5.1.1任意角（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A

第5章

三角函数人教A版2019必修第一册5.1.1任意角01.任意角02.角的运算目录03.象限角和终边相同角学习目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．Topic.0101复习导入复习导入

在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形.oBA定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．oAB角的范围是

0°～360°

昼夜变化

四季交替

月亮圆缺

潮起潮落圆周运动情景导入现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种规律称为周期性.情景导入圆周运动是一种常见性的周期性变化现象所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.问题1：如何刻画圆周上一点P的位置变化？可以借助角α来描述P点的位置变化Topic.0202任意角任意角

现实生活中随处可见超出了0°～360°的角，如在体操、跳水等比赛中，常常听到“转体1080°”、“转体1260°”。再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手旋转所成的角方向不同.因此，要准确的描述这些现象，不仅要知道旋转的角度，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广。任意角一条射线OA绕着端点O旋转到另一个位置OB，

所形成的图形为角α。角的定义“角α”或“∠α”可以简记为“α”角的图示角的记法O为顶点，OA为始边，OB为终边任意角（1）旋转方向我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角没有任何旋转，就称它形成了一个零角+-与角有关系的两个量：旋转方向和旋转角度任意角（2）旋转角度与角有关系的两个量：旋转方向和旋转角度旋转可以沿顺时针或者逆时针方向旋转任意圈数，如右图这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle），包括正角、负角和零角．1.若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(

).A.120° B.-120° C.-60° D.60°任意角时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数,即为

Ｂ3.写出下列说法所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；(3)向右转体3周．－720°900°－1080°任意角Topic.0303角的运算角的运算相等角角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线Ｏ＇Ａ＇绕端点Ｏ＇旋转而成。即它们的旋转量和旋转方向相等，那么就称α＝βoBAo角的加法

角的运算相反角角的减法我们把射线ＯＡ绕端点Ｏ按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．α-β=α+(-β)角的运算1.平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置,接着再顺时针旋转30°到OC的位置,则∠AOC的度数为

.60°由图和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°.

所以∠AOC的度数为60°.角的运算

60°90°xOxO60°180°

角的运算Topic.0404象限角、终边相同角象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．

角的范围扩充后，为了方便

研究角，一般我们把角放在平面直角坐标系中来研究。如图30°和-120°分别是第一象限角和第三象限角。象限角轴线角终边落在坐标轴上的角象限角1.下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分别是第几象限的角？答：分别是第四象限，第一象限，第三象限，第二象限，轴线角-50°xyO405°xyO210°xyO-200°xyO-450°xyO象限角探究1：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？第二象限的角一定不一定比第一象限的角大。例120°是第二象限角，400°是第一象限角，但120°<400°探究2：辨析锐角与第一象限角锐角都是第一象限角，第一象限角不一定都是锐角，例如405°，370°等探究3：小于90°的角都是锐角吗？小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。终边相同角思考：

-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？

在坐标系中作出

-32°，328°，-392°，不难发现，-32°角的终边为OB，328°，-392°的终边也为OB，并且与-32°角相差k个（k∈Z）个周角328°=-32°+360°（这里k=1）-392°=-32°-360°（这里k=-1）终边相同角所有与

终边相同的角,连同角

在内,可构成一个集合终边相同角S={β

|

β=α+k·360º,k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置。因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。终边相同角1.下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．360°始边和终边也重合终边相同角2.经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？

终边相同角3.已知α=2021°.(1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求θ,使θ与α终边相同,且-360°≤θ<720°.方法指导

(1)利用终边相同的角的表示方法,把角α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,然后指出它是第几象限的角;(2)利用终边相同的角的表示方法,通过对k进行赋值,求出θ即可.终边相同角终边相同角4.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°.

（2）290°与650°终边相同，650°是第四象限角5.与－2010°终边相同的最小正角是________．150°终边相同角6.下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.

复习导入一条射线OA绕着端点O旋转到另一个位置OB，

所形成的图形为角α。角的定义“角α”或“∠α”可以简记为“α”角的图示角的记法O为顶点，OA为始边，OB为终边复习导入所有与

终边相同的角,连同角

在内,可构成一个集合终边相同角S={β

|

β=α+k·360º,k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。Topic.0202轴线角、象限角轴线角判断1．第二象限角是钝角．()2．终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．()3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．()4.第二象限角大于第一象限角。（

）课前小测轴线角1.终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？x轴、y轴上的角呢？

x轴正半轴

x轴负半轴

y轴正半轴

y轴负半轴

x轴

y轴轴线角2.（1）写出y=x(x>0)上的角的集合S.

（2）S中满足不等式-360°≤β≤720°

变式.（1）写出y=x上的角的集合S.

（2）S中满足不等式-360°≤β≤720°

象限角四个象限角如何用集合的形式表示？

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限象限角

象限角

12341234法二:平分象限法

象限角

象限角

法二:平分象限法

12341234象限角nα或所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角nα或的范围；(2)用平方象限法确定角nα或所在象限．方法总结Topic.0303区间角区间角1.如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围。

区间角6.如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．

区间角表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°（或者180°）的整数倍，即得区间角集合．方法总结区间角

②复习回顾3、什么叫圆心角？什么叫做圆周角？1、弧度制定义：（1）1弧度的角：______________________；（注：弧度的单位符号是rad，读作弧度)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角23正数负数05、弧度制：__________________________；6、角度制与弧度制的联系与区别：用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，(4)不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．角度制与弧度制的互换：（1）把角度换成弧度（2）把弧度换成角度解：∵∴注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.3、角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．把化成度．例2解：须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：度0o30o