2.1两条直线的位置关系 课件 2023-2024学年北师大版数学七年级

2.1两条直线的位置关系（第1课时）cdab在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．动手画一画、看一看、说一说两条直线的位置关系．

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线．cdab

在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．如图所示，是一把剪子的示意图，∠1和∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？剪子在剪东西的过程中，∠1和∠2的大小关系还保持不变吗？你有何结论？OBACD1234提示：从角的定义入手分析．直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．OBACD1234怎样说明∠1＝∠2，∠3＝∠4？猜想：对顶角的大小有什么关系？OBACD1234∠1＝∠2，∠3＝∠4．对顶角的性质：对顶角相等．说明：因为直线AB与CD相交于O点，所以∠AOB＝180°，∠COD＝180°，所以∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2．同理可得∠3＝∠4．所以∠1＋∠3＝∠2＋∠3，OBACD12341．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（）12121212DABCD

2．如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？

解：可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，所量角是40°．理由如下：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1＝∠2＝40°．21如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角．若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角，其中∠1是∠2的补角，∠2也是∠1的补角．12类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角，其中∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角．12余补如图1，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2．图1图2将图1简化为图2，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1＝∠2．图1图2在图2中：（1）哪些角互为补角？哪些角互为余角？互为补角的有：∠1与∠AOC，∠1与∠DOB，∠DON与∠NOC，∠2与∠DOB，∠2与∠AOC．互为余角的有：∠1与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4，∠2与∠3．图2（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？解：∠3＝∠4．理由如下：因为∠1＝∠2，∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°，所以∠3＝∠4．图2等角的余角相等（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？图2解：∠AOC＝∠BOD．理由如下：等角的补角相等因为∠1＝∠2，∠1＋∠AOC＝180°，∠2＋∠BOD＝180°，所以∠AOC＝∠BOD．“同角或等角的补角（或余角）相等”包含两方面的内容：（1）同一个角的补角（或余角）相等；（2）相等的角的补角（或余角）相等．同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．

例已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多20°，求∠B的度数．解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为(3x＋20)°．由题意，得x＋(3x＋20)＝90．解得x＝17.5．

答：∠B的度数为17.5°．1．如图，若∠1＝56°，则∠2＝_______．56°O212．下列说法正确的是（）A．互余的两个角都是锐角B．锐角一定等于它的余角C．两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关D．若∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A，∠B，∠C三个角互补A3．一个角的补角比这个角的余角的一半大95°，求这个角．解：设这个角的度数为x°，则它的余角的度数为(90－x)°，它的补角为(180－x)°．解得x＝80．

答：这个角的度数为80°．由题意，得

．两条直线的位置关系相交平行必做题

1．因为∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，所以∠2＝_____，理由是________________________．

2．因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，所以∠2＝_____，理由是________________________．

3．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示）．若∠1＝42°，∠2＝28°，则光的传播方向改变了______°．例1

如图，平面内三条直线交于点

O

.

(1)若∠

AOC

＝

，则

AB

⊥

CD

；(2)若

AB

⊥

CD

，则∠

AOC

＝

⁠；(3)若∠1＝30°，∠2＝60°，则直线

AB

与直线

CD

的关系是

⁠

⁠．90°

90°

AB

⊥

CD

垂线的画法例2

如图，请过点

P

画出

AB

的垂线．解：如图，直线

CD

即为所求．

解：如图，直线

CD

即为所求．总结：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

3.

(1)如图1，过点

P

分别画出

OA

，

OB

的垂线；解：(1)如图1，即为所求．(2)如图2，过点

A

画出

BC

的垂线．解：(2)如图2，即为所求．

垂线段的性质和点到直线的距离4.

垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，

⁠

⁠最短．例3

如图，点

P

是直线

l

外一点，点

A

，

B

，

C

，

D

在直线

l

上，则

PA

，

PB

，

PC

，

PD

四条线段中，最短的线段是

⁠．垂

线段

PC

5．

如图，某单位要在河岸

l

上建一个水泵房引水到

C

处．他们的做

法是：过点

C

作

CD

⊥

l

于点

D

，将水泵房建在了

D

处．这样做最节省水

管长度，其数学道理是

⁠．垂线段最短

1．

如图，建筑工人常在一根细绳上拴上一个重物，做成一个“铅

锤”，挂铅锤的线总垂直于地面内的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说

明墙与地面垂直，其所蕴含的数学原理是

⁠

⁠．

平面内，过一点有且只有一条

直线与已知直线垂直

基础巩固2．

如图，已知点

O

在直线

AB

上，

CO

⊥

DO

于点

O

，若∠1＝

145°，则∠3的度数为（

C

）A．

35°B．

45°C．

55°D．

65°C3．

如图，直线

AB

，

CD

相交于点

O

，

OM

⊥

AB

于点

O

.

(1)若∠

BOC

＝2∠

AOC

，求∠

BOD

的度数；解：(1)因为∠

BOC

＝2∠

AOC

，∠

BOC

＋∠

AOC

＝180°，所以2∠

AOC

＋∠

AOC

＝180°.所以3∠

AOC

＝180°.所以∠

AOC

＝60°.因为∠

BOD

与∠

AOC

是对顶角，所以∠

BOD

＝∠

AOC

＝60°.(2)若∠1＝∠2，请判断

ON

与

CD

垂直吗？如果垂直，请说明理由．解：垂直．理由如下：因为

OM

⊥

AB

，所以∠

AOM

＝90°.所以∠

AOC

＋∠1＝90°.因为∠1＝∠2，所以∠

AOC

＋∠2＝90°.所以

ON

⊥

CD

．

4．

【教材P43习题T3改编】如图，

A

，

B

，

C

，

D

为四个村庄，为解

决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池

H

的位置，使它到四个村

庄距离之和最小；解：(1)如图所示，连接

AC

，

BD

交于点

H

，点

H

即为所求．(2)计划把河水引入蓄水池

H

中，怎样开渠使渠道最短？说明理由．解：(2)如图，过点

H

作

HG

⊥

EF

，垂足为点

G

，沿线段

HG

开渠最短．理由是：直线外一点与直

线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．本课复习1．

如图，已知

AC

⊥

AB

，∠1＝30°，则∠2的度数是（C）A．

40°B．

50°C．

60°D．

70°C2．

如图，经过直线

l

外一点

A

画

l

的垂线，能画出（A）A．

1条B．

2条C．

3条D．

4条A3．

如图，点

O

为直线

AB

上一点，

OC

⊥

OD

，如果∠1＝35°，那

么∠2的度数是

⁠．55°

4．

某中学在创建绿色和谐校园活动中，要在一块三角形花园里种植

两种不同的花草，同时拟从点

A

修建一条花间小径到边

BC

．

若要使修建

小路所使用的材料最少，过点

A

作

AD

⊥

BC

于点

D

，线段

AD

即为所求，

这样作图的理由是

⁠．垂线段最短

5．

如图，∠1＝133°，

AO

⊥

OB

于点

O

，点

C

，

O

，

D

在一条直

线上，则∠2的度数为

⁠．43°

循环复习6．

如图，直线

AB

，

CD

相交于点

O

，

OA

平分∠

EOC

，若∠

EOC

＝65°，则∠

BOD

＝

⁠．32.5°

1．

如图，

CO

⊥

AB

于点

O

，

OD

平分∠

COB

，则∠

AOD

的度数为

（

C

）A．

120°B．

130°C．

135°D．

140°C课堂练习2．

下列选项中，过点

P

画直线

AB

的垂线

CD

，三角尺放法正确的是

（

C

）C3．

如图，小华同学的家在点

P

处，他想尽快到达公路边去接从外地

回来的外婆，他选择沿线段

PC

去公路边，他的这一选择用到的数学知识

是（

D

）A．

两点确定一条直线B．

两点之间，直线最短C．

两点之间，线段最短D．

垂线段最短D4．

点

P

为直线

m

外一点，点

A

，

B

，

C

为直线

m

上三点，

PA

＝4

cm，

PB

＝5cm，

PC

＝2cm，则点

P

到直线

m

的距离（

D

）A．