2023届高考数学三轮复习卷：利用导数研究函数的极值（含解析）

2023届高考数学三轮冲刺卷：利用导数研究函数的极值

一、选择题(共20小题；)

1.函数y=l+3x-χ3有()

A.极小值-1,极大值1B.极小值-2,极大值3

C.极小值-2,极大值2D.极小值-1,极大值3

2.已知x=l是函数f(x)=Inx+三的极值点，则实数ɑ的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知X=I是函数/(x)=lnκ+7的极值点，则实数ɑ的值是()

A.1B.-1C.2D.-2

4.已知函数/(x)和g(x)的导函数r(x),g'M图象分别如图所示，则关于函数y=gM-fM

的判断正确的是()

A.有3个极大值点B.有3个极小值点

C.有1个极大值点和2个极小值点D.有2个极大值点和1个极小值点

5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为/'O),且函数y=(1-x)∕'(x)的图象如图所示，则下列

结论中一定成立的是()

A./(x)有极大值/(-2)BJ(X)有极小值/(-2)

C./(X)有极大值/(1)Dj(X)有极小值DI)

6.函数ya)的定义域为R,导函数r0)的图象如图所示，则函数f(x))

A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点

7.函数/"(x)=2X-XInX的极值是()

A.ɪB.-C.eD.e2

ee

8.已知函数/(%)=%3+αx2+(α÷6)x+1有极大值和极小值，则实数Q的取值范围是()

A.(—1,2)B.(—8,—3)U(6,+8)

C.(—3,6)D.(―8,—1)u(2,+8)

9.已知Q为函数/(%)=%3-12x的极小值点，则Q等于()

A.-4B.-2C.4D.2

10.函数/(%)=α%3+b/+c%-34(α,b,c∈R)的导函数为/'O),若不等式/(%)≤0的解集为

{x∣-2≤x≤3),/(x)的极小值等于一115,则Q的值是()

A.--B.iC.2D.5

223

11.已知函数f(x)=/+αχ2+取+ct2在X=I处有极值io,则，(2)等于()

A.11或18B.11C.18D.17或18

12.设函数/(x)在R上可导，其导函数为r(x),且函数f(x)在x=-2处取得极大值，则函数

丫=》(0)的图象可能是()

13.若X=-2是函数/(x)=(x2+ax-l)ex^1的极值点，则/(x)的极小值为()

A.-1B.-2e-3C.5e^3D.1

14.已知函数f(x)="3—4χ,则f(χ)的极大值点为()

A.%=-4B.X=4C.%=-2D.%=2

15.若函数f(x)=炉一2cχ2+%有极值点，则实数C的取值范围为()

A-[T>+∞)B.(一8,一冬U特+8)

c∙(τ(+°0)D,(-∞<-y)u(τ-+°0)

16.已知函数∕3)=(χ2+α2χ+l)eX,则“α=√Σ”是“函数〃久)在x=-1处取得极小值”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

17.若Q>0,h>0,且函数f(x)=4%3-ax2—2bx+2在％=1处有极值，则ab的最大值等于

()

A.2B.3C.6D.9

18.若函数/(%)=e"-α%-M在R上有小于0的极值点，则实数Q的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-l)D.(1,÷∞)

19.已知/(%)=X3+ax2÷(α+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为()

A.-1VaV2B.-3VQV2

CaV-I或Q>2D.aV-3或a>6

20.设函数f(x)=：+InX,则()

A.%=T为/(x)的极大值点B.X=；为/(x)的极小值点

C.X=2为/(x)的极大值点D.X=2为/(x)的极小值点

二、填空题(共5小题；)

21.函数/(x)=%3-3%的极小值为.

22.函数/(x)=X2-3x÷Inx在处取到极大值.

23.函数/(x)=X3+ax2+%+b在％=1时取得极值，则实数a=.

24.已知函数f(x)=代r/，有极大值且有极小值，则实数a的取值范围是______

(xz-2ax,X>0------------

(-X2+2ax,X<1

25.已知函数/(%)=∖a∖nx、1.

-x≥1

①当a=1时，函数f(x)极大值是；

②当X<1时，若函数/(%)有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是.

三、解答题(共5小题；)

26.已知函数f(x)=(+lnx,求函数f(x)的极值.

27.已知函数f(x)=x—alnx(a∈R).

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点4(l,f(l))处的切线方程.

(2)求函数f(x)的极值.

28.已知函数/(x)=x2-1-2alnx(a≠0),求函数/(x)的极值.

29.设函数/(x)=9-∕dn%,∕c>0,求/(%)的单调区间和极值.

30.已知/(x)=2x+3-ln(2x+1).

J'2x+l

(1)求证：当％=0时/(x)取得极小值；

(2)是否存在满足n>nɪ≥0的实数n,当％6［血,用时.，/(%)的值域为［犯几］?若存在,

求m,n的值；若不存在，请说明理由.

答案

1.D【解析】提示：y'=3-3x2,令y'=O可得X=I或X=-1,于是可得函数在(-∞,-l)单

调递减，(一1,1)单调递增，(1,+8)单调递减，所以当工=一1时，函数取得极小值f(-1)=一1；当

X=I时，函数取得极大值/(1)=3.

2.A【解析】r(x)=：-爰=*(X-α),X=α为f(x)的极值点，因此a=l.

3.A【解析】==X=a为f(x)的极值点，因此a=1.

故选A.

4.D

5.A

6.C

7.C【解析】因为/'(X)=2-(InX+1)=1-InX,当尸(%)>。时，解得O<%<e；当

f'(x)<O时，解得%>e,所以X=e时，f(x)取到极大值，f(x)极大值=f(e)=e.

故选C.

8.B【解析】提示：/'(X)=0有两相异实根.

9.D【解析】因为f(x)=x3-12x,所以f'(x)=3X2-12,

令f'(x)=。，得Xl=-2,X2=2.

当Xe(-∞,-2),(2,+8)时，「(X)>0,则f(x)单调递增；

当x∈(-2,2)时，f'(x)<O,则f(x)单调递减，

所以f(x)的极小值点为a=2.

10.C

【解析】由已知可得r(x)=3a∕+2bx+c,

由3aM+2bx+c≤0的解集为｛x∣-2≤x≤3｝可知a>0,

且一2,3是方程3ax2+2bx+c=0的两根，

则由根与系数的关系知==一1,5=-6,

3a3a

所以b=-：,c=-18a,此时f(x)=a/一-18aχ-34,

当X6(-8,-2)时，f'(x)>O,f(x)为增函数；

当X∈(—2,3)时，f(x)<0,f(x)为减函数；

当X∈(3,+8)时，r(x)>O,f(x)为增函数，

所以f(3)为/(x)的极小值，且f(3)=27a-等一54a-34=-115,

解得a=2.

11.C【解析】因为函数f(x)=X3+ax2+bx+a2在X=1处有极值10,

所以/(1)=10,且/'(1)=0,

即已曹+J7ɑnɪ1°,解得仁=”或｛广/

而当R=时，函数在X=I处无极值，故舍去.

3=3

所以f(x)=X3÷4x2-Ilx+16,所以/(2)=18.

12.D【解析】因为函数/(%)在R上可导，其导函数r(%),且函数/(%)在％=-2处取得极大值,

所以当%>—2时，∕,(x)<0；当％=—2时，∕,(x)=0；当％V-2时，∕,(x)>0.

所以当%>—2时，，x∕,(x)>0；当％=—2时,，x∕,(x)=0；当％<—2时，x∕,(x)<0.

13.A【解析】函数f(%)=(/+α%—l)e%τ,

可得r(x)=(2x+a)ex~1+(x2+ax—l)ex^1,

%=-2是函数/(x)=(x2+αx-l)ex^1的极值点，

可得：—4+α+(3-2α)=0.

解得a=-1.

可得

∕,(x)=(2%—l)ex-1÷(%2—%—l)ex^1

=(x2+%—2)yex~1,

函数的极值点为：％ι=—2,%2=L

当％V-2或%>1时，r(x)>0,函数是增函数；

当一2V%<1时，∕,(x)<0,函数是减函数，

当％=1时，函数取得极小值：/(1)=(I2-1-l)e1-1=-1.

14.C【解析】由f(%)=13-4%,

得：∕,(x)=X2-4.

由/'(%)=/—4>0,得XV-2,或%>2.

由「(%)=X2—4<0,得：—2V%V2.

所以，函数/(函的增区间为(-8,-2),(2,+8).函数f(%)的减区间为(一2,2).

所以，％=-2是函数的极大值点，％=2是函数的极小值点.

故选：C.

15.D

16.A【解析】若/(%)在％=-1处取得极小值，∕,(x)=[x2+(a2+2)x+α2+l]ex=

(x+1)(%+α2÷l)ex.

令「(%)=0，得%=—1或％=—a2—1.

①若α=0,∕,(x)=(x+l)2ex≥0.

故/Q)在R上单调递增，f(%)无极小值;

②若ɑ≠0,-M—IV—1,

故当X<-a2-1时，∕,(%)>0,f(x)单调递增，

当-a2-1V%V-I时，∕,(χ)<0,/(%)单调递减，

当%>—1时，∕,(x)>0,/(%)单调递增.

故f(x)在％=-1处取得极小值.

综上，函数/Q)在％=-1处取得极小值OaH0.

所以“a=√Σ”是"函数/(x)在％=-1处取得极小值”的充分不必要条件.

17.D【解析】/'(%)=12X2—2ax—2b,∕,(1)=12—2α—2h=0,即ɑ+b=6,又Q>0,b>

0,所以Qb≤(“+")=9,当且仅当Q=b=3时等号成立.

4

18.B

19.D【解析】函数f(x)=/+α/+(α+6)x+1,

所以∕l(x)=3x2+2ax+(α+6),

因为函数有极大值和极小值，

所以方程f'M=O有两个不相等的实数根，即3/+2αx+(α+6)=O有两个不相等的实数根,

所以4>0,即(2a)2-4×3×(a+6)>0,

解得a<-3或a>6.

20.D

【解析】因为f(x)=：+Inx,所以，'(久)=一展+：=詈，X>0∙

当X>2时，f'(x)>O,f(x)为增函数;

当0<x<2时，r(x)<0,f(x)为减函数，

所以X=2为f(x)的极小值点，故选D.

21.-2

【解析】求导得：f(x)=3x2-3=0,得x=±l,当X=I时，函数f(x)取得极小值-2.

22.-

2

23.-2

24.Q>0

25.e-,a<l

26.因为f(x)=}+Inx,

所以/3=-妥+；裳,

令f(x)=O,得x=l，列表：

%(0,1)1a,+∞)

f`w-0+

f(χ)单调递减极小值单调递增

所以X=I是f(x)的极小值点，f(x)的极小值为1,无极大值.

27.(1)函数f(x)的定义域为(0,+8),/'(%)=1-；.

当a=2时，/(x)=x-21nx,/'(x)=1-1(x>0),

所以“1)=1,/'(I)=-I,

所以y=/(χ)在点71(1,/(1))处的切线方程为y-1=一鱼一1),即X+y-2=0.

(2)由f'(x)=l-7=?,x>0可知：

①当a≤0时，f'(x)>O,函数/G)为(0,+8)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f'(x)=0,解得X=a；

因为X∈(0,a)时∙，f'(x)<0,X∈(a,+∞)时:f'(x)>0.

所以f(x)在X=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.

综上：当Q≤0时，函数/(%)无极值，当α>0时，函数f(x)在％=α处取得极小值Q-QInα,无极

大值.

28.因为/(x)=X2-1—2αlnx(x>0),

所以∕∙(χ)=2x-半=丐包.

①当QVO时，因为％>0,且％2-Q>0,

所以rco>o对％>。恒成立，

所以/(%)在(0z÷∞)上单调递增，/(x)无极值.

,

②当Q>O时，令∕(x)=0,解得x1=√α,X2=-√α(舍去).

所以当工变化时，/'(%),f(%)的变化情况如表：

X(θ,√α)√α(√α,÷∞)

f,ω-O+

f(χ)、极小值/

所以当％=VH时，/(%)取得极小值，且f(√H)=(√Ξ)-1-2αln√α=α-1-ɑɪnɑ,无极大值.

综上，当QVOFl寸，函数/(x)在(O,+∞)上无极值.

当Q>0时,，函数/(%)在％=√H处取得极小值Q-I-QInα,无极大值.

29.由f(x)=J-∕dnx(k>0),得x>O且f'(x)=x由f'(x)=O,解得x=«(负值

舍去).

/(x)与∕,(x)在区间(0,+∞)上的情况如下:

X(o,Vfc)Vfc(Vfc,+∞)

ro)-O+

,、∕c(l—Infc)

fM、工^