高一上学期期末复习【第三章 函数的概念与性质】十大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期期末复习第三章十大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型题型1由函数的定义域或值域求参数1．（2023上·陕西西安·高一统考期中）已知函数fx=mx2A．[1,9] B．(1,9)C．(-∞,1]∪[9,+∞【解题思路】利用题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得实数m的取值范围.【解答过程】由题意得mx2+(当m=0时，不等式可化为-3x当m≠0m>0m-综上，实数m的取值范围是1≤故选：A.2．（2023·高一课时练习）已知集合A={1,2,3,k},B=4,7,a4,a2+3a，其中aA．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【解题思路】由函数的定义域求出值域，然后由集合中元素的互异性与集合相等分类讨论求解即可.【解答过程】函数f(x)=3x+1所以当x=1时，f(1)=3+1=4；当x=2当x=3时，f(3)=9+1=10；当x=所以B=4,7,10,3k所以若a2+3a=10，解得a=2或a此时B=4,7,16,10，所以3k若a4=10，又a综上a=2，k故选：D.3．（2023上·天津河西·高三统考期中）已知函数fx(1)当a=0时，求f(2)若fx的定义域为-2,1，求实数(3)若fx的定义域为R，求实数a的取值范围【解题思路】（1）配方求解值域；（2）得到-2和1是方程1-a（3）考虑a=1，a=-1和1-a2【解答过程】（1）当a=0时，f所以fx的值域为15（2）因为fx的定义域为-所以-2和1是方程1-a故-2+1=3a-1（3）当a=1时，fx=当a=-1时，fx=当1-a2≠0时，由题意，1-令1-a2>0综上所述，实数a的取值范围-54．（2022上·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知f((1)若a=4时，求f(2)函数g(x)=x2+1f【解题思路】（1）根据函数解析式，采用分离常数项的方法，结合不等式性质，可得答案；（2）根据二次根式的定义，结合二次函数的性质，可得答案.【解答过程】（1）由a=4，则f由不等式性质，则x2≥0，1+x2≥1，0<故fx∈-2,4，即（2）由题意，gx由函数h(x)=g(x)当a=0当a≠0时，根据二次函数的性质，可得a其中a-42-2a≥0，a2-综上，故a∈题型题型2求函数值或由函数值求参1．（2023上·浙江·高三校联考期末）已知函数fx=x+12A．113 B．116 C．12160【解题思路】计算得出f1n【解答过程】f1所以，f=2×3×4×⋯×11故选：B.2．（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数fx满足：对任意的非零实数x，y，都fx+y=1x+1yfxA．-3 B．-2 C．2 D【解题思路】由题意可得，n+1n×2=1【解答过程】由题意可得，f1+又fn所以n+1n×2=1，而n故选：B.3．（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数f((1)当x=2时，求f(2)若f(a)=2a【解题思路】（1）将x=2代入f(（2）根据f(a【解答过程】（1）∵函数f(x∴当x=2时，f（2）函数f(x)=因为f(a)=2即a+2=2a(a-所以a=-124．（2023上·云南曲靖·高一校联考阶段练习）已知数fx(1)求函数fx(2)求f-(3)已知f2a+1=【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.（2）根据函数的解析式求得正确答案.（3）根据已知条件解方程来求得a.【解答过程】（1）由解析式知：x-1≠0x+3≥0，可得故定义域为{x|x（2）f-f6（3）由f2a+1所以2a+4=9⇒a=5所以a=题型题型3利用函数的单调性比较大小1．（2023上·河北邢台·高一邢台一中校考阶段练习）已知f2-x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则fA．f52<C．f72<【解题思路】根据f2-x=fx+2【解答过程】因为f2-x=fx因为fx在0,2上单调递减，所以f故选：A.2．（2023下·江苏徐州·高二校考期末）已知函数fx的图象关于直线x=1对称，当x1≠x2且x1，x2∈(1,+∞)时，fx2-fA．c>a>b B．c>b【解题思路】根据已知条件得到函数fx在1,+∞上是减函数，再由函数fx的图象关于直线【解答过程】当x1≠x2且x1可得fx在1,+∞上单调递减，且fx所以在-∞,1上单调递增，∵2<52<即b>故选：D.3．（2023上·北京顺义·高一校考期中）已知函数fx(1)利用函数的单调性定义证明函数fx在2,+(2)比较fa+4【解题思路】（1）由定义法证明函数的单调性；（2）通过单调性比较函数值的大小.【解答过程】（1）函数fx=xfx由2<x1<x2，x1x所以函数fx在2,+∞（2）a>1，则a+4a≥24a由a>1，有a2-1>0，则函数fx在2,+∞上单调递增，所以4．（2023上·江苏常州·高一校考期中）定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(mn(1)求证：f(x)(2)若f(2)=1，解不等式f(3)比较f(m+【解题思路】（1）抽象函数单调性证明，第一步定义域下取值，第二步作差，第三步比大小，第四步结论.（2）抽象函数解不等式，利用定义的运算及函数的性质列式求解即可.（3）利用函数性质及基本不等式列式求解即可.【解答过程】（1）证明：设0<x1<x2f(x2则f(x)（2）若f(2)=1，则f（2）+f（2）=f（4则不等式f(x+2)-即f(x+2)>则满足{x+2>02x>0（3）因为f(mn)=2f∴f题型题型4利用函数的单调性解不等式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足fA．13,23 B．[13【解题思路】由已知有0≤2x-【解答过程】因为函数f(x)是定义在区间[0,+所以0≤2x-1<故选：D.2．（2022上·广东·高二校联考期末）定义在0,+∞的函数y=fx满足：对∀x1，x2∈0,+∞，且A．9,+∞ B．0,9 C．0,3 D．【解题思路】构造函数g(x【解答过程】由x2fx1-则两边同时除以x1x2令g(x)=f(由fx>3x得f即g(x)>故选：D.3．（2023上·云南保山·高一统考期末）已知定义在0,+∞上的函数fx,满足fmn=fm(1)讨论函数fx的单调性,并说明理由(2)若f2=1,解不等式【解题思路】(1)取m=x2,n=x1,利用单调性的定义,进行取值,(2)先根据f2=1,求得f8=3,再利用抽象函数的式子化为fx+33x>【解答过程】（1）解:fx在0,+∞上单调递增,因为fx定义域为0,+不妨取任意x1,x2∈0,+∞由题意fx2x1所以fx在0,+∞（2）因为m,n≠0,令m=mnfm即fmn由f2=1,可得令m=4,n则f8所以不等式fx即fx+3-f由(1)可知fx在定义域内单调递增所以只需3x>0x+3>0所以不等式fx+3-4．（2023上·云南楚雄·高一校考期末）已知函数fx的定义域为0,+∞，且对任意的正实数x、y都有fxy=fx+f（1）求证：f1（2）求f1（3）解不等式fx【解题思路】（1）令x=4，y（2）令x=y=4，可求得f16，再令x=16（3）先求出函数fx在0,+∞上的单调性，根据条件将原不等式化为f【解答过程】解：（1）令x=4，y=1，则∴f1（2）∵f16=f∴f1（3）设x1、x2>0且x∴fx∴fx在0,+∞又∵fx∴x>0x-∴原不等式的解集为{x题型题型5函数奇偶性的应用1．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知fx是定义在R上的奇函数，f3=3，对∀x1,x2∈0,+∞A．-∞,1 B．-5,1 C．-【解题思路】设出函数Fx=xfx【解答过程】解：因为fx是定义在R所以F所以函数Fx是定义在R因为对∀x1,x2所以fx在[0所以fx当0<x1<所以x1fx所以Fx在[0因为Fx=xf所以Fx在（因为F3所以x+2fx所以x+2<3，解得故选：B.2．（2023下·贵州毕节·高一统考期末）fx是定义在-8,8上的偶函数，且f4A．f0<fC．f-2<【解题思路】利用偶函数的性质和f4>【解答过程】由于函数y=fx是定义在-对于A选项，f0与f对于B选项，f4与f对于C选项，f4对于D选项，f3与f1故选：C.3．（2023上·重庆沙坪坝·高一校考阶段练习）已知函数f(x)是R上的奇函数，当x(1)当x<0时，求f(2)若f(1-a)+f【解题思路】（1）根据奇函数性质f(（2）先判断函数f(x)在R根据单调性解抽象不等式即可.【解答过程】（1）因为函数f(x)是R上的奇函数，当x所以当x<0时，-x>0，因为f(x)=-故当x<0时，f（2）由（1）知，fx当x≥0时，f当x<0时，f(x)也单调递增，所以函数因为f(1-a)+即f(1-a)<f-所以1-a<-2a故实数a的取值范围为：-∞4．（2022上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）已知定义在R上的函数fx(1)求证：fx(2)求证：fx在R(3)求不等式f2-x【解题思路】（1）判断f-x（2）任取x1,x（3）将原不等式移项得f2-x2<-f3【解答过程】（1）由已知函数定义域为R，关于原点O对称，∴所以函数fx（2）任取x1,f因为x1所以x所以fx在R（3）不等式可化为f因为fx在R所以不等式可化为2-解得x∈题型题型6函数性质的综合应用1．（2023上·山东淄博·高三统考期中）已知函数y=xfx是R上的偶函数，fx-1+A．fx的图象关于直线x=2对称 B．4是C．f2023=5【解题思路】易得y=f【解答过程】∵函数y=xfx是R上的偶函数当x≠0时，有-f-x=故y=对于A：∵fx-从而f(-∴-f即fx的图象关于直线x=2对称，对于B：∵f即fx-4∴fx=fx-8若fx周期为4，则fx-4+对于C：f2023=f对于D：当x∈-2,0时，y=2又y=fx为奇函数，∴又0<1∴f12<故选：A.2．（2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数fx定义域为a-1,2a，且y=fx-1的图象关于x=1对称，当A．23,5C．13,2【解题思路】分析可知函数fx为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a的值，根据函数fx的单调性、偶函数的性质，结合fx-1>【解答过程】因为函数y=fx令gx=fx-即f1-x=故函数fx是定义在a-1,2a上的偶函数，则所以，函数fx是定义在-由题意可知，函数fx在0,由fx-1所以，x-1<因此，不等式fx-1故选：A.3．（2022上·江苏南通·高一校考期中）函数y=fx的定义域为D①对任意x∈D，都存在m，n∈D，使得②若m，n∈D且fm③当a＞0且a为常数时，④当0＜x＜(1)证明：函数y＝(2)证明：函数y＝(3)判断函数y＝fx在区间【解题思路】（1）根据函数性质结合奇偶性的定义即可证明；（2）根据周期性的定义分别讨论f(x)≠0（3）根据单调性的定义分别证明fx在区间(0,2a]上是单调减函数和fx【解答过程】（1）函数fx的定义域为D对任意实数x∈D，在定义域中存在m,n∈则f∴fx为奇函数（2）因为f(a)=1，所以所以f(-2a当f(x)≠0所以f(当f(x)=0f(f(x+4综上，fx是以4a（3）fx在区间(0,4a先证fx在区间(0,2a设0<x1<x2≤2a，则0<x2-x1<2因为fx2-x1所以fx在区间(0,2再证fx在区间2a设2a<x1<因为fx1-同理，fx所以fx1-所以fx在区间2当0<x≤2a当2a<x<4a时，0<综上，fx在(0,4a4．（2023上·北京·高一校考期中）“函数φx的图象关于点m,n对称”的充要条件是“对于函数φx定义域内的任意x，都有φ(x)+φ(2(1)求f(0)+(2)设函数g①证明函数gx的图象关于点(2,-4)②若对任意x1∈0,2，总存在x2∈-【解题思路】（1）计算f(x)+f（2）①计算g(x)+g(4-x)=-8，由新定义即可证明.②求出g(x)的值域，设fx在【解答过程】（1）由题意可得，f(x)+f(2-（2）①由g(x)=g(x)+g(4-x)=4x所以函数gx的图象关于点(2,-4)对称②g(x)=4x2-x不妨设fx在0,2上的值域为A，则A因为x∈0，所以f(1)=2，即函数fx的图象过对称中心（i）当a2≤0时，即a≤0，函数f由对称性可知，fx在1,2上单调递增，所以fx在由f(0)=a+1，f(0)+f由A⊆-1,4，可得a（ii）当0<a2<1时，即0<a<2，函数fx在由对称性可知，fx在1,2-a2上单调递增，f所以fx在0,a2上单调递减，在a结合对称性可得，A=f(2),f因为0<a<2，所以f(0)=易知f(a2)=-a所以当0<a<2时，（iii）当a2≥1时，即a≥2时，函数f由对称性可知，fx在1,2上单调递减，所以函数fx在又f(0)=a+1，f(2)=3-a3-a≥-1a综上可知，实数a的取值范围为-1,3题型题型7由幂函数的图象与性质求参数1．（2023上·江苏常州·高一校考期末）若函数fx=m2-m-5A．-2 B．3 C．-2或3 D．2【解题思路】根据函数为幂函数以及幂函数具有的性质，可列式计算，即得答案.【解答过程】由题意函数fx=m可得m2-m解得m=3故选：B.2．（2023上·广西贵港·高一统考期末）若幂函数fx=x-m2+2m+259的图象关于y轴对称，A．19 B．19或499 C．-13【解题思路】由题意知fx是偶函数，fx在-∞,0上单调递减,可得-【解答过程】由题意知fx是偶函数，因为fx在-所以-m又-m∴-(m-1)2故选：D．3．（2023上·云南楚雄·高一统考期中）已知幂函数fx=m2-(1)求m的值；(2)设函数gx=fx+2【解题思路】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得m的值.（2）根据函数的单调性求得gx在-【解答过程】（1）因为fx是幂函数，所以m2-所以m-3m+1=0因为fx在0,+∞上单调递增，所以m>0（2）由（1）可得gx因为y=x3与y所以gx在-因为g-1=-6所以gx在-1,3上的值域为4．（2023上·青海西宁·高一校考期中）已知幂函数fx=x-m2-(1)求m的值及fx(2)设函数gx=fx-x+【解题思路】（1）根据幂函数单调性得到-m2-m+2>0，结合m（2）转化为x2-x+a>1【解答过程】（1）fx=x-m所以-m2-因为m∈Z，所以当m=-1,0时，fx=（2）gx由题意得x2-x即a>-x2其中-x2+故a>题型题型8比较幂值的大小1．（2022上·重庆九龙坡·高一统考期末）已知a=3513A．a<b<c B．b<c【解题思路】根据幂函数的单调性进行判断即可.【解答过程】b=35所以由53>35>故选：C.2．（2023上·安徽·高一校联考期中）幂函数fx=m2-m-1xA．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．无法判断【解题思路】由已知条件求出m的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可【解答过程】由函数fx=m2-m-当m=2时，fx=x3因为函数fx在0,+∞上是单调递增函数，故又a+b>0所以fa>f故选：A．3．（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组中两个数的大小：(1)1.51.4，1.6(2)1.50.4，1.6(3)1.5-1.5，【解题思路】利用幂函数的单调性，比较函数值的大小.【解答过程】（1）1.51.4，1.61.4可看作幂函数y=x1.4的两个函数值．该函数在0,+（2）1.50.4，1.60.4可看作幂函数y=x0.4的两个函数值．该函数在0,+（3）1.5-1.5，1.6-1.5可看作幂函数y=x-4．（2023上·河北沧州·高一校联考期中）已知幂函数fx(1)求m的值；(2)若a≠0，试比较fa与【解题思路】（1）根据幂函数的定义以及性质进行求解；（2）分成a>0，a<0【解答过程】（1）因为fx是幂函数，所以3m2-m当m=0时，f当m=13所以m=0（2）由（1）得fx=x-2当a>0时，由a2+1-因为fx在0,+∞上为减函数，所以当a<0时，-a>0，由a因为f-a=(-a所以fa综上，fa题型题型9利用幂函数的性质解不等式1．（2023上·甘肃庆阳·高一统考期末）已知幂函数fx的图象过点2,32，若fa+1+fA．2,+∞ B．1,+∞ C．0,+∞【解题思路】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在R上单调递增，fa+1+f【解答过程】设幂函数y=fx=xα，其图象过点所以fx因为f-x=-x所以fa+1+可得a+1>1，解得a>0，所以a的取值范围为故选:C.2．（2022·高一单元测试）已知幂函数y=xm2-2m-3m∈A．0,+∞ B．C．0,32 D【解题思路】由条件知m2-2m-3<0，m∈N【解答过程】幂函数y=xm2-2m-3m∈N*在0,+当m＝1时，y=x-当m＝2时，y=x-3的图象不关于y轴对称，舍去，故不等式化为a+1函数y=x-13故a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或故选：D．3．（2023上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知幂函数fx(1)求函数fx(2)若f2x-【解题思路】（1）根据幂函数的定义求得m的值，再结合幂函数的奇偶性确定函数解析式；（2）根据幂函数的单调性与奇偶性列不等式即可求得x的取值范围．【解答过程】（1）已知幂函数fx=m2-3m所以fx=x3或fx（2）由于幂函数fx=x4在0,+∞上单调递增，又函数f若f2x-1<所以x的取值范围是-1,14．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知幂函数y=k2+k-1⋅(1)求m和k的值；(2)求满足a+1-m<【解题思路】（1）按题意列方程即可求解.（2）由函数的单调性即可求解.【解答过程】（1）∵幂函数fx=k2+k-1又因为幂函数fx在0,+∞上是减函数，∴m2∵m∈N*，∴m=1或当m=1时，fx=当m=2时，f综上，k=-2或1，m（2）由（1）可得m=1，∴原不等式可化为而函数y=x-1在所以不等式可化为：a+1>3-2a>0或3-2解得23<a题型题型10函数模型的综合应用1．（2023上·陕西渭南·高一统考期末）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲、乙两厂的总费用y（千元）与印制证书数量x（千个）的函数图像分别如图中甲、乙所示，则下列说法正确的是（

）

A．选择甲厂比较划算B．选择乙厂比较划算C．若该单位需印制证书数量为8千个，则选择乙厂比较划算D．当该单位需印制证书数量小于2千个时，不管选择哪个厂，总费用都一样【解题思路】由图象写出甲乙厂费用函数解析式，数形结合判断印制证书数量与甲、乙两厂总费用大小关系，即可判断各项的正误.【解答过程】由图知：甲厂费用函数为y=12当0<x<2时，12x+1=32x，可得结合图象知：当0<x<1或x>6时乙厂划算；当1<x<6所以A、B、D错，C对.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（

）A．aB．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.5D．注射一次治疗该病的有效时间长度为531【解题思路】根据图象求出函数的解析式，可判断A选项；解不等式y≥18可判断BD选项；将t=【解答过程】将点M的坐标代入y=kt，可得将点M的坐标代入y=12t-所以，y=4t当0<t≤1时，由y=4t≥当t>1时，由y=12t故不等式y≥18所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为6-132=53132注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18=0.5故选：B.3．（2023上·山东滨州·高一统考期末）近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当0≤x≤4时，y=86-x-1；当4<x≤10时，(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（1≤a≤4）个单位的消