新课第02讲：平面向量的运算 原卷版

新课第02讲：平面向量的运算【考点梳理】考点一：向量加法法则 考点二：向量加法的运算律考点三：向量加法法则的几何应用 考点四：相反向量考点五：向量减法法则 考点六：向量减法的运算律考点七：向量减法法则的几何应用 考点八：向量加减法的综合问题【知识梳理】知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线eq\o(OC,\s\up6(→))就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则知识点二向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半知识点三：相反向量1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.知识点四：向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（

）

A． B． C． D．2．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（

）

A． B． C． D．3．（2023下·江西赣州·高一校联考期中）化简以下各式:①；②；③；④，结果为零向量的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4题型二：向量加法的运算律4．（2022下·广东梅州·高一兴宁市第一中学校考期中）等于（

）A． B． C． D．5．（2022·高一课时练习）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（）A．5 B．4C．3 D．26．（2020下·辽宁阜新·高一校考阶段练习）下列向量的运算结果为零向量的是（

）A． B．C． D．题型三：向量加法法则的几何应用7．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（

）A． B． C．3 D．48．（2023下·山西阳泉·高一统考期末）菱形中，，若，则（

）A． B． C． D．9．（2023下·辽宁抚顺·高一校联考期中）在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（

）A． B．C． D．题型四：相反向量10．（2021下·高一课时练习）下列等式中，正确的个数为（

）①②③④⑤⑥．A．3 B．4C．5 D．611．（2021下·安徽滁州·高一校联考期中）如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（

）A．与 B．与 C．与 D．与12．（2020·河南·高一校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么A． B． C． D．题型五：向量减法法则13．（2023·全国·高一专题练习）（）A． B． C． D．14．（2023下·海南·高一校考期中）如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（

）

A． B． C． D．15．（2023下·重庆万州·高一校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．题型六：向量减法的运算律16．（2023下·天津和平·高一天津市第五十五中学校考阶段练习）下列各式中不能化简为的是（

）A． B．C． D．17．（2021下·广东深圳·高一校考阶段练习）化简的结果为（

）A． B． C． D．18．（2021下·浙江·高一校联考阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（

）A． B． C． D．题型七：向量减法法则的几何应用19．（2023下·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（

）A． B．C． D．20．（2022下·新疆阿克苏·高一校联考期中）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（

）

A． B．C． D．21．（2022下·新疆昌吉·高一校考期末）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形题型八：向量加减法的综合问题22．（2023下·新疆·高一校考期中）化简下列各向量的表达式：(1)；(2)；(3)；23．（2023下·广东佛山·高一佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）在平行四边形中，已知，且，．求．24．（2023·高一课时练习）已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：．

【双基训练】一、单选题25．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（

）A． B． C． D．26．（2023下·广西钦州·高一统考期末）已知四边形是平行四边形，则（

）A． B． C． D．27．（2023下·全国·高一随堂练习）下列各式中，化简后不是零向量的是（

）A． B．C． D．28．（2023下·河南驻马店·高一校联考期中）在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形29．（2023下·海南儋州·高一校考阶段练习）化简的结果等于（

）A． B． C． D．30．（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．31．（2023下·山东泰安·高一统考期中）下列向量的运算结果不正确的是（

）A．B．C．D．32．（2023下·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且为的中点，则（

）

A． B． C． D．33．（2023·高一课时练习）已知向量，，，满足，记的最大值为，最小值为，则（

）A． B．2 C． D．1二、多选题34．（2023下·湖南怀化·高一校考期中）下列各式中结果一定为零向量的是（

）A． B．C． D．35．（2023下·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考阶段练习）下列说法中错误的是（

）A．单位向量都相等 B．对于任意向量，，必有C．平行向量不一定是共线向量 D．若，满足且与同向，则36．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（

）A．若，则存在实数，使得.B．若，则.C．若，则，反向.D．若，则，一定同向37．（2023下·云南普洱·高一校考阶段练习）化简以下各式：①；②；③；④．结果为零向量的是（

）．A．① B．② C．③ D．④38．（2023下·江苏扬州·高一统考期末）如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（

）.

A． B．C． D．三、填空题39．（2023·全国·高一随堂练习）化简：（1）；

（2）；（3）；

（4）．40．（2023下·高一课时练习）如图所示，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形，

则：（1）与向量相等的向量有；（2）与向量相反的向量有；（3）与向量的模相等的向量有.（填图中所画出的向量）41．（2023·高一课时练习）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式：①

②

③

④其中正确的题号是．42．（2023·全国·高一专题练习）已知非零向量满足，，则的最大值为.四、解答题43．（2023下·河南南阳·高一统考阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点．(1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由．(2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量．44．（2022下