圆锥曲线大题综合-2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺

专题05首届新高考-圆锥曲线大题综合(首届新高考江西、

广西、贵州、甘肃专用)

一、解答题

1.(2023•福建龙岩・统考模拟预测)已知双曲线C：W-g=l(a>0,b>0)的左顶点为

a，b~

/(TO),渐近线方程为尸土正x.直线/交C于尸,。两点，直线力尸,他的斜率之和为2

(1)证明：直线/过定点；

(2)若在射线4。上的点R满足ZAPQ=ZARP,求直线PR的斜率的最大值.

2.(2023•江苏无锡・江苏省天一中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中xQy中，动点

E到定点尸(1,0)的距离比它到V轴的距离大1,E的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知点』(项,必)，8(%,%)分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点，且

中2+弘力='，求”80与V/FO面积之和的最小值,

3.(2023・河北・统考模拟预测)己知椭圆C：《+己=1的左焦点为尸，过点尸作直线/交

43

C于点A,B.

(1)若2万=3而，求直线/的斜率；

⑵设尸(-4,0),。是C上异于A的点，且P,Q,A三点共线，求证：ZPFQ=ZPFB.

4.(2023・福建厦门•统考模拟预测)已知点0(0,0),点力(0,1),点"是x轴上的动点,

点N在了轴上，直线MN与直线加尸垂直，N关于M的对称点为P.

(1)求户的轨迹「的方程；

(2)过F的直线/交「于48两点，A在第一象限，「在A处的切线为交V轴于点C,

过C作08的平行线交/于点。，/是否存在最大值？若存在，求直线/的方程；若

不存在，请说明理由.

5.(2023•山东泰安•统考模拟预测)已知为。坐标原点，/(2,0),8(0,1),。(0,-1),。(2,1),

OE=WA,DF=ADA,0<2<1,CE和8尸交点为P.

(1)求点P的轨迹G；

⑵直线>=》+，〃(加工0)和曲线6交与四，N两点，试判断是否存在定点。使

匕胆心。=:?如果存在，求出。点坐标，不存在请说明理由•

6.(2023・安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，

点材(%,人)在椭圆「：二+二=1上，从原点。向圆M:(x-x0)2+(y-%『=/(r>0)

1612

作两条切线分别与椭圆「交于点A,B,若直线3,08的斜率分别为K，且

(1)求圆M的半径尸；

(2)探究"是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

7.(2023•安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)双曲线的光学性质如下：如

图1,从双曲线右焦点苣发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左

焦点4.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双

22

曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2,其方程为5-方=1,斗鸟分别为其左、右

焦点，若从右焦点心发出的光线经双曲线上的点A和点8反射后(鸟、48在同一直线

⑴当|AB|=4时，求双曲线的标准方程；

(2)过工且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,7两点，点M是线段ST的中点,

试探究寓是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

8.(2023糊南长沙•长郡中学校考二模)已知圆£:(X+6?+/=16,尸(£0)T是圆E

上任意一点，线段尸T的垂直平分线与半径E7相交于点。，当点7运动时，点。的轨

迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)过点/(2,0)的直线与曲线C相交于点与夕轴相交于点S,过点S的另一

3

条直线/与C相交于”,N两点，且△NSM的面积是△"SN面积的彳倍，求直线/的方

程.

9.(2023・湖南•校联考模拟预测)已知椭圆E：W+[=l(a>6>0)的左、右焦点分别

ab

3

为耳，B，过耳的直线/与E交于A,8两点，△ZB居的周长为8,且点(T,?在£上.

⑴求椭圆E的方程；

(2)设直线/与圆O：、2+「=/交于。，。两点，当阴八伯,右,孚卜，求8面

积的取值范围.

10.(2023•河北唐山・唐山市第十中学校考模拟预测)已知椭圆C：,+'=1(“>6>0)

经过点/0,0),且离心率为也.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线乙，人均过点儿且互相垂直，直线4与圆。交于N两点，直

线L与椭圆C交于另一点3,求△W8N面积的最大值.

11.(2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)已知椭圆C：4+4=1(«>^>0)

矿b2

的左右焦点分别为4、F”离心率2=立，4、应分别为椭圆C的左、右顶点，且

2

1441=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若。为坐标原点，过鸟的直线/与椭圆C交于/、8两点，求AONB面积的最大值；

(3)若椭圆上另有一点使得直线例4与4/斜率占、质满足％2=2尢，请分析直线8M

是否恒过定点.

12.(2023•黑龙江哈尔滨・哈师大附中校考模拟预测)已知双曲线C：4-4=1(。>°，

Q_b-

b>0)的渐近线方程为了=±1》，焦距为10,4,4为其左右顶点.

4

(1)求C的方程：

(2)设点P是直线/：x=2上的任意一点，直线尸4、取2分别交双曲线C于点知、N,

A2QLMN,垂足为。，求证：存在定点R,使得|。用是定值.

13.(2023•湖南长沙•周南中学校考三模)已知椭圆£：1(">6>0)的左、右

焦点分别为白，工，焦距与短轴长均为4.设过F2的直线/交E于MM过MN分别作E在

点M,N上的两条切线，记它们的交点为的中点为Q.

(1)证明：O,P,。三点共线;

\pA+oS\

⑵过B作平行于/的直线分别交PM,PN于/,民求\一"的取值范围.

|。耳

参考结论：点7(J。)为椭圆*+r=1(a>b>0)上一点，则过点的椭圆的

切线方程为岑+缪=1.

ab

14.(2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测)已知过右焦点尸(3,0)的直线交双

曲线C:]-口=1(〃/>0)于两点，曲线C的左右顶点分别为4,4,虚轴长与实

ab~

轴长的比值为好.

2

(1)求曲线。的方程;

(2)如图，点M关于原点O的对称点为点P,直线4尸与直线4N交于点S,直线OS与

直线肱V交于点T,求T的轨迹方程.

15.(2023•广东深圳•深圳中学校考模拟预测)己知定点尸(2,0),关于原点。对称的动

点P,。到定直线/:x=4的距离分别为外，％，且与口=竽，记P的轨迹为曲线C.

apaQ

⑴求曲线。的方程，并说明曲线C是什么曲线？

(2)已知点M,N是直线〃，:x=:y+2与曲线C的两个交点，M,N在x轴上的射影分

别为乂不同于原点。),且直线A<N与直线/：x=4相交于点出，求ARMV

与△m%乂面积的比值.

16.(2023•江苏苏州•校联考三模)已知点。是圆0:。+4)2+必=72上一动点，点

山4,0),线段的垂直平分线交线段。。于点儿

(1)求动点8的轨迹方程C：

(2)定义：两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线

C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点E(-3,0),尸(3,0).过曲线C上任一点p作

曲线7的切线，切点分别为这两条切线加，尸N分别与曲线C交于点G,〃(异

于点P),证明：MN//GH.

17.(2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，已知抛物线

C：=2勿(p>0)上的点Q”,4)到焦点尸的距离的5.

(1)求抛物线方程及点Q的坐标.

(2)过点(0,3)的直线/交C于48两点，延长4/，8尸分别交抛物线于〃,N两点.令

s

S&FAB=S\,SGFMN=S?,S加"=53，(.FBM=s”求U+S3s4的最小值.

18.(2023•江苏苏州•模拟预测)如图，在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线C:/=4x

的焦点为尸，过尸的直线交C于A,8两点(其中点A在第一象限)，过点A作C的切

线交x轴于点P,直线PB交C于另一点。，直线，交x轴于点T.

⑴求证：|"4|』7|=忸4|。7|;

(2)记A/OP,/\AFT,△BQT的面积分别为£,S2,S},当点A的横坐标大于2时，

求的最小值及此时点A的坐标.

19.(2023•安徽合中学校考模拟预测)已知双曲线C:£-4=l(a>08>0)

ab

的左、右焦点分别为耳，S，N为双曲线C的右支上一点，点A关于原点。的对称点为B,

满足/耳力舄=60。，且忸用=2|4闾.

(1)求双曲线C的离心率：

(2)若双曲线C过点(6,2),过圆。:/+/=从上一点7(%,九)作圆0的切线/,直线/

交双曲线C于P,。两点，且△。尸。的面积为29，求直线/的方程.

20.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知椭圆£二+g=1,下顶点为4尸是椭圆上任

84

意一点，过点P作x轴的平行线与直线/：x+V=-2交于M点，若点P关于点M的对称

点为N,直线XN交椭圆于4。两点.

(1)求椭圆E上点到直线/的距离的最大值；

⑵已知过点3作垂直直线P。，垂足为H,是否存在定点T,使得|〃/|为

定值，若存在求出定点7坐标和|〃7|,若不存在，请说明理由.

2L(2023•重庆•统考模拟预测)已知椭圆。:亍+/=1(4>])的右焦点为尸(c,o),点儿

8在椭圆。上，点可到直线四的距离为且△NB尸的内心恰好是点D

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知。为坐标原点，M,N为椭圆上不重合两点，且M,N的中点”在直线y=上,

求ATVWO面积的最大值.

22

22.(2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测)已知椭圆C：?+彳=1e>0)与了轴交

于/(0/)，8(0,-6)两点，椭圆上异于4,8两点的动点。到儿B两点的斜率分别为尢,

k[,己知k、k[=——.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过定点与动点。的直线，与椭圆交于另外一点"，若的斜率为内，求

质+&的取值范围.

23.(2。23・江苏・金陵中学校联考三模)已知椭圆史椭圆上有四个动点4

B,C,D,CD//AB,力。与8c相交于尸点.如图所示.

(1)当/,8恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线/。与8c的斜率之积

是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由：

(2)若点P的坐标为(8,6),求直线Z8的斜率.

24.(2023•广东广州•广州市培正中学校考模拟预测)如图，在中，点

N(TO),8(1,0).圆/是“8C的内切圆，且。延长线交”于点。，若百=2万.

(1)求点C的轨迹。的方程;

⑵若椭圆捺+%=1(。>6>0)上点(%,%)处的切线方程是笔+券=1,

ab

①过直线/:x=4上一点M引Q的两条切线，切点分别是AQ,求证：直线尸。恒过定

点N；

②是否存在实数义，使得|PN|+|QM=%PNHQV|,若存在，求出4的值，若不存在，

说明理由.

25.(2023•湖南邵阳二中学校考模拟预测)已知双曲线C的离心率为2,右焦

点与抛物线=8x的焦点重合，双曲线C的左、右顶点分别为A,B,点M为第二象

限内的动点，过点〃作双曲线C左支的两条切线，分别与双曲线C的左支相切于两点尸,

Q,已知M4,"8的斜率之比为3:(-1).

(1)求双曲线C的方程;

(2)直线尸。是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由.

⑶设41尸0和V8PQ的面积分别为，和凡，求$2-5的取值范围.

参考结论：点火(%,%)为双曲线右-m=1上一点，则过点R的双曲线的切线方程为

ab

x°x

a2b2~'

26.(2023•湖北恩施•校考模拟预测)已知片，工是椭圆C:]+/=l(a>b>0)的左右焦

点，以耳鸟为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G,若三角形的面积为1，

其内切圆的半径为2-6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)己知/是椭圆C的上顶点，过点P(-2,l)的直线与椭圆C交于不同的两点。,E,点。

在第二象限，直线4。、NE分别与x轴交于求四边形。MEN面积的最大值.

22

27.(2023•湖北荆门•荆门泉中学校考模拟预测)已知椭圆民工+2S=1.若直线

42

/：x=〃9+JJ与椭圆E交于力、8两点，交x轴于点凡点/,F,8在直线/'：x=2叵

上的射影依次为点。，K,G.

(1)若直线/交y轴于点7,且m=4/，盍=%而,当机变化时，探究4+^的值

是否为定值？若是，求出4+4的值；否则，说明理由；

(2)连接4G,BD,试探究当机变化时，直线ZG与5。是否相交于定点？若是，请求出

定点的坐标，并给予证明：否则，说明理由.

28.(2023•山东泰安・统考模拟预测)己知曲线C上的动点P满足I分;|-|帆|=2,且

£(-2,0),骂(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直线NB与C交于A、8两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P.在以

下两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.

①直线48经过定点/(4,0)；

②点P'在定直线x=!上.

29.(2023•山东潍坊・三模)已知椭圆C：m+《=l(a>b>0)的离心率为也，且过点

a2b22

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动直线/：y=-gx+m（14加＜2）与椭圆C交于48两点，且在坐标平面内存在两

个定点尸,。，使得原#依=%。金=2（定值），其中七,,原s分别是直线24PB的斜率，

乜上侬分别是直线Q4QB的斜率.

①求彳的值；

②求四边形面积的最大值.

30.（2023•云南•校联考模拟预测）已知圆C：（x+石）2+F=4,定点。（右,0）,如图

所示，圆C上某一点4恰好与点。关于直线尸。对称，设直线尸。与直线AC的交点为T.

Q/|

（1）求证：||TC|-|7D||为定值，并求出点7的轨迹E方程；

⑵设/（TO）,M为曲线E上一点，N为圆上一点（M，N均不在x轴上）.

直线4",ZN的斜率分别记为占，k2,且占=-4&.求证：直线过定点，并求出此

定点的坐标.

专题05首届新高考-圆锥曲线大题综合（首届新高考江西、广

西、贵州、甘肃专用）

一、解答题

1.（2023•福建龙岩•统考模拟预测）已知双曲线C：*-，=l（a>0力>0）的左顶点为力（-1,0）,

渐近线方程为y=土后x.直线/交C于RQ两点，直线工尸,的斜率之和为-2.

（1）证明：直线/过定点；

（2）若在射线40上的点R满足乙4PQ=ZARP,求直线PR的斜率的最大值.

【答案】⑴证明见解析

⑵W

【分析】（1）根据顶点坐标和渐近线得出双曲线方程，解设/：N=丘+，〃,尸（天,必）,。（七,力）,

设直线”尸,4。的斜率分别为匕,质，通过化简表示出直线/的方程，即可得出结论.

（2）利用平面几何知识，将几何问题转化为求出R的坐标，最后直线依

的斜率用力的斜率表示，即可求解.

【详解】（1）由题知a=l,6=&.

.•.c的方程为：x2-^=l,

2

显然直线/的斜率存在,

设直线/：y=履+加,产（士,必）,。（％2，%），

联立得Dx2-2kmx2+2）=0,

y=kx+m

口2km-m2-2

且玉+%2=2^F，X,X2=2-k2

设直线AP,AQ的斜率分别为匕,心,

则"i=的二$7

王4-1x2+1

故勺+&=上+上=七必+'办+乂+必，

再+1x2+1x[x2+X]++1

又五|»2+工2»=玉（履2+阳）+4（k%+m）

c,/\-4k

=2ZX1X2+W（X1+X2）=——y

2k2m4m

y+y=〃(玉+/)+2m-+2m=

i22-k22-k2

-4k4m

2-42.2-42

:.k\+k?

-m2—22km1

-----^-+----r+1

2-k22-k2

-4k+4m_4(加一女)

-m2-2+2km+2—k2-(m-k)2

・P。不过点A,

...加一4wO,...m=A+2,/.y=%(x+l)+2,

所以直线/过定点(T,2).

(2)由题设直线＞?：N=f(x+l)+r("O).

y=h(x+i)

2+忏4kl]

由，',y2，得尸、2-尢2'2-6!

x2-^-=l

2

4r（1+左；）

故MP『=

（2-左：）（勺一）

同理⑷.网=溪冷？

由乙4尸2=4即可知，

4厂（1+左：）4r（1+代）

即

（2-42）（占-，）（2-后）&-/）

因为Kw初仁+&=-2,

化简得(3+J+;7.

t=------------K----

624

+%2=-2

当L,1时取等号，

rA=-2

7

所以直线PR的斜率的最大值为-三.

2.（2023•江苏无锡•江苏省天一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到

定点尸。,0）的距离比它到V轴的距离大1,E的轨迹为C.

（1）求曲线。的方程；

（2）已知点』（再,必），8（3,%）分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点，且为％+%%=，

求A/8。与VNFO面积之和的最小值.

【答案】⑴加]。叱。

⑵返

2

【分析】（1）由题意直接求动点的轨迹方程即可：

（2）当直线的斜率为0时，不适合题意，所以设出直线的方程与抛物线联立利用基本

不等式求解即可.

【详解】（1）设动点£的坐标为（x，V）,由已知得，而了+了2=国+1,

尤之04MxNO

化简得：/=',二,故曲线C的方程为/=

10,x<00,x<0

因为点4（西,必），以々,%）分别为曲线C上的第一象限和第四象限的点,

所以当直线18的斜率为0时，不适合题意；

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=ay+t,

,（x=ay+t.

由〈2A得，，—4ay—4t=0,△=16。？+16/>0,

[y=4x

乂+为=4。

所以

,乂%=9

由%%=-*<0，得，>0,

99

因为再％+必为="所以（。乂+,）（%+，）+必为=“

所以S+1）必%+的%+%）+/=（'

所以（/+1乂_今）+加.4a+*=；,解得：f=g或f=_g（舍去）,

99

当，=一时，直线48的方程为x=ay+—,

22

直线N8过定点g,0）,且满足A〉。，且%为=-金=-18,

所以

xx?+-1

S-BO+SAAFO=y^|ji-y2\^y\=］必一］%22\已—^^2j=TA/=T^/22,

乙乙4*T"ru\*»J4乙

当且仅当口必=-2%，即乂=2叵，%=-后时取等号，

4411

故最小值为返.

2

3.（2。23・河北・统考模拟预测）已知椭圆的左焦点为尸'过点「作直线，交C

于点A,B.

（1）若2万=3而，求直线/的斜率;

⑵设P（TO）,。是C上异于A的点，且尸，Q,A三点共线，求证：ZPFQ=ZPFB.

【答案】（1）土叵

2

（2）证明见解析.

【分析】（1）求出椭圆左焦点尸的坐标，设出直线/的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定

理和向量共线的坐标表示，解方程可得直线/的斜率；

（2）求出直线ZP的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求得点。的坐标，再求直线。下

的斜率，与直线8尸的斜率比较可得证明.

【详解】（1）依题意,椭圆c：片+片=1的左焦点尸（T0）,

43

当直线/的斜率为0时，此时A、8两点是椭圆长轴上的两点,

向量力=(-3,0),丽=(-1,0)或N=(l,0),或=(3,0)均不满足2万=3丽,

不合题意，所以直线/的斜率不为0.

故可设直线/的方程为*=T,4(士,必)，B(x2,y2),

x=my—\

由，乂2得：(3加2+4)/一6用歹一9二0,

—+—y=1

143

A=36m2+36(3〃/+4)>0,

6rn9

则M+M=…①,

3加2+4y^2=-3m2+4

由2万=3而可得2(Tf%)=3在2+

3

所以2(-%)=3%,即％=-32…②，

12〃7323/12〃7、29

由①②可得％=-E‘必必=一5%=下(一病石)二一病"

化简整理得〃，2=2,所以用=±2叵,

2121

所以直线/的斜率为工=士应

m2

(2)证明：由P(TO),Z(x”M)可得直线〃的方程为^=含。+4),

y=^7(x+4)

须+4

由-得:y八高T+吉”

43

3(4*+4/,结合^+q=1

所以%+x°

8+52%=.°+4)=悬8+533M)

可得：XQ=~,即。(一

5+2项5+2再5+2xj

则2急・一获*

又b(T0),

1+X)

所以%=3怠=-3所以NPFQ-PFB.

4.（2023・福建厦门•统考模拟预测）已知点0（0,0）,点尸（0』），点〃是x轴上的动点，点N

在了轴上，直线加”与直线M尸垂直，N关于"的对称点为P.

（1）求P的轨迹「的方程；

（2）过尸的直线/交「于45两点，A在第一象限，「在A处的切线为交了轴于点C,过C

作08的平行线交/于点/"CD是否存在最大值？若存在，求直线/的方程；若不存在，

请说明理由.

【答案】（1）/=4y

（2）存在；y=-^-x+1

【分析】（1）利用向量垂直以及中点坐标公式即可求解，或者利用菱形的性质以及抛物线的

定义可判断点p的轨迹是以尸（。,1）为焦点，y=7为准线的抛物线.

（2）将问题转化为直线08与/'的倾斜角之差最大.联立直线与抛物线方程，得到韦达定理,

求导得切线斜率，即可利用倾斜角与斜率的关系，结合正切的和差角公式以及基本不等式即

可求解.

【详解】（1）法1：

设M（a,0）,N（0,b）,P（x,y）

因为W_LMV,所以而?.丽=0，即/+/）=（）.

又x=2a,y=_b,所以-y=0,所以f=4y

法2：

如图，设尸关于〃的对称点为。，由己知得，下。,*互相垂直平分

所以四边形尸尸可。为菱形，所以|PF|=|PQ|.

因为"为尸。中点，所以坨=-»=T,即。点在定直线y=-i上

因为PQ〃FN,所以尸。与直线N=-1垂直

即点P到定点F(O,1)的距离等于点P到定直线y=-i的距离

所以点p的轨迹是以尸(0,1)为焦点，y=-i为准线的抛物线.

所以点P的轨迹「的方程为f=4y.

(2)NNC。存在最大值.

延长80交/C于E/AEB=ZACD,

所以//CD最大即直线08与/'的倾斜角之差最大.

由题意可知直线/有斜率，设/：^=履+1,幺(占,乂),8(欠2,%)，(w>0)

{y=kx-\-\,

由「2”得Y-46-4=0

所以西+x2=4%,玉/=-4.

因为《］=三，所以厂的斜率占=三，08的斜率右=匹=?.

422x24

设直线I'与OB的倾斜角为3%，则

tan^-tan。1_k-k

tan(g=2]

1+tan^tan^21+%岛

—F须]2y/2.

U)

当且仅当一2=再即阳=&L,%=-27r~2时等号成立

因为tan(2-4)<0,所以%-qe

所以当tan（a-q）最大时，名-用最大，即//CO最大

44

所以/的方程为"-受x+1.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的

等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的

取值范围.

5.（2023•山东泰安・统考模拟预测）已知为。坐标原点,^（2,0）,B（0,l）,C（0,-l）,r>（2,l）,

OE=AOA,DF=ADA,Q<2<1,CE和BF交点为P.

（1）求点。的轨迹G；

（2）直线y=x+皿"RO）和曲线G交与M,N两点，试判断是否存在定点。使£“/现=；?

如果存在，求出。点坐标，不存在请说明理由.

2

【答案】（1）G:?+/=1

【分析】（1）利用已知条件表示出瓦尸点坐标，进而表示出直线CE,8尸的方程，联立即可

得出P点轨迹方程.

y=x+tn

（2）假设存在定点G,设点G坐标为（％,%）,”（士,乂）”（三,必），联立方程组

8加

苞+工2=_彳]o

得出《24，一有＜加〈石，由=1整理得出4»；一片一~---7H（X0+^0）=0,

4/«-4455

西4=---

对朋力0恒成立，即可得出结论.

【详解】⑴设点P（x,y）,E（xE,yE）,F（xF,yF）,

•l1OE=WA，即（4,外）=2（2,0）,

；.E点坐标为（240）,

DF=ADA»即（牙-2,%-1）=2（0,-1）,

.•・尸点坐标为（2,1-几）,

根据两点坐标可得，

直线CE方程为：y=^-x-l,

2A

直线8F方程为：y=~x+\,

两式移项相乘得：/_[=-!/,

4

2

整理得上+/=1,

4

P点的轨迹为以（道,0）,（-6,0）为焦点，长轴长为4的椭圆,

即其方程为G:工+/=1.

4-

（2）假设存在定点G,

设点G坐标为（x。,%）,M（x,,y,）,N（x2,y2）,

y=x+m

联立方程组X22消丁得5/+8〃a+4m2_4=0,

14,

直线与椭圆交于两点，

...4=64〃?2-80（加2—1）＞0即_石〈机＜石，

8加

%+》2=一彳

4m2-4'

王马=---

,,1

丁^MQ^NQ=4，

.%—乂=1

一/一&x0-x24(

•14(%-%-xj(%-々)=0,

.-.4(^0-x,-TH)(^0-x2-m)-(x0-^)(x0-x2)=0,

整理得：

2

4了；-4(x,+x2+2m)y0+4xtx2+4〃?(*+X2)+4OT-X；+(X,+X2)X0-xtx2=0,

128

-X；-~(x0+)=0,对aw0恒成立,

,,）12

/+J。=0,得4y~-XQ--=0,

_12后

・•/=-%=土，

所以存在定点。，坐标为（手,-半）或卜半，苧］

6.（2023•安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系立沙中，点

M（/，九）在椭圆「：—+—=1±,从原点。向圆Af：（工-/『+（丁-%）2=户土＞0）作两条

3

切线分别与椭圆「交于点A,B,若直线3,08的斜率分别为占，Q且4/2=一：.

⑴求圆”的半径厂；

（2）探究|0%「+|。靖是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）还1

7

（2）是定值,10HRo*=28

【分析】（1）设过原点作圆的切线v=云，利用圆心到直线的距离等于半径得到

（片-户*2_2x°"+y：一尸=0,利用韦达定理及仙=-：得到3x；+4*=讨,结合点在

椭圆上，即可求出半径一

/、z3

（2）设8（々，%），由锌2=-*，可得16"代=9x；x；,再由点在椭圆上得到

弁=12（1-却欢=12“*；即可得至曦:+考=16,从而求出|M+|附的值.

【详解】（1）设直线。4,08的方程分别为'=y^k2x,过原点作圆的切线y=丘,

则库弃1=尸，即价+1卜2=（%_依），即卜；_/*-23++$"=0,

y/K+1

22

v_r3

所以"2=<~~=~1'即3x；+4y：=7/，

不一，4

4向.

7

（2）是定值，且3『+|0*=28,理由如下:

设/（再,必）,8（%,%），

因为《向=-（，所以目？'=-（，即=9x；x；①，

又A、8在椭圆上，所以K+E=l,芯+五=1,

16121612

所以疗=12。寓，丸=12（1_圣],

代入①可得16X12（1-§]X12（1-M]=9X；X；,化简得x；+x；=16,

Il6JI16J

所以|O4『+=储+y；）+（x；+货）=x；+x；+必2+只

"2+工；+12（1一回+12（1-切

〔弓I16/

=；卜：+4）+24=；x16+24=28,

所以|。4『+|。却2=28.

7.（2023・安徽亳州•安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）双曲线的光学性质如下：如图1,

从双曲线右焦点鸟发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点片.我

国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截

面是双曲线一部分，如图2,其方程为'-/•=1,£,£分别为其左、右焦点，若从右焦点工

发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（鸟、43在同一直线上），满足

图1图2

⑴当|AB|=4时，求双曲线的标准方程；

(2)过F2且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,T两点，点M是线段ST的中点,

试探究悭!是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

ml

„2_/

【答案】⑴""T-1

2

(2)是定值，定值为更1

10

3

【分析】(1)延长D4与C8交于片，根据_1,力£),tan/48C=—,得到

4

卜卸=4水周=3,忸同=5,再设。玛|=x,利用双曲线的定义求解；

(2)设|/8|=4川/6|=3%8同=544司=%利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方

程丁=|/，设直线方程为y=2(x-c),联立求得加(暂,与卜［|可.

【详解】(1)解：如图所示:

延长DA与CB交于耳,

3

因为_LABC=—,

4

所以卜⑷=4,|4用=3,即J=5,

设西=x,则3-x=5-(4-x),即x=l,

4c2=32+l2=10,c2=-,2a=3-l=2,4/=l,

2

2

2_K_1

r-1

故方程为x-T；

2

(2)设|/却=4/”用=3/明|=5耳4典=%

则决一》=5上一(4%-1),》=%,402=9%2+%2=10%2,

-5n

c1=甘“、2a=3k-k=2k,a=k,

两渐近线所在直线方程为：y=土星x,

2

设直线方程为y=2(x-c),将渐近线两侧平方与直线联立,

故附阂丁.”.

阳闾-2c-10

8.(2023・湖南长沙•长郡中学校考二模)已知圆E:(x+拒产+》2=[6,产(近0)7是圆后上

任意一点，线段尸7的垂直平分线与半径E7相交于点。，当点T运动时，点。的轨迹为曲

线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)过点题2,0)的直线与曲线C相交于点41|,£|,与V轴相交于点S,过点S的另一条直

线/与。相交于〃,N两点，且△力的面积是△"SN面积的9倍，求直线/的方程.

2

22

【答案】(1)土+匕=1

42

(2)y=±^^-x+1

14

【分析】（1）根据题意和楠圆的定义即可求解；

（2）首先求出直线的方程，以及S点的坐标，讨论直线/的斜率存在与否，当斜率存在

时，设直线/的方程为>=丘+1,”（再,必）,联立解方程组求出

Xl+X2=^-,Xlx2=^-,根据△/$用的面积是△"SN面积的9倍，化简可以得到

1+2〃1+2%2

X2=-2X,,进一步求出斜率，从而得出答案.

【详解】（1）因为点。为线段尸7的垂直平分线与半径£7的交点，

所以\QT\=\QF\,所以|0E|+|0川=纱|+pT|=即|=4>2应=|,

所以点。的轨迹是以民尸为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中a=2,c=&,6=&,

所以曲线。的方程为E+zi=1.

42

（2）由已知得所以直线4〃的方程为y=-；（x-2）,所以S点的坐标为（0,1）.

当直线/的斜率不存在时，S36-14晔=警，或％£“=0+1，5插5”=空都

与己知不符；

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为V=H+1,M（再，,）,'（》2，力），

由1[4r+£2-1得（1+2公卜?+4日一2=0,

y=kx+\,

_4k-2

易知A>°,则再+j=由

s与SM网Msin4sMs/=；|〃S|.|NS卜in"SN,

3

由4AsM的面积是△HSN面积的a倍可得2s&ASM=3/於，

眄网

化简得2Msi•|九网=3|〃5卜|/陶，即2

\HS\|MS|

NS

3,所以前=2,即­=2,也就是％=-2%,

-XH~x\

-4k4k8k-32月

所以十百'中2=（1+2公）2巧育'

解得-J

所以直线/的方程为y=±普x+1.

9.（2023・湖南•校联考模拟预测）已知椭圆E：，+，=1（〃>6>0）的左、右焦点分别为4,

匕过4的直线/与E交于A,8两点，△/叫的周长为8,且点（-1,章在E上.

（1）求椭圆£的方程；

（2）设直线/与圆。：交于。，。两点，当仁。€2"苦1时，求△形区面积

的取值范围.

22

【答案】⑴工+二=1

43

(2)—,3

3

【分析】（1）由△48工的周长结合椭圆的定义得出4〃=8,再将（-1,/代入椭圆方程，即

可求出6,进而得出椭圆的方程；

（2）设直线/的方程为》=叼-1,由点到之间距离公式及勾股定理得出“广6