2014-2023年高考数学真题分享汇编：数列解答题（理科）（解析版）（全国通用）

十年(2014—2023)高考真题分项汇编一数列解答题

目录

题型一：数列的概念和通项公式...............................1

题型二：等差数列的定义与性质...............................8

题型三：等比数列的定义与性质..............................12

题型四：数列的求和........................................12

题型五：数列中的新定义问题................................15

题型六：数列中的证明问题..................................45

题型七：数列与其他知识的交汇..............................61

题型八：数列的综合应用....................................79

题型一：数列的概念和通项公式

1.(2021年新高考I卷•第17题)已知数列｛4｝满足％=1,册+i猊孑

%+2,〃为偶数.

⑴记4=6，写出伪，打，并求数列｛，｝的通项公式；

⑵求｛%｝的前20项和.

【答案】々=2也=5；300.

解析：(1)由题设可得々=。2=q+1=2,Z>2=a4=a｝+\=a2+2+1=5

又a2t+2=a2k+l+1>a2k*l=。2k+2，故°2A+2=+3即，,+1==+3即"八—b"=3

所以也｝为等差数列，故，=2+(〃-l)x3=3〃-l.

a

(2)设｛。“｝的前20项和为520,则邑。=q+&+%+…+2»，

因为％=。2一1，03=。4-1，…，卬9=«20-1，

所以S20=2(%+。4+…+。18+〃2o)-10

(ox1f))

=2伍+62+---+/>9+/>1())-10=2xl10x2+-^—x3-10=300.

2.(2014高考数学湖南理科•第20题)已知数列｛。“｝满足q=1,0用=

(I)若｛4｝是递增数列，且%,2%3%成等差数列，求Q的值；

(II)若p=；,且也“，是递增数列，｛%“｝是递减数列，求数列｛%｝的通项公式.

，田田.141(-1)"

【答案】⑴p=§(2)a„=y+3"27：r

解析：(I)因为｛端是递增数列，所以用—。,=|。用一。"|="'。而％=1.因此又%,2%,3%成等差数列，

4a2=%+3%n4(1+p)=1+3(22+p+1)n3P2-p=0解得p=；，2=0,但当夕=0时，

an+x-an,

这与｛%｝是递增数列矛盾。故P=；.

(⑴由于｛4,-｝是递增数列，因而4,用一。2,1>°，于是

(。2,,+1—%”)+Q"一°2"-i)>。①

但《<击，所以

a2n+\~a2n<a2n~a2n-\'②

又①，②知，0,因此

a2n-a2n_t>

因为｛%“｝是递减数列，同理可得，。2“+1一。2“<0故

flYw_(-1严।

aa=一④

2n+\-2n

由③，④即知，%+I―/=':。

于是

=%+(2-q)+32)+…+(a”-«„-1)

an(。一。

_111(-1)"11一(-5)”_41(-1)"

2222"T21工1332"''

2

故数列｛。“｝的通项公式为+

3.(2019•全国II•理•第19题)已知数列｛%｝和也｝满足%=1,4=0,4%用=3。“—”+4,

4b例=3bn-an-4.

(1)证明：｛%+"｝是等比数列，｛。“一。｝是等差数列；

(2)求｛%｝和也｝的通项公式.

【答案】(1)见解析；(2)4"=!+〃一；,—

【官方解析】

(1)由题设得4(a.+I+b,+J=2(4+勿)，即all+l+b“+i=1(an+b„).

又因为4+4=1,所以｛4+〃｝是首项为1,公比为;的等比数列.

由题设得45,用—〃用)=40—")+8,即%-b“+i=an-bn+2.

又因为6-4=1,所以｛4-"｝是首项为1,公差为2的等差数列.

(2)由⑴知，4+4=击，an-b„=2n-l.

所以。“=g[&+〃,)+伍“一”)]=J+"—；，

”,=；[(/+")一(4_»)]=?一〃+；.

【分析】(1)可通过题意中的4。川=3bn-an+4以及44+1=3/一”一4对两式进行相加和相减即可推导

出数列｛q+4｝是等比数列以及数列｛。.-％｝是等差数列；

(2)可通过(1)中的结果推导出数列｛6,+"｝以及数列｛与-〃｝的通项公式，然后利用数列｛%+4｝以及

数列｛。“一4｝的通项公式即可得出结果.

【解析】(1)由题意可知4q,+i=34-〃+4,他+|=3〃,一。“一4,%+4=1,%-4=1,

所以4%刊+4%=3a„-bn+4+3hn-an-4=2a„+2h„，即%+%=*“+4）,

n

所以数列｛%+4｝是首项为1、公比为4的等比数列，an+b„=（j）-',

因为4%M-4晨=3/-b„+4-（3b.-an-4）=4a„-地+8,

所以4+「bn+i=a„-bn+2,数列｛a“一»｝是首项1、公差为2的等差数列，an-bn=2n-1.

（2）由（1）可知，%+“=击，an-bn=2n-1,

所以勾=J[（4,+4）+（与—4）]=：+〃_；，"=；[（/+4）-（%-4）]=：一〃+J.

【点评】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数

列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档

题.

4.（2014高考数学广东理科•第19题）设数列｛%｝的前〃和为S.满足S〃=2"〃向-3"2_4〃,〃CN*,且

§3=15.

（1）求为七,内的值;

（2）求数列｛4｝的通项公式.

【答案】解：（1）当〃=1时，%=24-7①

当〃=2时，4+%=4a3-20②

邑=q+%+%=15③

由①②③解得q=3,4=5,%=7

（2）当〃>1时，Sn=2〃a〃+]-3/-4〃①

S,T=2（〃-1”“—3（〃-1）2-4（〃—1）②

化简得2〃。用=（2〃-1）4+6〃+1（当”=1时也成立）

方法1：（凑配）

☆2〃[a“+]+/（〃+l）+B]=（2〃-l）[a“+Z〃+8],求得/=-2,8=-1即

2〃[%一2（〃+1）-1]=（2〃-1）[%-2〃-1]

令b“=a“—2〃—l,则2叫M=（2〃-1应，即加=宇"

因为4=0也=0,4=0,故必有4=0,即4=2〃+1

方法2：（数学归纳法）由⑴q=39=5,/=7，猜想。“=2〃+1,

+

下面用数学归纳法证明对VxeN,an=2/7+1：

当〃=1,〃=2,〃=3时，成立

假设当〃=%时成立，即有以=2左+1,2左4+1=（2左一1）4+6左+1

当〃=左+1时，2—=（2左一1）（2左+1）+6左+1=4尸+6左

所以a-=4%+6%=2左+3=2（1+1）+1,成立

2k

综上所述，对VxeN+,a“=2〃+1

5.（2014高考数学湖北理科•第18题）已知等差数列｛%｝满足：q=2,且%、出、生成等比数列.

（I）求数列｛凡｝的通项公式.

（H）记5“为数列｛%｝的前"项和，是否存在正整数〃，使得S.>60〃+800?若存在，求”的最

小值；若不存在，说明理由.

【答案】⑴%=2或%=4〃—2；（2）详见解析.

解析：（1）设数列｛凡｝的公差为d，依题意，2,2+d,2+4"成等比数列，所以（2+1）2=2（2+41）,解得

d=0或d=4,当d=0是，氏=2；当d=4时，a“=2+（〃—l）x4=4〃一2,所以数列｛《,｝的通项公

式为a“=2或an=4〃一2.

⑵当氏=2时，S“=2〃，显然2〃<60〃+800,不存在正整数〃，使得.

当氏=4〃—2时，§42+（4"2）］、2八令2/>60〃+800,BP«2-30«-400>0,解得〃〉40

'"2

或〃<-10（舍去），此时存在正整数“，使得S“>60〃+800成立，〃的最小值为41.

综上所述，当%=2时，不存在正整数”：

当氏=4〃—2时，存在正整数“，使得S”>60〃+800成立，及的最小值为41.

6.（2021年高考全国乙卷理科•第19题）记S”为数列｛%｝的前n项和，b”为数列｛S“｝的前〃项积，已知

+—=2

⑴证明：数列｛4｝是等差数列;

(2)求｛%｝的通项公式.

【答案】⑴证明见解析：(2)a„=«

,7?>2

21cc2a1

解析：⑴由已知不+了=2得且2声0,b产二,

S“b”2bn-l2

取〃=1,由5=4得4=：3,

由于“为数列｛S“｝的前〃项积，

由于

211

所以赤二口=丁，即以「4=5,其中〃

所以数列｛4｝是以a=:为首项，以d=2为公差等差数列；

22

(2)由⑴可得，数列也｝是以4=：4为首项，以1=1彳为公差的等差数列,

22

»3711〃

..b=---卜(/7—1)X—=1d--,

〃2\722

s_2〃_2+〃

"2bn-l1+〃'

2+771+771

当生2时,%而短，显然对于〃=1不成立,

1+〃n

3,

—,»=1

2

1W2

/1V-

【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的前〃项和与项的关系，数列的前〃项积与项的关系，其中由

2b.2b,2b心2a2b,2b.2bzh.

行*.kr…得到不*…L^n+\b,L"一进而得到。-二l+■是关键一

2b12h2-12hn-12hi-12h2-12btl+l-12on+1-1bn

步；要熟练掌握前”项和，积与数列的项的关系，消和（积）得到项（或项的递推关系），或者消项得到和（积）

的递推关系是常用的重要的思想方法.

7.（2018年高考数学浙江卷•第20题）已知等比数列｛%｝的公比q>1,且为+4+%=28，%+2是%，的

的等差中项.数列也卜满足&=1,数列｛电+1—4）4｝的前项和为21+〃.

⑴求夕的值；

（2）求数列也｝的通项公式.

【答案】（l）q>2；（2）〃=15-（4〃+3〉出

%+%+=28

【解析】⑴由题知<

%+4=2(%+2)

%+a、=20(1A1

35,.*.8q+-=20,解得q=2或9=上,

4=8Iq)2

q>\,・•.夕=2.

（2）方法一：错位相减法

/\/X1S,拉二1

设%=(%—〃”“，数列上}前〃项和为S”，由c,,=।，解得c.=4〃—1.

£7"T，〃22

由(1)知仆=2~,所以心一“=?，故"一％=?(〃之2)，

",={bn-6“T)+(AT—如)+…+(4-A)+(A-，)+A

4〃-5477-9

2〃-2+2”-3+•­•+-+3+1

2

74«—9477-5

设T“=3+--1---1-2«-3+2"-2（〃之2）,

471—94〃一5

----------?--------

2"242"-2

亨=3—守+44„..4M+3/IM_1_3

--1..-+…+(〃22),•••伪=1,.也=15-万芦

222

方法二：构造常数列

/\1S,〃二1

设%=陷f数列同前〃项和为％>_解得i-L

4h一1

由（I）知q"=2"T,所以6,用_〃,=二^,

而(4〃-1)(；)=(4〃+3)，1-(4〃+7)，),

=〃M+(4〃+7)6)=4+(4〃+3)6),

所以〃向_a=(4〃+3)_(4〃+7)

所以数列＜”+(4〃+3)(g)"是一个常数列。即”+(4〃+3)［；)=4+14=15,

所以a=15—牝?.

“r"一/

说明：其中（4〃一1）（；）|=（4〃+3）（g）一（4〃+7）（3）是采用待定系数法求出的

N-1

可设(4〃-1)=(/!〃+〃)-一［%(〃T)+〃］待定求出4=一4,〃二一7

题型二：等差数列的定义与性质

M2+M

1.（2023年新课标全国I卷•第20题）设等差数列｛4｝的公差为d,且d〉l.令”=一「，记S“，（，分

别为数列｛%｝,｛4｝的前”项和.

⑴若3%=3%+。3，$3+4=21,求｛«„｝的通项公式:

⑵若也｝为等差数列，且$99-％=99,求匿

【答案】（1）/=3〃

51

(2)JJ=—

50

解析：（1）：3。2=3%+%，，3d=q+2d,解得q=d,

S3=3a,=3(q+d)=6d,

TVTLLL26129

又T3=b、+b]+b3——l---------1----------=一，

323d2d3dd

9

...S3+4=6d+—=21,

d

即2"2—7d+3=0,解得d=3或d=1(舍去)，

2

4〃=%+(拉-1)•d=3/7.

(2)・・・他｝为等差数列,

12212

2h=a+a,即—=—।—,

a

iq%

々11、6dl…

•♦6(--------)=-----=一,即Q：7-3〃d+2d~=0,解得或q=2d,

a

a2%Q2a3\

•：d>\,/.>0,

又$99-7；9=99,由等差数列性质知，99%）-99%=99,即％）-&。=1,

•••«50--------------=1，即a；。一%）-2550=0,解得%o=51或%0=一50（舍去）

。50

当％=2d时，％o=q+491=514=51,解得"=1，与">1矛盾，无解；

当q=d时，的0=q+49"=50d=51,解得"=冷.

综上，tZ=—.

50

2.（2015高考数学四川理科•第16题）设数列｛q｝（〃=1,2,3,…）的前〃项和S“=2%—%,且q,%+l，%

成等差数列.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

⑵记数列｛」■｝的前〃项和Tn,求得芭一11<焉成立的〃的最小值.

【答案】⑴凡=2"；(2)10.

解析：⑴由已知S,,=2/—q,有以=S“_S“T=2a“_2a,

即见=2a“T(〃>l).

从而％=2a”a3=4al.

又因为q,4+1，%成等差数列，即4+4=2(%+1).

所以％+4q=2(24+1),解得%=2.

所以，数列｛风｝是首项为2,公比为2的等比数列.

故q=2".

(2)由⑴得———•

a.,2

1111一.

所以I,=—+—+F+…+—

"222232"

2

由区一11<----,得11—--11<-----即2”>1000.

"10002"1000

因为29=512<1000<1024=2i°,

所以〃210.

于是，使|1-1|<」一成立的n的最小值为10.

1000

考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求

解能力.

29

3.(2022年高考全国甲卷数学(理)・第17题)记为数列｛4｝的前〃项和.已知。+〃=2a“+l.

n

(1)证明:㈤｝是等差数列；

(2)若%,为,“9成等比数列，求S”的最小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)-78.

2S

【解析】(1)解：因为。+〃=2a“+l,BP2S„+n2=2na„+n®,

n

当〃22时，2sl+("1)2=2(〃-1)%+(〃T)②，

2

①-②得，2S4+/—2SZJ_,—(/?-1)=2nan+〃-2(〃-1",”-(〃-1),

即2。〃+2〃-1=2nan-2(/7-l)^+1,

即一2(〃-1)%_]=2(〃一1),所以。〃一。〃_]=1,n>2R.Z7GN*,

所以｛/｝是以1为公差的等差数列.

(2)解:由(1)可得。4=。1+3,。7=。1+6,。9=%+8,

又。4,。7，)成等比数列，所以/=%,%，

即(q+6『=(q+3)«|+8),解得％=-12,

^c1O〃(〃T)1225If25Y625

所•以-13,所以S〃=-12〃+—^-----=-/2----w=-n-----------,

2222(2)8

所以，当〃=12或〃=13时(，)而„=一78.

4.(2021年新高考全国H卷•第17题)记S”是公差不为0的等差数列｛勺｝的前〃项和，若％=55，%%=54.

⑴求数列｛q,｝的通项公式%;

(2)求使凡>““成立的"的最小值.

【答案】解析：(1)由等差数列的性质可得：$5=5%,则：4=5%,;.%=0,

设等差数列的公差为d，从而有：%%=(%-")(%+")=-屋，

54=«1+«,+a3+包=(%-2t/)+(a3-d^+a3+(%-d)=-2d,

从而：-d2=-2d,由于公差不为零，故：d=2,数列的通项公式为：+(〃-3)d=2"-6.

(2)由数列的通项公式可得：q=2-6=-4,则：S“=〃x(-4)+1)x2=/-6〃,

则不等式S”>见即：n2-5n>2n-6,整理可得：(n-l)(«-6)>0,解得：或”>6,又〃为正整数,

故”的最小值为7.

题型三：等比数列的定义与性质

1.（2018年高考数学课标山卷（理）•第17题）（12分）等比数列｛叫中，％=1,%=4%

（1）求｛风｝的通项公式；

⑵记S”为｛4｝的前“项和，若S,“=63,求加.

【答案】⑴凡=2""或4=（—2）1；（2）〃?=6

【官方解析】（1）设｛4,｝的公比为q,由题设得a“=/T

由已知得/=4/,解得g=0（舍去），q=—2或g=2

-1

故an-（-2）"或an-2"T

⑵若%=（一2广，则鼠二1一（；），由鼠=63,得（一2）'"=-188,此方和没有正整数解

若4=2"1则S„=2"'-l,由S,“=63,得2"=64,解得加=6

综上，加=6.

【民间解析】⑴设等比数列｛%｝的公比为g，由6=1,%=4%可得lx/=4xlx/,所以^=4

所以q=±2

n

当g=2时，a“=qq"T=2"T；当g=—2时，an=a]q-'

（2）由（1）可知g=±2

a,（\-qmy1_2"'

当g=2时，山5,“=63=＞』-----^=63即-----=63,即2"'=64=26,所以加=6；

\-q1-2

当q=—2时，由5“=63=""-"）=63即1-（一2）=63,即（一2『=—188,无解

1-71+2、）

综上可知加=6.

2.（2016高考数学课标IH卷理科•第17题）已知数列｛%｝的前〃项和S,=1+几凡,其中/IHO.

（I）证明｛%｝是等比数列，并求其通项公式；

31

（H）若§5=3■，求力.

i2

【答案】⑴4=产;(n)4=-1.

1—A/t—1

【解析】⑴由题意得[=S[=1+4%,故4。1,4]=--—£0.

1-A

由S“=1+Aa„,Sll+i=1+Aan+I得a„+l=2an+1-Aa„,BPa,l+1(2-1)=Aan.

由qYO/HO得%WO,所以也=工一

%XT

1912

因此｛%｝是首项为,公比为1的等比数列，于是a“=(3严•

1-/I/I—11—AZ—1

1ai2212i

(H)由⑴得5,=1-(」一)",由S5=3•得1一(上一)5=三，即(4)5=-L,解得4=—1.

2-15322-1322-132

题型四：数列的求和

1.(2018年高考数学课标^卷(理)•第17题)(12分)记S“为等差数列也,｝的前n项和，已知a,=-7,S3=-15.

(1)求｛为｝的通项公式；

⑵求5.，并求，的最小值.

【答案】解析：⑴设｛4｝的公差为d,由题意得3%+34=-15.

由q=7得d=2,所以｛a,,｝的通项公式为a,=2"-9.

(2)由⑴得S,=〃2-8”=(〃-4)2-16.

所以当〃=4时，S,取得最小值，最小值为-16.

2.(2016高考数学课标n卷理科•第17题)(本题满分12分)S“为等差数列｛。“｝的前〃项和，且a,=LS产28.

记〃=[lgaj其中国表示不超过x的最大整数，$n[0.9]=0,[lg99]=l.

(I)求伪，M，6|01；(H)求数列也｝的前1000项和.

【答案】⑴4=[lgl]=0,=b101=[lgl01]=2；(2)1893.

【解析】⑴设｛4｝的公差为d，据已知有7+2M=28,解得d=l.

所以数列｛%｝的通项公式为a,=〃.

b]=[lgl]=0,bu=[lgll]=l,bm=[lgl01]=2.

0,l<M<10,

1,10<rt<100,

(2)因为”

"2,100<«<1000,

3,n—1000,

所以数歹Ij｛”｝的前1000项和为1x90+2x900+3x1=1893.

3.(2020年新高考全国I卷(山东)•第18题)已知公比大于1的等比数列｛%｝满足出+%=20吗=8.

⑴求｛6,｝的通项公式；

(2)记粼为｛4｝在区间(0,可(加eN*)中的项的个数，求数列｛耙｝的前100项和5100.

【答案】(1)。"=2"；(2)53=480.

解析：(1)由于数列｛%｝是公比大于1的等比数列，设首项为q,公比为q,依题意有,=2°,解

a｛q=8

得解得q=2,g=2,或％=32,q=/(舍)，

所以%=2",所以数列｛《,｝的通项公式为4=2".

(2)由于2=2,2?=4,23=8,24=16,2$=32,26=64,27=128,所以

4对应的区间为：(0,1],则4=0；

2也对应的区间分别为：(0,2],(0,3],则4=4=1，即有2个1；

“也也也对应的区间分别为:(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则”=4=%=&=2,即有22个2；

久也,…也对应的区间分别为：(0,8],(0,9],•••,(0,15],则4=4=-=>=3,即有23个3；

九岛，…也1对应的区间分别为:(0,16],(0,17],--,(0,31],则九=%=••=%=4,即有24个4；

修也，…也3对应的区间分别为:(0,32],(0,33],…,(0,63],则％="=…=1=5,即有2$个5；

%也5，…也。对应的区间分别为：(0,64],(0,65],…,(0,100],则d=瓯",=%=6,即有37个6.

所以品)0=1x2+2x22+3*23+4x24+5x25+6x37=480.

4.(2020年新高考全国卷II数学(海南)•第18题)已知公比大于1的等比数列｛%｝满足。2+久=20,4=8.

(1)求｛6,｝的通项公式;

(2)求axa2—a2a3+…+(-1)"‘%%+i・

o?2〃+3

【答案】(l)a,=2"；(2)--(-1)"^——

解析：⑴设等比数列｛4｝的公比为泌>1),则卜2+的：丝+6'=20

整理可得：2/—5g+2=0,

丁q>l,q=2,q=2,

数列的通项公式为：a,,=2-2"“=2".

(2)由于：(-1)"-1向=(一1rx2"x2"i=(-1)"“22n+,,故：

«1«2一电％+•••+(-

=23-25+27-29+...+(-ir1-22fl+1

=：_(T)”22n+3

5

5.（2023年全国甲卷理科•第17题）设S“为数列｛a“｝的前〃项和，已知生=L2S,,=〃％.

（1）求｛%,｝的通项公式；

⑵求数列｛器，的前〃项和

【答案】⑴％=〃-1

⑵7；=2—（2+〃）］）

解析：（1）因为25〃=〃。〃，

当〃=1时，2a｝-ax,即q=0；

当〃=3时，2(1+〃3)=3%,即。3=2，

当〃22时，2S,i=(〃—1),所以2(S“—S"T)=nan-(M-l)a„_,=2ali,

化简得：(〃—2”,,=(〃—1”“T，当〃23时，3=刍+=3=3=1,即%=〃—1,

n-\n-22

当〃=1,2,3时都满足上式，所以％=〃—1(〃eN*).

(2)因为笨=/,所以7；=ix(g)+2x(g)+3x[3)+…+”x(3),

聂=唔)+2*出+…+("T唱+"*({)'

两式相减得，

6.(2020天津高考第19题)已知｛%｝为等差数列，｛4｝为等比数列，4=4=1,%=5(%-%)也=4(“*).

(I)求｛叫和｛，｝的通项公式；

(II)记｛4｝的前"项和为5“，求证：S“S.+2<E3(〃eN*)；

(“T泡,〃为奇数，

(HI)对任意的正整数〃，设1=求数列｛%｝的前2〃项和.

筌，〃为偶数.

,，+1

4"6〃*54

【答案】⑴*=〃，bn=2'-'；(II)证明见解析；(III)----------

2«+19x4"9

【解析】⑴设等差数列｛。“｝的公差为d,等比数列也,｝的公比为"由4=1,%=5(4-。3)，可得

从而｛〃“｝的通项公式为%=".由4=1也=4e4-4)，又4*0,可得d-44+4=0,解得［=2,

从而也｝的通项公式为“=2"，

(H)证明：由⑴可得s,,=ap,

故E5+2=；〃(〃+1)(〃+2)(〃+3)，S3=；(〃+if(〃+2/，

从而S“S“「S；z=-；(〃+1)("+2)<0,所以S£M<S：.「

(3a,,-2)6“_(3〃-2)2"T_2"”2"-'

(Ill)当〃为奇数时，C〃=

Q〃4+2n(n+2)/7+2n

a”in-l

当”为偶数时，%=广°==

bn+12

22a22jt-2、,2〃

对任意的正整数”，有=Z-------1,

k=\k=\2A+12k)2〃+l

^2k—11352n-32/7-1

①

人〜日V1352n—32n-l丁

由①面72°2£=9+不+/+—.+7^+彳T②

百工彳14"J12/7-122112〃-1156〃+5

11II______-_____________=______x_______________x=_____________

,144"1-334"44"123x4n+l

1------4"

4

〃56n+5

从而得：Zc2*=a

k=\y9x4"

2nnn4〃

6〃+5所以，数列｛c'｝的前2〃项和为卢4

因此,ZQ=+£c2k=

k=\A=lk=\2〃+19x4"”m+1，x49

7.(2014高考数学山东理科•第19题)己知等差数列｛4｝的公差为2,前〃项和为S“，且S”S2，S4成等比

数列.

(I)求数列｛a,,｝的通项公式；

477

(H)令b”=(-1)1,求数列也｝的前〃项和Tn.

a,4+1

--，〃为奇数，

【答案】(或北2〃+1+(-1广|

(1)%=2〃+1；(2)4=2；+1)

?一，〃为偶数.2/7+1

12〃+1

2x1

解析：⑴因为S]=。]，S2=2(7]H—x2=2q+2,

S4-4a}+2x2=4q+12,

由题意得(2q+2『=%(4q+12),解得％=1,

所以4〃=2〃一1.

4〃11

⑵4=(-旷=(-广^(-if---------1---------

2n-i2/?+l

11।1

当〃为偶数时,H---------

2〃一12〃-12w+l

当”为奇数时,+/卜3+

112〃+2

1+-------=---------

2n+12〃+1

誓|,〃为奇数，°,,八小

所以北=<片(或小工))

，〃为偶数.

、2〃+1

8.(2014高考数学江西理科•第18题)已知首项都是1的两个数列【aJfbKbnH0；nwN*),满足

a«(b«kA.«a.b«a+Eb**』.b.=0,

(1)令.:乜求数列［j］的通项公式；

bn

［

(2)若bn=3"-，求数列1小｝的前n项和S.

【答案】⑴％=2〃-1.⑵/=("-1>3"+1.

.5_"=2C_C

—•«GC”+1c〃=2乙

分析:⑴已知数列.r-4,因此对《»人-一八“，+21»­1>«=(1变形为A%hb"所以数列

也}是以首项£=1,公差4=2的等差数列澈C,=2"-1.

⑵由"Qi知4,=c也=(2〃-l)3'i,是等差乘等比型，所以求和用错位相减

法S0=l-30+3.3i+…+(2〃-l>3"T3S„=l-3'+3-32+---+(2«-1)-3"

相减得一25〃=1+2.0+32…+尸)—(2〃-1).3"=2-(2〃-2).3"

所以s”=(〃-"+L

解析:⑴因为-«-"b-+Xu，=fl,bs*。；n.eN*

4_%=2,C”,「C”=2

>I5”+ln

所以%।",

所以数列匕，｝是以首项G=1.公差〃=2的等差数列，故。“=2〃-1.

(2)"也=齐知a“=c也=(2〃-l)3'i

于是数列&U)前n项和S“=1.3°+3•3,+…+(2〃-1)・3,一

3s〃=lJ+3・32+.・・+(2〃-l)・3"

相减得—2S〃=1+2•0+3?…+3"‘)—(2〃—1),3"=2—(2〃-2),3”

所以S.=(〃*3”+L

考点:等差数列定义，错位相减求和

9.(2014高考数学大纲理科•第18题)等差数列缶“｝的前n项和为5“，已知q=10,%为整数，且S,<54.

(1)求｛%｝的通项公式：

(2)设b„=」一，求数列｛»｝的前n项和7；.

aa

nn+\

【答案】⑴。,,=13-3〃；(2)7；=---^——-

"10(10—3〃)

解析：(1)设等差数列｛%｝的公差为1，而4=10,从而有=10+(〃-1)1

若d=0,S“=10〃，此时S“VS4不成立

若d>0,数列｛/｝是一个单调递增数列，S,,随着〃的增大而增大，也不满足S.WS,

a.<0

当d<0时，数列｛%｝是一个单调递减数列，要使SfS」则须满足《5即

10+4(/<0105

\又因为a,=q+d为整数，所以"eZ,所以。=一3

10+3八032-1

U匕时an-10-3(〃-1)=13—3拉

1

X

--------=-----------------------==()3-

anan+.(13—3〃)(10—3〃)(3〃-13)(3〃-10)----3/7-133〃-10

1

所以看=;(_------)x—

Ag))…3/2-133/7-103

I,I/1、，1、，1、11、1/11、«

—(-----(---)+(--)-(--)H---1--------------)=-(-----------)—----------

3107743«-133»-103103«-1010(3n-I0)

10.(2015高考数学新课标1理科•第17题)(本小题满分12分)S“为数列｛%｝的前〃项和.已知

a„>0,aj+2a“=4S,,+3.

(I)求｛4｝的通项公式：

(U)设b„=——，求数列也,｝的前"项和

【答案】⑴2〃+l(n)---------

64〃+6

分析：⑴先用数列第〃项与前〃项和的关系求事数列｛/｝的递推公式，可以判断数列1%｝是等差数列，利

用等差数列的通项公式即可写出数列｛a“｝的通项公式；(II)根据(I)数列｛d｝的通项公式，再用拆项消去法

求其前"项和.

解析：⑴当“=1时，a；+2q=4S]+3=4q+3,因为a“〉0,所以a「3,

当〃22时，a；+a“-a3-*_]=4S“+3-4S,T-3=4%,即(a,+*)(4-％)=2(%+%)，因为

>0,所以an—a“_[=2,

所以数列｛《,｝是首项为3,公差为2的等差数列，

所以a“=2〃+1；

上右，11/11、

(II)由(I)知，b=--------------=-(--------------),

”(2M+1)(2M+3)22〃+12/7+3

所以数列｛4｝前n项和为4+“+■,,+bn=一[(----)+(----)+,,,+(--------------)]=----------.

235572/7+12/2+364/2+