组公式就叫做完全平方公式。〔板书给出概念,以及记忆口诀〕【板书/PPT】2.简写：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧记：首平方,尾平方,积的2倍放中央,中间符号同前方。【师】请大家注意完全平方的形式。这里的(a±b)2和a2±b2是有很大区别的。(a±b)2读作a与b的和〔或差〕的平方。a2±b2读作a与b的平方的和〔或差〕。(a±b)2先算和差,再平方；a2±b2先算各自的平方,再求和。另外,假设a≠0且b≠0,那么(a±b)2≠a2±b2,也就说,通常情况下,这两个式子不相等！边学边练：相关例题讲解【师】〔教师给出教材110页例题3和4的四个小题,并给出答案,这里注意强调学生怎样对应运用公式,并可以指出公式里的a,b还可以是数字,用于简化计算〕。完全平方公式的变号法那么。【师】好了,下面大家来思考这样一组问题〔教材110页思考〕。(a+b)2和(−a−b)2相等吗？(a−b)2和(b−a)2相等吗？(−a+b)2和(a−b)2相等吗？大家可以自己动手算一算,或者简单一点的话,我们在学习有理数的时候曾经讲到过,(a−b)和(b−a)的关系,可以联想并得到答案。【生】都相等,因为：(−a−b)2=(−a)2−2·(−a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2(b−a)2=b2−2ab+a2=a2−2ab+b2=(a−b)2(−a+b)2=(b−a)2=(a−b)2【师】没错。那刚刚的这几个问题就告诉我们,计算完全平方的结果时,最好先把括号里的首项化为正,这样便于对应公式。如果我们根据幂的乘方,就可以把这上面的一组结论推广到高次幂上〔板书或PPT给出结论〕。【PPT/板书】二、变号法那么及其扩展：计算完全平方的结果时,最好先把括号里的首项化为正,可以简便运算。一般规律：(−a−b)2k=(a+b)2k,(−a+b)2k=(a−b)2k=(b−a)2k,其中,k为正整数【师】下面我们就根据刚刚的这一组结论,来看下面两道例题。〔给出例题：(−2a−3b)2,(−2x+5)2,并运用上述知识把首项变成正,再按照完全平方公式计算〕重要推论【师】下面我们来挑战一个稍稍有点难度的题目。大家看,：a>b,且a+b=3,ab=2,那么a−b=？大家可以先前后桌思考和讨论一下,看看这道题怎么做。【生】〔给出答案,思路应如下〕。【师】那根据刚刚的启发,下面我们就来给出两组重要的关系〔板书或PPT〕【板书/ppt】三、两个重要关系a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab(a+b)2−(a−b)2=4ab知二推四：a,b,a+b,ab,a−b,a2+b2【师】一般地,在a,b,a+b,ab,a−b,a2+b2中,只要能够知道其中两个的式子取值,就能够根据完全平方公式,求出另外四个式子的值！课堂小结〔投影,给出知识脉络图〕6.3复习总结和作业布置课堂练习利用完全平方公式计算以下各题(−2x+5)2=(−4x−3y)2=982=512=计算(2x−1)2−(3x+1)2假设(x−1)2=x2+kx+1,那么49−k的值是多少?解不等式：(2x−5)2+(3x+1)2>13(x2−10)a+b=2,a2+b2=10,试利用完全平方公式,简便地求ab,(a−b),a,b的值。答案：4x2−20x+25,16x2+24xy+25x2,9604,2601原式=4x2−4x+1−(9x2+6x+1)=4x2−4x+1−9x2−6x−1=−5x2−10xk=−2,49−k=492=(50−1)2=2500+1−100=2401解：(4x2−10x+25)+(9x2+6x+1)>13x2−1304x2−10x+25+9x2+6x+1>13x2−13013x2−4x+26>13x2−130−4x>−156x<44(a+b)2=a2+2ab+b2=4,a2+b2=10,ab=−3(a−b)2=(a+b)2−4ab=4+12=16∴a−b=4或−4假设a−b=4,解二元一次方程组,得a=3,b=−1同理,假设a−b=−4,那么得a=−1,b=3作业布置1、完成配套课后练习题2、预习提纲：因式分解：公式法7板书设计第十四章整式的乘法和因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2简写：(a±b)2=a2±2ab+b2,完全平方公式巧记：首平方,尾平方,积的2倍放中央,中间符号同前方。变号法那么及