《角动量理论》课件

第3章角动量理论

本章讨论角动量及相关内容的系统处理方法。角动量理论对理解核、原子、分子和固体发光等谱学现象是必须的；散射、碰撞及束缚态等问题的处理也常常需要关于角动量方面的考虑。角动量的概念在核物理、粒子物理等领域有重要应用和推广。角动量理论重要和应用广泛的原因:平动和转动是粒子运动的基本形式；角动量是表征微观量子态的重要参数1a第3章角动量理论本章讨论角动量及相关内容的系统处理方§3.1转动及角动量的对易关系一、有限转动绕同一轴的转动是对易的，但绕不同轴的转动是不对易的：2a§3.1转动及角动量的对易关系一、有限转动2a二、转动的数学描述转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩阵联系：正交矩阵：RRT=RTR=1(T表示矩阵的转置）如绕Z轴转Φ角的矩阵为：转动不改变矢量的长度：3a二、转动的数学描述转动前后矢量可由表征该转动的实3x3正交矩三、无穷小转动由：得：（忽略2阶小量，则绕不同轴的无穷小转动是对易的）或：4a三、无穷小转动由：4a四、量子力学中的无穷小转动

1）态矢的变化：R的维数为3，D(R)的维数依态矢空间的维数而定2）转动算符的构造参照无穷小空间平移和无穷短时间演化算符的构造，考虑到角动量是转动的生成元，可得绕由单位矢量所表征的轴转dΦ的转动算符：这里厄米算符Jk为角动量算符。上式可看作量子动力学中角动量算符的定义。该定义比经典的角动量（XxP）定义更普适，适用于自旋等。5a四、量子力学中的无穷小转动1）态矢的变化：五、有限转动有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：6a五、有限转动有限大小角度的转动可由无数个无穷小转动组合而成：六、转动算符的性质假定D(R)与R具有相同的群性质（合理要求）：7a六、转动算符的性质假定D(R)与R具有相同的群性质（合理要求七、角动量算符的对易关系对应于有：得对易关系：综合Jx与Jz及Jy与Jz的关系，可得角动量算符的基本对易关系：该式归纳了三维转动的所有基本性质。由于不同Ji不对易，三维的转动群为非Abel群。8a七、角动量算符的对易关系对应于8a§3.2自旋1/2体系和有限转动

一、自旋1/2体系的转动算符能使角动量对易关系成立的非平庸空间最小维数是2.电子的自旋算符：容易验证Sk满足角动量的对易关系，即Sk可看作自旋1/2体系的Jk，并且其对易关系为实验所证实。9a§3.2自旋1/2体系和有限转动一、自旋1/2体系的转动二、转动对自旋角动量的影响考虑绕Z转Φ，态的变化为：物理量如Sx的测量结果变为：需要计算10a二、转动对自旋角动量的影响考虑绕Z转Φ，态的变化为：10a上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：由于该推导只利用了角动量的对易关系，适用于角动量高于1/2的体系。11a上式也可由Baker-Hausdorff引理算出：11a即对自旋1/2体系有：类似可得：以上结果表明，转动算符作用于态矢确实使S的期待值绕z轴转了Φ角即自旋算符期待值具有与经典矢量在转动下的相同变化行为：Rkl是对应于给定转动的3×3正交矩阵R的矩阵元由于方法二适用于任何J，故该性质行为不限于自旋1/2体系。对一般的角动量算符Jk也有:以后会知道该结果可适用于任意矢量算符。矢量图像有利于对角动量的简明理解12a即对自旋1/2体系有：12a三、转动2π的结果对有：即需转4π才能使态矢复原（复原<S>只需转2π）这种奇特的相位变化是有可观测的物理效应的13a三、转动2π的结果对13a四、自旋进动

基于该H的时间演化算符为若将ωt看作Φ，则u(t,0)与转动算符相同。由此容易理解该H导致自旋进动。自旋期待值随时间变化为运动周期为T=2π/ω.态矢的“进动”周期则为4π/ω,为自旋进动周期的2倍14a四、自旋进动14a五、2π转动的中子干涉测量研究要观测到态矢转2π后的负号，需将转动前后的态矢进行比较。如图所示，当AB中子束在相干区相遇，其磁场导致的相位差为ωT/2,T为经过有场区的时间,ω为自旋进动频率.干涉区的可观测强度具有周期变化形式cos(ωT/2).产生干涉极大的相邻B为(l为有场区路径长度):实验结果证实了量子力学预言的正确性。

15a五、2π转动的中子干涉测量研究要观测到态矢转2π后的负号，需六、自旋态的二分量形式

对自旋½体系，取则上述|α>的列矩阵被称为二分量旋量，记为相应地：16a六、自旋态的二分量形式对自旋½体系，取16a七、Pauli矩阵基本性质取则17a七、Pauli矩阵基本性质取则17a七、Pauli矩阵（续）(a的分量为实数18a七、Pauli矩阵（续）(a的分量为实数18a八、二分量表述形式中的转动算符转动算符：矩阵表示据有得

19a八、二分量表述形式中的转动算符转动算符：19a八、二分量表述形式中的转动算符（续）转动作用下：由矩阵表示知

(即任何态矢|α>经2π转动都相应变为-|α>

20a八、二分量表述形式中的转动算符（续）转动作用下：20a九、的本征值为1的本征态

相当于：（可直接求解）下面的解法是为了说明态矢的空间转动概念设n的方位角为α,与z轴夹β角.将自旋向上态绕y轴旋转β,再绕z轴旋转α,则所得态矢对应于沿n的自旋向上态.21a九、的本征值为1的本征态相当于：可见，该本征态对应先用ex