棱柱棱锥的面积和体积

棱柱的侧面积和体积：

S直棱柱侧=ch,S斜棱柱侧=c’l,V柱体＝Sh

hSLSS’柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝Sh

α定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h2S2hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。

把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离分别是h1，截面面积分别是S1，S2根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。锥体的体积公式

定理三：如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh棱锥的侧面积和体积1、正棱锥的侧面积：S=ch’2、等底面积等高的两个棱锥的体积相等。3、如果一个棱锥的底面积是S,高是h，那么它的体积是V锥体＝Sh例1：三棱柱的底面是边长为5的等边三角形，其中一条侧棱与底面两边都成600的角，侧棱长为4，求三棱柱的侧面积。ABCA’B’C’例2.如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱底面边长0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米

2400千克.求这个石柱的重量.解:V棱锥=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克).0.5米1米0.3米例3.在三棱锥V-ABC中,AC=BC=13,AB=10，三个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.O在三角形内部。BACVEOFD(2)求：三棱锥的高.

(3)求：三棱锥的体积.

(1)求证：O是△ABC的内心.

OD为VD在平面ABC内的射影,根据三垂线定理,得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角，∠VDO=60o.同理∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）过O在平面ABC内分别作AB、AC、BC的垂线,D、F、E为垂足.连结VD、VF、VE.AEOFDB因为VO⊥平面ABC,OD⊥AB,显然OD=OE=OF=VOctg60o,即点O到△ABC三边距离相等.因此O是△ABC的内心.CVEOFDAB例4.已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o,底面边长a,求它的高、体积.ABCDSEOABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO，则SO为正四棱锥的高.

过B作BE⊥SC,E为垂足.连结DE,

则∠DEB为二面角D-SC-B的平面角,

所以DEB=120o.ASBCDEO连结OE,例5.如图三棱锥V-ABC中,D为BC上一点,E为AV上一点,BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱锥的体积.VABCDENEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：EVABCDBC=6,ED=4,AV=8.例6、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动,H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF

A

D

BCE

θ

证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE⊥BC。

∴∠AED＝θ。例7：已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθ＝S△ABC·ADcosθ＝×BC·AEcosθ·ADV三棱锥＝S△BCD·AD＝×BC·DE·AD例8：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθ

A

D

BCE

θ

问题1、ADcosθ有什么几何意义？

F

结论：V三棱锥＝S△ABC·DF

例9、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθ

A

D

BCE

θ

结论：V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED

问题2、解答过程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。

分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）AB

CD

A’

C’B’

D’问题1、你能有几种解法？

问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？C

D

AB

问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式

V四面体＝S△BCD·h

解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE练