2023年江苏省连云港市海州区新海初级中学中考数学三模试卷（附答案详解）

绝密★启用前

2023年江苏省连云港市海州区新海初级中学中考数学三模试

卷

学校:姓名：班级：考号：

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷

上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.1的—是-1,则横线上可填写的数学概念名词是（）

A.倒数B.平方C.绝对值D.相反数

2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

©

3.下列计算正确的是()

2

A.(2a—I)=4a2—1B.3a6+3a3=a2

C.(-a/?2)4=-a4b6D.-2a+(2a-1)=-1

4.为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了20名同学，结果如下表:

每天使用零花钱（单位：元）12345

人数13655

则这20名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（）

A.3,3B.3,3.5C.3.5,3.5D.3.5,3

5.如图，几何体是由六个相同的立方体构成的，则该几何体三视图中面积最大的是（）

A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图

6.下列命题中：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形

是矩形；（3）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（4）对角线相等且互相垂直的四边形是正方

形，正确的命题个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图。4BCC,F为BC中点，延长4。至E,使需=：,连结EF

交DC于点G,则泻第=（）

A.2：3

B.3：2

C.9：4

D.4：9

8.如图，在平面直角坐标系中，直线I与函数y=g（/c>0,x>0）的图

象交于4、B两点，与x轴交于C点，若04=4B,且NOAB=90。，则

tan乙4OC的值为（）

B.<3

RCT

D.

4

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.Q石的平方根是

10.因式分解：a3—a=.

11.已知圆锥的底面半径为3,母线长为6,则此圆锥侧面展开图的圆心角是.

12.习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”.“国家中小学智慧云平台”上线的某天,

全国大约有5450000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为—.

13.二次函数丁=a/+bx+c,自变量x与函数y的对应值如表：

X-3-113

y-4242

则当一3<x<3时，y满足的范围是.

14.如图，在正方形4BCD中，E,F分别是B4BC的中点.若=2,则EF的长是

15.小淇利用绘图软件画出函数y=-|x(x-l)(x+1)(-2<x<2)的图象，下列关于该函

数性质的四种说法：

①图象与x轴有两个交点；

②图象关于原点中心对称；

③最大值是3,最小值是-3；

④当x>1时，y随x的增大而减小.

其中，所有正确说法的序号是.

16.如图，矩形ABCD,AB=2,BC=4,E为48中点，F为直线BC上动点，点8、G关于EF

对称，连接4G,点P为平面上的动点，4APB=*GB,则DP的最小值是

C

D

三、解答题（本大题共11小题，共94.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题4.0分）

计算：|一一2|+2023°-（-+2s讥60。.

18.（本小题6.0分）

先化简，再求值：（"j]+1-nt）+；：：：,其中m=2—

19.（本小题6.0分）

解不等式组：2>',并写出它的所有整数解.

（2x+1>5（x-1）

20.（本小题8.0分）

超市销售某品牌瓶装饮料•，每箱售价是36元，现超市对该款饮料进行促销活动，根据以下对

话内容，求该款饮料一箱有多少瓶？

箕7守门现在如果购买一箱这种饮料，即可获赠同款饮料2瓶7f

确实是蛮划算的，相当于每瓶按原价的九折就可以买到了。

21.（本小题8.0分）

为落实“双减”政策，切实减轻学生学业负担，丰富学生课余生活，某校积极开展“五育并

举”课外兴趣小组活动，计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制

作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组.为此，随机抽查了

本校各年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图(不完整).

被抽杳学生选择兴趣小组意向的被抽查学生选择兴趣小组意向的

扇形统计图条形统计图

传递舞蹈运动制作体验小组

根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)求本次被抽查学生的总人数和扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)该校共有1600名学生，根据抽查结果，试估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数.

22.(本小题8.0分)

在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1、2、3、4的红色卡片和三张分别写有数字1、

2、3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外其它完全相同.

(1)从中任意抽取一张卡片，则该卡片上写有数字1的概率是；

(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张

卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，请

利用画树状图或列表法求这个两位数大于22的概率.

23.(本小题8.0分)

如图，在矩形ABC。中，点。为对角线4C的中点，点E是CD上一点，连接E。并延长交48于点

F,连接AE、CF.

⑴求证：t^COE^^AOF-,

(2)当N0E4=2NC4B时，试判断四边形4ECF的形状，并说明理由.

24.(本小题10.0分)

某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔4B,如图所

示.在山脚平地上的。处测得塔底B的仰角为30。，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶4的

仰角为60。，求小山BC的高度.

25.(本小题10.0分)

如图，△ABC内接于。。，NB=60。，点E在直径CO的延长线上，且AE=AC.

(1)试判断4E与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若ZC=6,求阴影部分的面积.

B

26.(本小题12.0分)

我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形.

(1)定义应用：如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为；

(2)性质探索:小思同学通过对2倍角三角形的研究，发现:在△ABC中，如果乙4=2/8=90。，

那么Be?=4C(4B+4G，下面是小思同学的证明方法：已知：如图1,在△4BC中，=90°,

NB=45。.求证：Bf2=ZC(ZB+AC).证明：如图1,延长C4到。，使得=连接BD,

：•乙D=Z.ABD,AB+AC=AD+AC=CD；,:/.CAB=乙D+Z-ABD=2zZ),Z.CAB=90°：,

4D=45°,•••/-ABC=45°,ZD=/.ABC,XzC=zCABCfBCD,；.吃=绘:,BC2=

CDBC

AC-CDABC2=AC(AB+AC}

根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：

己知：如图2,在△ABC中，乙A=2乙B,求证：BC2=AC(AB+AC)；

(3)性质应用：已知：如图3,在△ABC中，乙C=2乙B,AB=6,BC=5,则AC=；

(4)拓展应用：已知：如图4,在△ABC中，乙48c=344,AC=5,BC=3,求4B的长.

27.(本小题14.0分)

如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a/+bx+c与x轴相交于点4,8(4在B的左边

)，与y轴相交于点C,已知4(1,0)、B(3,0),C(0,3),M是y轴上的动点(M位于点C下方)，过

点M的直线1垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q(P在Q的左边)，与直线BC交于点N.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,四边形PMGH是正方形，连接CP,APNC的面积为Si，正方形PMGH的面积为S2，

求3的取值范围；

(3)如图2,以点。为圆心，04为半径作。。.

①动点尸在。。上，连接BF、CF,请直接写出BF+；CF的最小值为；

②点P是y轴上的一动点，连接P4、PB,当sin乙4PB的值最大时，请直接写出P的坐标.

AB

图1图2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4、1的倒数是1,故A不符合题意：

8、1的平方是1,故B不符合题意；

C、1的绝对值是1,故C不符合题意；

D、1的相反数是一1,故。符合题意.

故选：D.

根据倒数、平方、绝对值、相反数的概念，即可判断.

本题考查相反数，绝对值，平方，倒数的概念，关键是熟练掌握这些概念.

2.【答案】A

【解析】解：4、是轴对称图形，故本选项正确；

从不是轴对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

。、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.【答案】D

【解析】解：力、原式=4a2-4a+l,不符合题意；

B、原式=。3,不符合题意；

C、原式=a4b8,不符合题意；

D、原式=—2a+2a-1=-1,符合题意，

故选：D.

原式利用完全平方公式，单项式乘单项式，塞的乘方与积的乘方，以及去括号，合并同类项法则

计算得到结果，即可作出判断.

此题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：因为3出现的次数最多，

所以众数是：3元；

因为第十和第十一个数是3和4,

所以中位数是：3.5元.

故选B.

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；

众数是一组数据中出现次数最多的数据.

本题为统计题，考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列

后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念学

握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错

5.【答案】C

【解析】解：如图所示

主视图左视图

主视图和左视图都是由4个正方形组成,所以俯视图的面积最大.

故选：C.

从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1,2,1；从左面看，得到从左往右3列正方形

的个数依次为1,2,1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为2,2,1,依此画出图形

即可判断.

6.【答案】C

【解析】解：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定得出，表述正

确，符合题意；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；根据矩形的判定得出，表述正确，符合题意；

(3)一组邻边相等的平行四边形是菱形；根据菱形的判定得出，表述正确，符合题意；

(4)对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；原表述错误，不符合题意.

故选：C.

根据平行形四边形、矩形、菱形、正方形的判定分别得出各选项是否正确即可.

本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的定理.

7.【答案】D

【解析】解：设=

DE：AD=1：3,

:.AD=3%,

・・•四边形是平行四边形，

:・AD〃BC,BC=AD=3%,

•・・点F是BC的中点，

13

:,CF=抑=汐

-AD//BC,

*'•△DEGs△CFG9

.S〉DEG=丝2=r土、2=1

••ShCFG__9»

2X

故选：D.

先设出DE=%,进而得出4。=3%,再用平行四边形的性质得出BC=3久，进而求出CF,最后用

相似三角形的性质即可得出结论.

此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题

的关键.

8.【答案】4

【解析】解：作AE_L%轴于E,8尸_17轴于尸，交于点D,

设4(犯马，则。E=zn,AE=-,

•・•Z.OAB=90°,

・・・Z.OAE+/.DAB=90°,

vZ-OAE4-Z-AOE=90°,

・•・Z.DAB=Z.AOE,

•・•OA=AB,Z.AEO=/-ADB=90°,

AOBAD^AAS'),

k

：■AD=OE=m,BD=AE=—,

m

•••函数y=^(k>0,x>0)的图象过B点，

・••O-5)(7n+')=匕整理得血2_言=卜，

方程两边同除以k得塔-刍=1,

设白=y,则方程变为5-y=i，化为y2+y-i=o,

解这个方程得y=匚笠，

・•・k>0,

**•-p>0,

kV5-1

A^=~2-?

・••tanZ-AOC=桨=m=刍=*二•

OEmmA2

故选：A.

作4EJ.X轴于E,•“轴于尸，交于点D,设做科勺，则OE=m,AE=卜通过证得△40E三A

BAD(AAS),求得B(m-5，m+A),代入y=g(k>0,x>0),即可得至—\)(?n+')=k,

整理得小2一白=小方程两边同除上得苧一白=1,设煮=丫，则方程变为*-y=i,化为/+

y-l=0,解得丫=萼1,即可求得tan"OC=^="=与=二工

/OE7nmz2

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等

的判定和性质，解直角三角形等，作出辅助线构建全等三角形，从而求得点8的坐标是解题的关

键.

9.【答案】±2

【解析】解：由于Q石=4,

所以Q石的平方根是±门=±2,

故答案为：±2.

根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可.

本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提.

10.【答案】a(a+l)(a-l)

【解析】

【分析】

此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取a,再利用平方差公式分解即可.

【解答】

解：原式=a(a2—1)=a(a+l)(a—1),

故答案为a(a+l)(a—1).

11.【答案】180°

【解析】解：••・圆锥底面半径是3,

•••圆锥的底面周长为6兀，

设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n。，

病=6兀，

解得n=180.

故答案为180。.

易得圆锥的底面周长,就是圆锥的侧面展开图的弧长,利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度,

把相关数值代入即可求解.

考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.

12.【答案】5.45x106

【解析】解：5450000=5.45x106.

故答案为：5.45X106.

科学记数法的表示形式为士axIO'的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把

原数变成a时，小数点移动了多少位的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为±axIO'的形式，其中lS|a|<10,n为整数是

关键.

13.【答案】—4<yW4

【解析】解：从表格看出，函数的对称轴为久=1,顶点为(1,4),函数有最大值4,

抛物线开口向下，

二当—3<x<3时，-4<yS4,

故答案为，-4<y<4.

利用二次函数图象上点的坐标特征可根据x=-3及x=3时y的值，结合二次函数图象的顶点坐标,

即可找出一3<x<3时y的取值范围.

本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会看懂表格信息，

灵活运用所学知识解决问题，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查了正方形的性质与三角形中位线.熟练运用正方形对角线相等是解题的关键.

连接4C,由题意可得，必是^ABC的中位线，所以EF=\AC,根据正方形的性质得，AC=BD=2.

从而求出EF的长.

【解答】

解：连接AC,如图所示，

•・•四边形ABC。是正方形.

:.AC=BD=2.

•••E,/分别是B4BC的中点.

•••EF是A4BC的中位线.

11

：.EF=^AC=^x2=1.

故答案为：1.

15.【答案】②③④

【解析】

【分析】

本题考查函数的图象，理解函数图象的意义以及函数的对称性以及增减性是正确判断的前提.

根据函数的图象进行判断即可.

【解答】

解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；

②图象关于原点中心对称，故②正确；

③当％=—2时，y=3,当％=2时，y=-3,

二函数的最大值是3,最小值是-3,故③正确；

④当%>1时，y随x的增大而减小，故④正确.

故答案为：②③④.

16.【答案】V1U--7

【解析】解：由翻折的性质可得，EG=EB,

•••E为4B中点，

:.EA—EB,

:.EG=EA,

・•・Z.EBG=乙EGB,Z.EAG=Z.EGA,

•・・Z.EBG+Z,EGB+Z.EAG+/.EGA=180°,

：•乙EGB+LEGA=90°=Z-AGB,

•••AAPB=^AGB,

：./.APB=45°,

如图，在4。上截取AM使4M=4B,连接BM,则乙4MB=45。,过71作401BM于。，则44。8=90°,

•••/.APB=45°=^AMB=泊OB,

；.OM=；BM=；VAB2+AM2=<7,

・•.P在以。为圆心，半径为，N的圆上运动，

如图，连接0D,与。。的交点即为DP最小时的点P,过。作。于H,则△OHM是等腰直角

三角形，

OH=HM=；AM=1,

•••DH=AD-AH=3,

OD=VOH2+DH2=7-10-

DP=OD-OP=V^O-V2,

故答案为：

由翻折的性质可得，EG=EB,由题意得E4=EB,EG=EA,贝Ij/EBG=乙EGB,/.EAG=/.EGA,

由“BG+NEGB+NE4G+4EGA=180。，可得"GB+/EGA=90。=乙4GB,由乙4PB=

^/.AGB,可知乙4PB=45。，如图，在4。上截取4M使AM=4B,连接BM,则乙4MB=45。，过4作

AO1BM^O,^\^AOB=90。，4APB=45°=/.AMB=*OB,OM=^BM=AB2+AM2=

<7.可得P在以。为圆心，半径为「的圆上运动，如图，连接。。，与。。的交点即为DP最小时

的点P,过。作OH1AD于H,则AOHM是等腰直角三角形，则OH=HM=^AM=1,DH=AD­

AH=3,由勾股定理得。。=7。〃2+DM=CU，根据DP=OD-OP,计算求解即可.

本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理,

圆等知识.解题的关键在于确定P点的运动轨迹.

17.【答案】解：原式=2-C+1-(—3)+2X?

=2-/3+1+3+门

=6.

【解析】利用绝对值的意义，零指数暴的意义，负整数指数幕的意义和特殊角的三角函数值化简

运算即可.

本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幕的意义，负整数指数幕的意义和特殊角的

三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键.

18.【答案】解：(高+1-吟+陪

_3+1—m2m+1

m+1m+2

_(24-m)(2—m)m+1

m+1m+2

=2—m,

当m=2—4歹时，

原式=2-(2-V-2)

=2-2+口

=V-2.

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

19.【答案】解：解不等式怖>一1,得：x>—2,

解不等式2x+125(%-1),得：x<2,

所以不等式组的解集为-2<xW2,

则不等式组的整数解为-1、0、1、2.

【解析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案.

本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出不等式

组的解集是解此题的关键.

20.【答案】解：设该款饮料一箱有x瓶，

根据题意可得：0.9x曳=鸟，

X%4-2

解得：x=18,

经检验，x=18是原方程的解，

答：该款饮料一箱有18瓶.

【解析1设该款饮料一箱有x瓶，可得：0.9'羽=g，解方程并检验即可得到答案.

xx+2

本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程.

21.【答案】解：(1)本次被抽查学生的总人数是60+30%=200(人)，

扇形统计图中表示“美工制作”的扇形的圆心角度数是360。x篇=36。；

(2)“音乐舞蹈”的人数为200-50—60—20-40=30(人)，

补全条形统计图如下：

被抽资学生选挣兴趣小组意向的

条形统计图

传递舞蹈运动制作体验小组

(3)估计全校选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数为蒜x1600=400(人).

【解析】(1)从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的30%,

可求出调查人数；用360。乘“美工制作”所占比例即可得出扇形统计图中表示“美工制作”的扇

形的圆心角度数；

(2)用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计

图补充完整；

(3)用样本估计总体即可.

本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系,

是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法.

22.【答案埒

【解析】解：(1)•••在7张卡片中共有两张卡片写有数字1,

••・从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率是多

故答案为：|；

(2)组成的所有两位数列表为：

十位数

1234

个位数

111213141

212223242

313233343

二这个两位数大于22的概率为

依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概率公式求

出该事件的概率.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.【答案】解：(1)•.•四边形ABCD是矩形,

CD//AB,

:.Z-OCE=乙OAF,

•・•点。为对角线4C的中点，

:.CO—AO,

在△COE和△40F中，

Z-OCE=Z.OAF

CO=AO,

"OE=Z.AOF

••.△C0E*40F(4S4)；

(2)四边形4ECF为菱形，理由:

COF=AAOF,

/.CE=AF,

又•・.CE//AF,

・・・四边形4ECF是平行四边形，

vCD//AB,

:.Z.DEA=/LBAE,

又•・,Z.DEA=2Z.CAB,

:.Z-BAE=2/-CAB,

^Z.BAC=Z.EAC,

vCD//AB,

，Z.BAC=Z.ACE,

・•・Z.CAE=Z.ACE,

:.AE=CE,

••・四边形4ECF是菱形.

【解析】(1)利用矩形的性质，即可得依据4s4或44s判定△COE三△40F；

(2)先判定四边形4ECF是平行四边形，再根据4E=CE,即可得出四边形AECF是菱形.

本题主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间

的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.在判定三角形全等时，关键是选择恰当

的判定条件.

在直角ZMCE中,

t.anz6：0Ao=而A，=72^0+x^=口[―^

解得x=10+40O.

答：小山BC的高度为(10+40C)米.

【解析】设BC为尤米，贝iL4C=(20+x)米，通过解直角ACBC和直角AACE列出关于x的方程，利

用方程求得结果.

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

25.【答案】解：(1)4E为。。的切线.

理由：连接。4、AD,如图，

•••CD为。。的直径，

•••/-DAC=90°,

又：^ADC=48=60°,

/.ACE=30°,

"AE=AC,

・・・Z-AEC=30°

vOA=OD9

••.△a。。为等边三角形，

:.Z-ADO=Z-DAO=60°,

・•・Z-EAD=30°,

・・・Z.EAD+ADAO=90°,

・・・Z.EAO=90°,

・•・OA1AEf

•••4E为。。的切线；

(2)解：由(1)可知AAE。为直角三角形，且NE=30。，AE=6,

:.OA=2A/-3,

・•・阴影部分的面积为工X6x2门—60”(2C)2=6C_27T.

2360

故阴影部分的面积为6c-2n.

【解析】本题主要考查切线的判定，扇形面积公式，正确作出辅助线是解题的关键.

(1)连接。4、AD,可求得=^AEC=30°,可证明△4。。为等边三角形，求得4EA。=90°,

即可证明AE为。。的切线：

(2)结合(1)可得到04=2。AE=6,再根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求解.

26.【答案】45。或72。4

【解析】(1)解：当等腰三角形的内角分别为久，x,2x时，4x=180°,

解得x=45°,

当等腰三角形的内角分别为x,2x,2x时，5x=180°,

解得x=36°,2x=72°,

二底角的度数为45。或72。，

故答案为：45。或72。；

(2)如图1,作4。平分NB4C,交BC于D,

Z.BAC=2/.DAC=2/.BAD,

Z.BAC=2Z.B,

•••/.ABC=Z.DAC=乙BAD,

:.BD=AD,

v/.ABC=Z.DAC,Z.ACD=Z.ACB,

■■^ACD^^BCA,

.AC_CD_AD

"BC~AC~AB'

：.AC2=BC-CD,AC-AB=BC-AD=BC-BD,

•••AC2+AC-AB=BC-CD+BC-BD=BC-(BD+CD),

BC2=AC(AC+AB).

(3)由性质探索可知：AB2=AC(BC+AC),

AC2+5AC-36=0,

解得4c=4或一9(舍弃).

故答案为：4；

(4)如图3,作=交AC于点D,

图3

贝IJ乙48。=244

是2倍角三角形.

:.AD?=BD(BD+AB),

•."DC是△4BD的外角，

•••Z.BDC=/.A+/.ABD=3乙4,

Z.BDC=/.ABC=3Zv4,

又•••ZC=ZC,

•••△CBDfCAB,

.竺—吧_££

“Z7一丽―丽’

CC9BD3

•••CD=5—AB=75，

AD=AC-CD=y,

设BD=3%,则AB=5x,

•••4)2=3x(3x+5x),

X=若或X=—若(不合题意舍去)，

:,AB=3x=笠^.

(1)根据2倍角三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；

(2)通过证明^ACD-LBCA,可得益=胎=*，即AC?=BC-CD,AC-ABBC-AD=BC-BD,

可得结论;

(3)利用相似三角形的性质，结合己知条件即可证明；

(4)应用结论以及相似三角形的性质解决问题即可.

本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，2倍角三角形的定义以及性质等知识，证

明三角形相似是解题的关键.

27.【答案】等

【解析】解：(1)把4(1,0)、5(3,0),C(0,3)代入y=山“+版+。得:

Q+5+C=0

9a+3b+c=0,

C=3

a=1

解得b=—4,

c=3

•,・抛物线的表达式为y=%2-4%4-3；

(2)设M(0,m),m<3,

由8(3,0),C(0,3)可得直线BC表达式为y=—x+3,

•・•MN〃%轴，

・•・N(3—m,m)f

.・.MN=3—m.

设点一则/一即2

P(C,d4c+3),4c+3=m,3-m=-t+4t,

:.PM=t,

PN=MN-PM=3-m-t=一12+33

CM=3—m=—t2+4t.

Sl=&PN,CM=+3t)(-t2+4t