专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直-

专题二：立体几何-一线面垂直、面面垂直专题二：立体几何-一线面垂直、面面垂直一、知识点(1)线面垂直性质定理(2)线面垂直判定定理(3)面面垂直性质定理(2)面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1.如图1,在正方体Z5CQ_中，M为CC1的中点,AC交BD于点O,求证：A}O1平面加6。.证明：连结MO,A.M9•:DBA.AA,DB1.AC,A1AHAC=A9/•DBJ_平面44cq,而4Ou平面AXACCX：.DBLA}O.设正方体棱长为"贝!!4。2=1,3入MO2=-a24在RtA4G"中，AXM2=-a2.VA}O2+MO2=A.M29•\a]o1om.VOMADB=O94oJ_平面AfSZ).评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.利用面面垂直寻求线面垂直2.如图2,夕是△力5C所在平面外的一点，且〃_L平面/6C,平面B4CL平面PEC.求证：j?C_L平面R4c.证明:在平面7MC内作4»_LPC交尸C于O.因为平面E4CLL平面尸5C,且两平面交于PC,平平面P4C,且AD±PC,由面面垂直的ADU性质，得AD，平面PBC.又「BCu平面PBC,.\AD±BC丁PA，平面ABC,BCu平面ABC,APA±BC.,?ADnPA=A,BC，平面PAC.评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直=线面垂直=线线垂直.一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直一<4^-'线面垂直£面面垂直.这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.3.如图3.如图1所示，ABCD为正方形,sa，平面ABCD,过A且垂直于曲的平面分别交Sb,sC,SD于E,F,「・求证:E,F,「・求证:CtAE1SB9AG±SD9证明：・'0平面ABCD,A5a±5c-abvbc^.，.bc1WSAB.XV平面SAB,BC±A£.・.・平面AEFG,SC±A£平面SBC.・・・位,忖同理可证aguzv评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.ED4.如图2,在三棱锥A—BCD中，BC=AC,AD=BD,ED作BELCD,E为垂足，作AIUBE于H.求证：AIU平面BCD.证明：取AB的中点F,连图2结CF,DF.*AC=BCJ: *AC=BCJ: 9AD=BD又一一^CFQDF=FCFLAB•平面CDF.・・.a)u平面CDF,・・・cgAB.V ,人CD上BE’BE^[AB=B^

co,平面ABE,egah••AHLCDAHVBECD^[BE=EJ・・・平面BCD.评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直.如此反复，直到证得结论.5.如图3,独是圆。的直径，C是圆周上一点，…平面ABC.若AE±PC,E为垂足，F是PBFR_L上任意一点，求证：平面AEF,平面PBC.证明：TAB是圆。的直径，."一比.・・以上平面ABC,Beu平面ABC,・・p4d ・・・5c,平面APC•,.u平面PBC，・・平面APC,平面PBC.VAE±PC,平面APCn平面PBC=PC,•••AE，平面PBC•••”平面AEF,・•・平面AEF，平面PBCAEu评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.10.如图，在空间四边形SABC中,SA，平面ABC,^ABC=90。,AN1SB于N,AM.1SC于M。求证：①AN1BC;②SC1平面ANM分析：①要证AN1BC,转证,BC1平面SAB。②要证SC1平面ANM,转证，SC垂直于平面ANM内的两条相交直线，即证SC1AM,SC1AN。要证SC1AN,转证AN1平面SBC,就可以了。证明：①;^A1平面ABC：.^A1BC又;BC1AB,且AB/A=A•••BC，平面SAB■:AN仁平面SAB.\AN^IBC@yAN^IBC,AN^1SB,且SBpBC=B:.AN1平面SBC丁SCC平面SBC:.AN1SCXyAM.1SC,且AM口AN=A：.SC1平面ANM［例2］如图9—40,在三棱锥S—ABC中,SAL平面ABC,平面5人8，平面SBCsECsEC图9—40(1)求证:AB±BC；(1)【证明】作AH±SB于H,・.•平面SAB，平面SBC.平面5人80平面SBC=SB,，AH，平面SBC,又SA，平面ABC,•••SALBC,而SA在平面SBC上的射影为SB,ABCXSB,又SAPSB=S,•••BC，平面SAB.ABCXAB.［例3］如图9—41,PA，平面ABCD,四边形ABCD是矩形，PA=AD=a,M、N分别是AB、PC的中点.p求平面MND，平面PCD【证明】取PD中点E,连结EN,EA,则EN展CD$AM,・,•四边形ENMA是平行四边形;•••EA^MN.VAEXPD,AE，CD,•••AE，平面PCD,从而MN,平面PCD,VMNu平面MND,••・平面MNDL平面PCD. u【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN,平面PCD较困难，转化为证明AE,平面PCD就较简单了.另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围.［例4］如图9—42,正方体ABCD一A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点.求证：平面MNF，平面ENF.【证明】・・・M、N、E是中点，，EB一bn-NC-CM- —一•・ZENB-ZMNC-45°••:ZMNE—90°即MNXEN,又NF，平面A1c1,MNU平面ACAMNXNF,从而MN，平面ENF.VMNu平面MNF,F.平面MNF，平面ENF.4.如图9—45,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA，底面ABCD,E为AB的中点，且PA=AB.fe9—45°(1)求证：平面PCE，平面PCD；(2)求点A到平面PCE的距离.(1)【证明】PA，平面ABCD,AD是PD在底面上的射影，又二四边形ABCD为矩形，ACDXAD,CDXPD,丁ADnPD二D••CD，面PAD,ZPDA为二面角P—CD—B的平面角，•.*PA=PB=AD,PA±AD..ZPDA=45°,取RtAPAD斜边PD的中点F,则AF±PD,;AFu面PADACDXAF,XPDnCD=DAAF±^WPCD,取PC的中点G,连GF、AG、EG,贝UGF$：CD又AE12CD,AGF^AE・••四边形AGEF为平行四边形•••AF〃EG:AEG，平面PDC又EG^平面PEC, 「A平面PEC，平面PCD.(2)【解】由(1)知AF〃平面PEC,平面PCD,平面PEC,过F作FHXPC于H,则FH，平面PECAFH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离.在△PFH与4PCD中，ZP为公共角，而ZFHP=ZCDP=90° △PFHs△PCD.:飞号,设AD=2，PPF=n,2PC=、；PD2+CD2=<8+4=233，/.FH=号-2=号:.A到平面PEC的距离为、6丁・【拓展练习】一、备选题.如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA，平面ABC.(1)求证：平面PAC，平面PBC；(2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.(1)【证明】•••C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径ABCXAC；又PA，平面ABC,BCu平面ABC,•••BC^PA,从而8^平面PACVBCu平面PBC,••・平面RaC,平面PBC(2)【解】平面PAC,平面ABCD；平面PAC,平面PBC；平面PAD,平面PBD；平面PAB,平面ABCD；平面PAD,平面ABCD..ABC—A'B‘。是正三棱柱，底面边长为a,D,E分别是BB’,CC’上的一点，BD=2a,EC=a.(1)求证：平面人口后,平面ACC’A’；(2)求截面AADE的面积.(1)【证明】分别取AC,、AC的中点M、N,连结MN,贝UMN〃A/A〃B’B,••B，、M、N、B共面，・.・M为A’C，中点，B/C，=B，A，一・.B，M±A,C，，又B，M，AA，且AA，nA，C，=A，B，M，平面A，ACC，.设MN交AE于P,••CE=AC,，PN=NA=2.又DB=2a,，PN=BD.••PN〃BD,•PNBD是矩形，于是PD〃BN,BN〃B，M,••PD〃B，M./B，M，平面ACC，A，，,PD，平面ACC，A，，而PDu平面ADE,,平面人口后，平面ACC，A，：(2)【解】/PD，平面ACC，A，，••PD，AE,而PD=B，M==a,AE—万a.

sAADE二sAADE二9XAEXPD=1X<2a义—a=

2 26aa24二、练习题线面垂直专题练习一I定理填空：L直线和平面垂直如果一条亘线和,就说这条直线和这个平面垂亘.上一线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理L：如果两条平行线中的一条于一个邛面，那么判定定理工一条直线垂直于两个邛行平面中的一个邛■面，那么.性质定理3：如果两条直线同垂直于一个平面，那女这两条直线.二、精选习题士L设四表示平面，或H表示直线，给出下列四个命题：-：bI a±A/| a]_M ahMI① .=-b]_M ② [■—'a.：h③L=■bf/M@ ，二.白_lAT(2±Af| b aLb a_\_b\其中正确的命题是〔〕A，C£@ B.(1W D.Q§©工如图所示,在正方形月中，瓦F分别是金庆瓦7的中点一现在沿罩队DF及EF把△月口风△CDF和EEEF折起，便金、B.0■三电重合，互合后的点记为P.那么，在四面体F—DEF中，必有，)第3题图A,OP_L平面FEFBQM_L平面尸EEC.FAf_L平面DEFD.尸F_L平面DEF工改/3是异面直线，下列命题正确的是 ()A.过不在〃、以上的一点F一定可以作一条直线和人日都相交E,过人在母、匕上的一点P一定可以作一"卜平面和口、匕都垂直。过Q一定可以作一个平面与方垂直。过a一定可以作一个平面与b平行4.如果直线，.凡与邛面也优？满足;，呻门了」，他用,二u和也上.那么必有 ( )A&_L?且B.a±/S_m//^ (?.用郊且D.□郊且比上，S一有三个命题：日垂直于同一个平面的两条直线平行；②叱平面化的一条斜线I有且仅有一个平面与世垂直；③S面直线%办不垂直」那么过】的任一个平面与石都不垂直其中正确命题的个数力 ()A.O B.l C.2 D.3也设£、m为直线，口为平面，且j_La,给出卜列命题①若耀_1_d,则mM；色若切山，则用d1m(3若/川处则沼L；④^^记，则制J_g其中宾串摩的序号是 ()A.®g® B.@®© C.@®@D.O®I如图所示,三棱锥H4FC■中/"UQJ面*EC且笈是&FEC的垂心，BE是空边上的高，求证.竺_L4jS;8.如图所示-四，矩形兑FC。所在平面,皿、3分别是月m、PC。)求证「MW7平面&(2)求证t皿N_LCD(3)若"?£14=45。7求证丁皿第_L平面FC。机已知直三棱柱工内已凸31口中，44cB=901L/MC=3(rZCT,且工1=J6,可是二臼的中苴,求证：10加图所示，正方体皆CU的楼长为a,W是幺门的中点，囚是F二'上一点，且DW：地=1：2；初C与BD交于P.(1)求证：网「,平面月卫仃口一(2)求邛面PNC与平面"LTD所成的角面面垂直专题练习一、定理填空面面垂直的判定定理：二、精选习题1.正方形ABCD沿对角线虹:折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2v三梭锥P-的三条侧楂相等，则点F在平面ABC上的射影是TABC的心.入一条直线与