高一上学期期末复习【第二章 一元二次函数、方程和不等式】八大题型归纳（基础篇）（解析版）

高一上学期期末复习第二章八大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型题型1不等关系的建立1．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（A．a+b+c<130且abcC．a+b+c≤130且abc【解题思路】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”.【解答过程】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+c≤130故选：C.2．（2023上·贵州遵义·高一统考阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmh，为使物资能在A．4060+x>1C．3560+5【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即3560故选：D．3．（2023·全国·高一专题练习）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2【解题思路】根据题意结合矩形菜园的边长和面积列出不等关系即可.【解答过程】解：因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<则菜园的另一条边长为30-x所以菜园面积S=根据题意有S≥216，即x故不等关系可用不等式表示为0<x4．（2023上·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2，(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm【解题思路】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,bm（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积，再比较a+nb+【解答过程】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为am2,所以b≤a10%=10所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0<a则a+因为b>0,n>0又因为a<b，所以因此a+nb所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.题型题型2利用不等式的性质判断正误1．（2023下·上海宝山·高一统考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（A．1a<1b B．a2<【解题思路】根据不等式的性质判断即可.【解答过程】因为a<b<0，所以1因为a<b<0，所以a>b因为a<b<0，所以a因为a<b<0，所以a2故选：D.2．（2023下·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若a>b>0，则ac>bcC．若a<b<0，则a2>【解题思路】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.【解答过程】对于A，若c=0，则ac=bc对于B，若a=1，b=-2，则a<对于C，若a<b<0，a<0，可得对于D，若a=3，b=2，c=-1，则ab故选：C．3．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若a>b，则(2)若ac2>(3)若a>b，c>(4)若a>b，则【解题思路】（1）取c=0（2）根据不等式的性质即可求解，（3）（4）举反例即可求解.【解答过程】（1）若a>b，当c=0时，则（2）由于ac2>bc2，故c（3）若a=2,b=1，c此时满足a>b，c>d（4）若a>b，不妨取a=1,b=0，则4．（2022·高一课时练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>(2)若ab>c，b>0(3)若ac>bc，则(4)若a>b，c>【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】（1）∵c∴-a∴a故成立.（2）∵ab>c∴ab即a>（3）取a=1,b=2,c=-1时，满足（4）取a=1,b=0,c=3,d=-1，满足题型题型3由基本不等式比较大小1．（2023下·安徽马鞍山·高一统考期中）若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，A．a2+bC．2ab D．【解题思路】首先利用均值不等式比较a2+b2与2ab的大小和【解答过程】∵0<a<1，0<b∴a2+b2>2ab∴a故选：D.2．（2023上·上海宝山·高一校考阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中0<q<pA．先提价p%，再提价q% B．先提价qC．分两次，都提价p2+q【解题思路】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【解答过程】设原来的水价为a，AB选项中，两次提价后的水价为a1+C选项中，两次提价后的水价为a1+D选项中，两次提价后的水价为a1+因为0<q<p<1，则所以，p2+q即a1+由基本不等式可得a1+所以，a1+故选：C.3．（2023·上海·高一专题练习）已知0<a<1，0<b<1，则a+b，【解题思路】先利用基本不等式判断最大数为a+b或a【解答过程】因为a>0，b>0，所以a+所以四个数中最大的数应为a+b或又因为0<a<1，a所以a2+b24．（2023·高一课时练习）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b【解题思路】首先利用综合法，结合基本不等式，证得2a2+b2+c2⩾2ab【解答过程】∵a2+b2⩾∴a2+b2①式两边分别加上a2+b2+c②式两边分别加上2ab3(ab+bc+综上，a2+b题型题型4利用基本不等式求最值（无条件）1．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）设x>0，则函数y=xA．6 B．7 C．11 D．12【解题思路】先化简为y=x【解答过程】∵x>0，当且仅当x=25x所以函数y=x2故选：C.2．（2022上·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）以下说法正确的是（

）A．x+1B．x2+C．x2+2+D．若正实数a，b满足a+b=1，则(a+【解题思路】利用基本不等式可判断BD的正误，根据反例及取等条件可判断AC的正误.【解答过程】对于A，取x=-1，则x+1x=-2，故x对于B，x2+1|x|对于C，x2+2+1故x2+2+1x2+2对于D，(a若(a+1a)(b+即ab+1ab而a+b=1，故1≥2ab即故ab=1不成立即(a故选：B.3．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知0<x(1)x3-(2)x3-2【解题思路】利用基本不等式计算即可.【解答过程】（1）∵0<x∴x3-当且仅当x=3-x，即所以x3-x的最大值为（2）∵0<x∴x3-2当且仅当2x=3-2x所以x3-2x的最大值为4．（2023上·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）（1）已知0<x<1，求（2）已知x>54，求【解题思路】（1）利用二次函数的性质即可求解最大值；（2）对4x-【解答过程】（1）记fx=2x则fx所以当x=14时，函数f所以2x(1-2x（2）因为x>54所以4x当且仅当4x-5=14x-题型题型5利用基本不等式求最值（有条件）1．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y-xyA．25 B．16 C．37【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x+∴2故选:D.2．（2023上·北京·高一校考期末）已知实数x，y满足x>0，y>0，且3x+1A．8 B．10 C．12 D．14【解题思路】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可．【解答过程】因为x>0，y>0，且所以x+3当且仅当9yx=则x+3y的最小值为故选：C．3．（2023上·福建泉州·高一泉州五中校考期中）已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2(1)求1a(2)求a2＋4b2＋5ab的最大值.【解题思路】(1)利用1a(2)a2+4b2+5ab=(a+2b【解答过程】（1）1∵a>0,b>0，当且仅当2ba=2∴1a+2（2）∵a2又a+2b=2≥22ab，当且仅当a=2b，即a故a2+4b4．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知x>0,y>0（1）求xy的最大值；

（2）求x1+【解题思路】（1）利用基本不等式求xy的最大值；（2）首先构造∵x1+【解答过程】（1）∵2∴当且仅当x=∴xy的最大值是3（2）∵当且仅当2x2=1+∴x1+y题型题型6一元二次不等式的解法1．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{A．{x|-1<x<12} BC．x|-2<x<1【解题思路】根据不等式ax2+bx+2>0【解答过程】解：因为不等式ax2+ax2+bx+2=0的两根为-1，2，且a<0，即-则不等式可化为2x2+x-1<0，解得故选：A.2．（2023上·山东菏泽·高一校考期末）若t>1，则关于x的不等式t-xA．x|1t<x<t B．x|x<【解题思路】首先根据不等式的性质可得1t<t，进而将不等式转化为【解答过程】因为t-1t=t+1t原不等式t-xx-1所以，不等式t-xx故选：A.3．（2023上·内蒙古赤峰·高一统考期末）解下列不等式：(1)2x(2)-3(3)x+5(4)x【解题思路】（1）先因式分解，然后直接求解即可；（2）利用求根公式即可求解不等式；（3）分类讨论，将分式不等式变为整式不等式求解；（4）先整理，然后直接求解即可.【解答过程】（1）∵2x∴2∴-3<x即不等式的解集为-3,（2）∵-3x∴3x解得x≤1-33即不等式的解集为-∞（3）∵x∴x+5≤解得-13≤即不等式的解集为-13,3（4）∵x整理得x2解得x≠1即不等式的解集为-∞4．（2023上·河北承德·高一校考期中）已知不等式ax(1)若a=-2，解不等式a(2)当a≥0时，求关于x的不等式a【解题思路】根据十字相乘，对不等式进行因式分解，计算对应方程的根，通过根的大小比较，确定解的范围即可.【解答过程】（1）当a=-2时，代入不等式得-整理式子-2所以不等式的解集为：-∞（2）当a=0时，代入不等式得x+2<0当a>0时，不等式整理得ax+1x+2<0，对应得方程ax所以对两根大小进行讨论：当-2<-1a，即a当-2=-1a，即a当-2>-1a，即0<综上所述：当a=0时，不等式的解集为：-当0<a<1当a=12当a>12题型题型7三个“二次”关系的应用1．（2023·全国·高一课堂例题）不等式ax2-bx+c>0A．

B．

C．

D．

【解题思路】根据题意，可得方程ax2-bx+c=0的两个根为x=-2和x=1【解答过程】因为ax2-所以方程ax2-bx+c=0则-2+1=b故函数y=且与x轴的交点坐标为1,0和-2,0，故A选项的图象符合故选：A.2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）二次方程ax2+bx+c=0a>0的两根为2A．x|x>3或x<-2 B．C．x-2<x【解题思路】根据a>0，确定二次函数y=ax2+bx+【解答过程】因为二次方程ax2+bx+又二次函数y=所以不等式ax2+bx+c故选：B.3．（2023上·山西临汾·高一校联考阶段练习）已知二次函数y=x2-a-1x(1)当a=3时，求x(2)求关于x的不等式y+1≥0的解集【解题思路】（1）根据根与系数的关系得x1+x（2）讨论两根大小求解一元二次不等式.【解答过程】（1）当a=3时，y由题意可知x1,x2是方程x2故x1（2）不等式y+1≥0可转化为x当a>-1时，不等式y≥1的解集是当a=-1时，不等式y≥1的解集是当a<-1时，不等式y≥1的解集是4．（2023上·江西萍乡·高一统考期末）已知二次函数fx满足f0=0，请从下列①和①fx+2=fx+1+2(1)求fx(2)若fx在-1,m上的值域为-1,3【解题思路】（1）若选择①，设fx=ax2+（2）由二次函数的性质求解即可.【解答过程】（1）设fx=ax2+bx若选择①：则ax即2ax则2a=2，3a+b=1，解得若选择②：则不等式ax2+b-1x-4<0的解集为-则-1+4=-b-1a，-1（2）由（1）知，函数fx对称轴为直线x=1，且f1=-1若fx在-1,m上的值域为-令x2-2x=3，解得x综上所述：实数m的取值范围为1,3.题型题型8一元二次不等式的实际应用1．（2022上·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P（单位：元/件）与月销售量x（单位：件）之间的关系为P=160-2x，生产x件的成本（单位：元）R=500+30x.若每月获得的利润y（单位：元）不少于A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解题思路】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.【解答过程】由题意，得y=xP-令y≥1300，得-2x∴x-20故选：D.2．（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A．10,20 B．15,20 C．16,20 D．15,25【解题思路】根据题中条件列出不等式，解出即可.【解答过程】由题意，得x45-3即x2-30x解得10<x<20.又每枚的最低售价为15元，∴故选：B.3．（2023上·陕西宝鸡·高一校考阶段练习）如图，在长为8m，宽为6【解题思路】设花卉带的宽度为xm，根据已知条件求出x的取值范围，求出草坪的长和宽，根据题意可得出关于x的