13-概率的定义及其性质

读书患不多，思义患不明。患足己不学，既学患不行。1读书患不多，思义患不明。1§1.3概率的定义及其性质※事件的频率※概率的公理化定义※概率的性质2§1.3概率的定义及其性质※事件的频率※概率的公理化研究随机现象的统计规律性的数学学科。什么是统计规律性?统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律。概率论一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标刻画称为该事件的概率。什么是概率?如何定义概率?3研究随机现象的统计规律性的数学学科。什么是统计规律性?统计规正面朝上例：“抛硬币”试验，将一枚硬币连续抛次，记次试验中发生的次数若是两两不相容事件,则频率：频数：频率的性质：频率有没有稳定性？4正面朝上例：“抛硬币”试验，将一枚硬币连续抛次，记次试验试验序号12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502例：将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.波动较小波动较大波动最小随n的增大,频率f

呈现出稳定性5试验1234567231512422250.50051201224000皮尔逊0.5016601912000皮尔逊0.506920484048蒲丰0.518110612048德·摩根实验者60.50051201224000皮尔逊0.5016601例：高尔顿(Galton)板试验，试验模型如下所示:自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。7例：高尔顿(Galton)板试验，试验模型如下所示:自上单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示8单击图形播放/暂停ESC键退出请看动画演示8由上述两例可知，频率具有下列特点：

随机波动性—对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小；

频率稳定性—随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。9由上述两例可知，频率具有下列特点：随机波动性—对相同我们称这个稳定值p为随机事件A的概率。当试验次数

很大时,事件的频率接近一个稳定值p

，即有概率的统计学定义由于频率的取值是“随机的”，那么极限是什么意思值得研究（第五章讨论该问题）。10我们称这个稳定值p为随机事件A的概率。当试验次数

当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近似值：

事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统计规律性。

前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933年将频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义。11当试验次数n相当大时，可以用频率作为概率的近似值在第五章将证明贝努里大数定理:从理论上保证了利用频率稳定值量度事件发生的可能性大小(概率)的可行性.当试验次数

很大时,事件的频率接近一个常数，即有12在第五章将证明贝努里大数定理:从理论上保证了利用频率稳定值概率的公理化定义公理1非负性：公理2规范性：公理3可列可加性：对两两不相容的事件列，定义：设是随机试验，称为事件都赋予一个实数，

是其样本空间，对的如果集合函数满足下列三条公理：每一个事件，的概率，有13概率的公理化定义公理1非负性：公理2规范性：公理3概率的性质性质1：证明：设则且由概率的可列可加性得14概率的性质性质1：证明：设则且由概率的可列可加性得14概率的性质证明：设则且由概率的可列可加性得若性质2：（有限可加性）两两互不相容事件，则有15概率的性质证明：设则且由概率的可列可加性得若性质2：（有限可概率的性质证明：由知，且由有限可加性得设性质3：是两个事件，若，则，且有从而故16概率的性质证明：由知，且由有限可加性得设性质3概率的性质证明：由且由性质3可得设性质4：是任意两个事件，则有17概率的性质证明：由且由性质3可得设性质4：是任意两个事件，则概率的性质证明：由于故由性质3，对任意事件，性质5：有证明：因故对任意事件，性质6：有且从而18概率的性质证明：由于故由性质3，对任意事件，性质5：有概率的性质证明：因且故有对于任意两个事件，性质7：有事件解释为区域概率解释为区域面积19概率的性质证明：因且故有对于任意两个事件，性质7：挖挖挖补对于任意三个事件，推广1：有20挖挖挖补对于任意三个事件，推广1：有20对于任意多个事件，推广2：有全加减二加三减四挖补规律：加奇减偶21对于任意多个事件，推广2：有全加减二加解：因设练习题：求在下列三种情况下的值？⑴设与互斥；⑵⑶22解：因设练习题：求在下列三种情况下的值？⑴设与互斥；⑵⑶2练习题：设

为三事件，且生的概率。求

至少有一个发解：由题知所求为因故23练习题：设为三事件，且生的概率。练习题：设为随机事件，且，则对任意随机事件，必有（）分析：因故从而进而24练习题：设为随机事件，且，则对任意随机小结1.概率的定义2.概率的性质三条公理7条性质统计学定义公理化定义25小结1.概率的定义2.概率的性质三条