4形位公差及其误差检测

1．3势箱中粒子的Schrodinger方程及其解

一维势箱：一个质量为m的粒子在一条直线（x)上局限在一定范围（0→ι）内自由运动，在这范围内粒子不受力，位能是常数，但在边上和边界外面位能无穷大，粒子跑不出去，这样的体系称为一维势箱。当0<x<ι时，V=0当X≤0或X≥ι时，V=∞

近似模型：金属中的自由电子、共轭体系的π电子

V=∞V=0V=∞0

ι

x→1．3势箱中粒子的Schrodinger方程及其解

一维1一维势箱中的Schrodinger方程

Schrodinger方程：一维Schrodinger方程：当X≤0或X≥ι时，ψ=0当0<x<ι时，V=0,一维势箱的Schrodinger方程为：一维势箱中的Schrodinger方程Schrodinge2Schrodinger方程的求解：

这实际上是解二阶微分方程的问题。写出体系的位能（吸引能、排斥能）表达式，写出薜定格方程；写出微分方程的通解；根据边界条件和初始条件（定态体系无初始条件）求特解；用归一化条件确定特解。Schrodinger方程的求解：这实际上是解二阶微分方程3一维势箱Schrodinger方程的求解一维势箱Schrodinger方程:这是常系数二阶线性齐次微分方程，通解为：在边界处，ψ（0）=0，ψ（ι）=0

所以即ψ（0）=Acos0+Bsin0=0因为sin0=0，所以Acos0=0因为cos0=1所以A=0故一维势箱的薛定格方程为:一维势箱Schrodinger方程的求解一维势箱Schrod4对因为ψ（ι）=0所以因为B≠0[若B=0，则ψ（X）=0）]所以所以（n为常数）所以（一个n值表示粒子在一种定态）把E的表达式代入ψ(x)的通式，得：

对因为ψ（ι）=0所以因为5对

确定B值

因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现的几率总和应满足根据归一化条件：∫∞∣Ψ∣2dτ=1对一维势箱有：所以根据积分公式：求得：所以所以，一维势箱的解为：(n=1,2,3,……)对确定B值因为箱内粒子不能越过势箱，则粒子在箱内各处出现6一维势箱结果讨论

根据一维势箱的解一维势箱粒子可能存在的状态和能量：

…………

一维势箱结果讨论

根据一维势箱的解71.能量量子化

在金属内部，自由电子可有无穷多个定态ψn，每一定态具有一个特征能量En，En的可能值由n来约束，由于n为量子数，故En的值勤是不连续的，也就是能量量子化。当n增大时，En也增大。

两个状态间的能级差:当势箱很大（ι很大）或粒子很重（m很大）时，能级间隔就很小，则能量就可看成是连续的。因此，宏观物体的能量量子化特征就显示不出来了。1.能量量子化

在金属内部，自由电子可有无穷多个定态ψn82.离域效应由于粒子活动范围增大而产生能量降低的效应称为离域效应。由能量公式可知,当电子活动范围增大(ι增大)时,能量值减小,例如,丁二烯中电子活动范围比乙烯大,能量降低,因此丁二烯中的π电子比乙烯更稳定。2.离域效应由于粒子活动范围增大而产生能量降低的效应称为离域93.零点能效应当n=1时，体系能量最低因为:E＝T＋V而箱内:V＝0所以，动能T永远大于零。最低零点能效应：体系最低能量不为零的现象。3.零点能效应当n=1时，体系能量最低因为:E＝T＋104.粒子没有经典运动轨道，只有几率密度分布。

按量子力学模型，箱中各处粒子的几率密度是不均匀的，呈现波性。0

00000

n=1

n=1

n=2

n=2

n=3

n=3

E1

E2

E3ψ2ψ1ψ3ψ2*ψ2ψ1*ψ1ψ3*ψ34.粒子没有经典运动轨道，只有几率密度分布。按量子力学模型115.状态能量高低与波函数节点数之间的关系------节点数（n–1）越多，能量越高。节点：

除边界外，Ψ=0的点。

量子数波函数节点数能量

n=1Ψ1(x)0n=2Ψ2(x)1n=3Ψ3(x)2………n=nΨn(x)n–1能量升高

n越大节点数（n–1）越多，能量越高。5.状态能量高低与波函数节点数之间的关系------节点数12量子效应

粒子可以存在多种运动状态，可由ψ1、ψ2、……，ψn等描述；能量量子化离域效应存在零点能效应没有经典运动轨道，只有几率密度分布节点数（n–1）越多，能量越高。量子效应粒子可以存在多种运动状态，可由ψ1、ψ2、……，ψ13一维势箱的应用

粒子在箱中的平均位置

粒子的动量x轴分量PX

粒子的动量平方PX2共轭体系中π电子的运动

箱中粒子出现的几率一维势箱的应用

粒子在箱中的平均位置141．粒子在箱中的平均位置

所以无本征值，只能求平均值。因为1．粒子在箱中的平均位置所以无本征值，只能求15416粒子的动量平均值

------以动量x轴分量PX为例

所以只能求的平均值。

粒子的动量平均值

------以动量x轴分量PX为例

17=0因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和逆向运动的几率相等。=0因为动量是矢量，故表示粒子正向运动和逆向运动的几率相等18粒子的动量平方PX2

解法一：

粒子的动量平方PX2解法一：19解法二：因为势箱中位能V=0所以

所以解法二：20共轭体系中π电子的运动

例1．丁二烯的离域效应假定有两种情况：（a）4个π电子形成两个定域π键；（b）4个π电子形成π44离域π键，每两个碳原子间距离为ι。分析其能量。共轭体系中π电子的运动

例1．丁二烯的离域效应21解：（a）每个定域π键看成一个势箱，4个电子中每两个电子处于一个势箱，其基态能量为：Ea=2E1+2E1=4E1=4×h2/8ml2(b)4个电子均处于同一势箱中，箱长3l。基态能量：Eb=2E1’+2E2’

所以Eb<Ea离域使粒长活动范围增大，能量降低。解：（a）每个定域π键看成一个势箱，4个电子中每两个电子22例2．求花青染料：从（r+2）轨道跃迁到（r+3）轨道的波长。解：π电子数：2r+4个，占据r+2个能级轨道势箱长度：ar+b=248r+565a为（—CH=CH─）平均长度=248Pmb为两端延伸长度：565Pmn=1

n=1

n=2

n=2

n=r+2

n=r+2n=r+3n=r+3n=r+4n=r+4

基态

激发态例2．求花青染料：从（r+2）轨道跃迁到（r+3）23因为

ΔE=hυ，

因为ΔE=hυ，24425三维势箱（长、宽、高分别为a，b，c）

三维势箱的Schrodinger方程为：

需用变数分离法将方程分离为三个一维势箱的Schrodinger方程，然后分别求解，得到X（x），Y（y），Z（z），将其相乘，即得到三维势箱的解为：

(nx,ny,nz=1，2，3，……)三维势箱（长、宽、高分别为a，b，c）三维势箱的Schro26简并态、简并能级和简并度

当a=b=c时，三维势箱称为立方箱。当nx=ny=nz时，立方箱的能级最低。接着是nx,ny,nz取2，1，1，三个数的组合状态：nxnynzΨE211Ψ211

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