2026年高考数学二轮复习：立体几何外接球（内）归类（题型）（天津）解析版

专题14立体几何内外接球归类

!目录

i

i第一部分题型破译微观解剖，精细教学

佟］典例引领他］方法透视性|变式演练

I

j【选填题破译】

i题型01正方体、长方体模型

i题型02正四面体模型

I题型03对棱相等模型

!题型04直棱柱外接球

!题型05直棱锥外接球

!题型06内切球问题

i

:第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

选填题破译

题型01正方体、长方体模型

典例引

【例1-1］（2025•天津红桥•模拟预测）一个正方体的棱长为。，若一个球内切于该正方体，此球的体积是

则a=.

【答案】2

【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即可得到内切球的半径，进而结合球的体积公式列方程

求解即可.

【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长”，则内切球的半径为

所以竺（色丫="，解得。=2.

故答案为：2.

【例1-2］（2025・天津•模拟预测）已知棱长为3的正方体力8CO-4AG。的所有顶点均在球。的球面上，

则球。的表面积为（）

A.25兀B.27TIC.16花D.23兀

【答案】B

【分析】设球。的半径为A，则该正方体的体对角线长即为2R，求出2R的值，结合球体表面积公式求解

即可.

【详解】设球。的半役为K,则该正方体的体对角线长即为2R,即2R=3百，

故球O的表面积为S=4成、兀•（流『=27九

故选：B.

方做遗规

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3.补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

DA

（3）正四面体尸-/也C可以补形为正方体且正方体的棱长如图3所示.

（4）若一棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

ApBB

K.......?，.......-y....M3.......-A

【变式1・1】（2024・天津南开•一模）在长方体相8-44GA中，44=2,JC,1BD,其外接球体积为

36冗，则其外接球被平面力4A截得图形面积为（）

纥纥

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出底面为正方形，长方体外接球的直径即为长方体的体

对角线且球心在体对角线的中点，由外接球的体积求出XGI，从而求出底面边长，再利用向量法求出球心

到平面力4A的距离，即可求出截面圆的半径，从而求出其面积.

【详解】如图建立空间直角坐标，设力。=〃、〃C=b(a,b>0),则8(4也0),

力(a,0,0),C,(0,6,2),7)(0,0,0),

所以丽=(。力,0),花■=(-〃,6,2),

因为4G，8。，所以彳［•丽=-/+〃=0,所以a=6,即48CZ)为正方形，

乂长方体相8-44GA的外接球的直径为长方体的体对角线长|力。，

外接球的球心为体对角线的中点不妨设为O，

4

由外接球体积为36几，所以336n,解得»。=6,

3

又明|=J/+/+22=6,解得〃=4(负值舍去)，

所以4(4,0,0),D.(0,0,2),月(4,4,2),0(2,2,1),

所以福=(-4,0,2),福=(0,4,2),75=(-2,2,1),

n-AD=-4.v+2z=0

设平面44A的法向量为方=(x,y,z),则<}取》=(1「1,2),

n-ABx=4y+2z=0

\n-AO\2W

所以点o到平面世R的距离d=一

76=T

所以外接球被平面力4口截得的截面圆的半径r=

所以截面圆的面积S=7T，=丁兀,

即外接球被平面叫。截得图形面积为2言5.

故选:B

【变式1-2］（2025•天津河西•一模）长方体488-44GA的8个顶点都在同一个球面上，且力8=2,

AD=B彳4=1，则球的表面积为.

【答案】阮

【分析】根据已知求出长方体的体对角线的长，即可得出外接球的半径，进而根据球的表面积公式得出答

案.

【详解】因为，长方体外接球的直径即等于长方体的体对角线4G，

且西=万+近+您，

所以，AC1~=（ZB+

=园『+|阿+p7/=4+3+1=8,

所以，函卜J宕=2日

所以，外接球的半径厂=及，表面积为4”?=8人

【变式1-3］（2025•天津静海•月考）已知K方体45C。-43cA礼33,若*G与平面

所成的角的余弦值为如，则该长方体外接球的表面积为.

3

【答案】2771

【分析】根据线面夹角的定义分析可得4G与平面8CG4所成的角的余弦值为乙4。乃，进而可得84=2石,

再根据氏方体的外接球以及球的表面积公式运算求解.

【详解】连接BC］，设BB］=a,则BC、=\lah+6,/C［=的+6+a'=\la'+15,

因为"1平面BCC^，则JC,与平面BCC他所成的角的余弦值为/AC\B,

由题意可得cosZ.AC{B==J：6.=,解得a=2石,

4G6+153

设长方体外接球的外接球的半径为R，则2R=ACX=36,

所以外接球的表面积为S琼=4兀叱=耳36y=27TT.

故答案为：27兀.

题型02正四面体模型

典例引颔

【例2-1］（2026•天津和平・调研）已知正四面体力8co（四个面都是正三角形）的体积为匕，若能装下它

的最小正方体的体积为24百,，设正四面体力的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为

S,+V,

外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为匕，则奇r二（）

.5c7c-兀c3兀

A.—B.-C.~~D.—

3388

【答案】A

【分析】利用正四面体的性质，即内切球半径为高的四分之一，外接球半径为高的四分之三，再结合勾股

定理进行求高，再利用球的表面积公式和体积公式，即可求解.

如图能装下正四面体48CO的最小正方体，其体积为24行,,可知正方体边长为2省,

从而可得正四面体,4月S的校长为正方体的面对角线长2K，

D

利用正四面体的性质可知，

正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一;

正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三;

由球与底面的切点为底面中心，可知=；CF=；x2Kx4=拒，

而DF=2"x立=3也,所以。＜=J18-2=4,

2

即内切球半径为，-1，外接球半径为火=3,

所以有正四面体ABCD的体积为F,=lxlx（2V6）2x^x4=8x/3，

r.,rr4兀x/+一冗又3^:

即S1+%_3二5兀，

百匕抬'X863

故选:A.

【例2-2]（2025•天津河北•二模）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只

由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所

成二面角都相等），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、

正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（）

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】C

【分析】若正八面体的棱长为2,根据正八面体的结构特征易得外接球半径R=血，应用等体积法求得内

切球半径,•二",最后由面积比为正：/2即可得

3

【详解】若正八面体的棱长为2,令其外接球、内切球半径分别为凡，且尺=&,

由各侧面的面枳S=；x22xsin6（T=百，且构成八面体的两个正匹棱锥的高为拉，

则正八面体的体积P=8X!，3=2X5X6X22,所以〃=渔，

333

所以外接球与内切球的表面积之匕为小：，=2:；=3:1.

故选:C

方依透规

如图，设正四面体/出。。的的棱长为。，将其放入正方体中，则正方体的棱长为巫”，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为尺=①-正=诬。，即正四面体外接球半径为&

2244

变式演族

【变式2・1】（2025・天津和平•一模）已知正四面体力8。。（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体

各个面都相切的球）表面积为2，设能装卜.正四面体48CO的最小正方体的体积为匕，正四面体力8c。的

外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为匕，则匕•匕=（）

Ax/3□\/6r3>/In3

16882

【答案】A

【分析】设正四面体的棱长为〃，设正四面体48C。内切球球心为。，半径为右，由等体积法求出。=1,

将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，此时即为能装下正四面体48CQ的

最小正方体，即可求出匕，设正四面体48co的外接球的半径A,根据正方体和正四面体的外接球为同一

个球计算出匕，即可得出答案.

【详解】设正四面体的棱长为〃，则正四面体的表面积为S=4x立/=技2,

4

a_0,一百

由趣设底面E4BC的外接圆半径4,则-=4，••4=行。

sin—

3

所以正四面体的高为J?_（曰胡=半刀,

k22＞叵=与3,

其体积为/=

34312

设正四面体力内切球球心为。，半径为〃，

=4,S=4」x且九二近夕3

'=^O-ABC+—O-ABD+^O-BCD+^O-ACD

33412

解得：G=存，所以4*4九悟a）哈解得：a=l,

将该正四面体放入下图的正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，

此时即为能装下正四面体力8c。的最小正方体，

正四面体48。。的最小正方体的边长为b,如下图，即2/=/=1，所以力=也,

则正方体的外接球'也即正四面体的外接球的半径为2A=回=当'

所以R二中,所以外接球的体积为匕=（兀x[・]=*兀,

匕忆=①.逅兀=走兀.

4816

故选：A.

【变式2・2】（2025・天津•模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球

与大球、正四面体的三个面均相切.若48=12,则该模型中一个小球的体积为.

【答案】小

【分析】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.

【详解】如图所示，设O为大球的球心，大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,棱长为44=12,

高为人CD的中点为广，

连接OA,OB、OC,ODQE、BF,

则==4百，h=AE=AB1-BE2=—x!2=4^，

333

丁G四面体=4匕）,

***J'4=4x§abcR,

R=—h=x［6,

4

设小球的半径为广，小球也可看作一个小的正四面体的内切球,

且小止四面体的高我=h-2R=2\H）,

••r=—h,,=—x2痴=，

4小42

,小球的体积为：［口3兀x（半）=A兀，

故答案为：x/6n.

【变式2-3］半正多面体亦称“阿基米德体阿基米德多面体〃，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.

某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知MN=1,若

在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为.

【答案】万

【分析】分析出球心的位置，得出半正多面体所在的正四面体的高，求出点。'到正六边形所在平面的距离,

到正三角形所在平面的距离，即可求出当球的表面积最大时，该球的半径，进而得出表面积.

【详解】由题意，

半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，MN=1,

当球的表面积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为。.

在中，PD=—x3=—>DE=电x3xL正，

22232

该半正多面体所在的正四面体的高为：

1尸加_巾=小叫_隹|=R，

设点O'到正六边形所在平面的距离为d,

过点O'作O'F_LPZ）于尸，

由儿何知识得，WFfPDE

g

.OT=DE上_=二

・・PO'PDfR-d3x/3'

解得：d=巫，

4

・••当球的表面积最大时，该球的半径为手，表面积为4兀=

故答案为：y.

题型03对棱相等模型

典例引41

【例3-1]（2025•天津红桥•模拟预测）四棱锥夕-/WC'O的所有顶点都在同一个球面上，AB=AD=6,

^BAD=y,PA=FB=PC=PD=4,则其外接球的表面积为；过8。的中点作直线与球O相交的

最短弦长为.

【答案】64n6

【分析】记四边形48CO的外接圆的圆心为由条件可得尸。_1平面力8C。，故四棱锥P-/18CQ的外接

球的球心O在直线股上，求四边形力以第的外接圆半径和4尸4,根据球心。在4的垂直平分线上可求

四棱锥尸-/8CO的外接球的半径，根据球的表面积公式可求四棱锥尸-力8。。的外接球的表面积，设的

中点为£，由条件求OE,由球的性质可求过E的球的最短弦长.

【详解】记四边形48CO的外接圆的圆心为Q,因为PA=PB=PC=PD=4,

所以P«_L平面ABC。，

记四棱锥尸-的外接球的球心为O,则。。1，平面ABCD.

所以四棱锥尸-48CO的外接球的球心O在直线尸已上，

设OOt-x,

因为四边形力8c。的外接圆圆心就是出力8c的外接圆，设外接圆的半径为，

因为48=40=6,Z5JD=y,

所以力为等边三角形，〃.ng，故,・=26，

sin—

3

因为P«_L平面48c。，力。1匚平面48。，所以尸。

所以?O]==2,$吊//2。|=平=等，

又/40。]£（0,5）,所以N4Pq=g,

np-2-4

由已知球心。在尸4的垂直平分线上，所以兀一，

cos

3

所以四棱锥尸-力BCD的外接球的半径的半径R=4,

所以四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积S=4解2=47txi6=64丸，

设8。的中点为E,则«。=。出，所以0£_L3。，

因为力4=40,所以力E_L〃。，

所以4邑。1三点共线，

因为48=10=6,ZBAD=\所以4E=3JJ，又。/=厂=2",

所以==百，又OO\=OP-PO\=2,

因为。。1平面48CQ,0£u平面力4CQ,

所以OC4_LOE，所以OE=4OO；+OF=百3=疗,

所以过BD的中点作直线与球O相交的最短弦长为2,火2一。炉=2716^7=6，

【例3-2］（2025•天津武清・模拟预测）蹴鞠（如图所示），类似今日的足球运动，被列入第•批国家级非

物质文化遗产名录.已知某鞠表面上的四个点力，B,C,。满足48=8=13cm,8Q=4C=9cm,

/W=8C=llcm,则该鞠的表面积为（）

A.--------cm7B.371ncm7C.742ncm7D.--------cm7

24

【答案】A

【分析】根据空间四面体棱长的特点，放到长方体中，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】因为某鞠表面上的四个点儿B,C,。满足月8=CZ）=13cm,BD=AC=9cm,

AD=BC=11cm,

所以可以把空间四面体ABC。放到如下图所示的长方体中，

设长方体的棱长分别为a,4c，

J52=a2+/)2=132

则有=/+/=9：=/+/+。2=型,

BC2=b2+c2=\f

于是该长方体的对角线长为+8+c.2

所以蹴鞠的半径为:X栏匚

于是该鞠的表面积为4九・gx榨）=等

故选：A

四面体力8c。中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

b2+c2=nr,、，

如图，设长方体的长、宽、高分别为“也。，则/+1=〃2,三式相加可得“2+从+。2='+丁+/,

nr+n-+1~

而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为汽，则/+从,所以H=

+C2=4R2~T~

变式模炼

【变式3-1]（2025・天津•二模）已知三棱锥尸的四个顶点都在球O的球面上,

PX=8C=乎，08=AC=PC=48=Vi，则球。的表面积为（）

【答案】D

【分析】根据条件，将三棱锥尸一月BC补成长方体月3。。-XRCf,再利用长方体的性质求出外接球的半

径，即可求解.

【详解】如图，将三棱锥。-48。补成长方体48co-43GP，

设Bd=%BC=b,BiB=c,又PA=BC=^~,PB=AC=PC=AB=日

3

42

则a1+b2=2»a2+c2=2>将三式相加得/+〃+d=石，

因为三棱锥P-44C的顶点全在长方体的顶点上，所以长方体的外接球也是三楂锥尸-/5。的外接球,

由长方体的性质知，长方体的外接球球心在体对角线的中点处，且体对角线长为/=+力2M;巫,

3

所以三棱锥的外接球。的半径为火='=在，则球。的表面积为5=4*=4八°=".

2393

故选：D.

【变式3・2】（2025•天津南开•模拟预测）在四面体P-/18C中，PA=BC＜，PB=AC=J1，PC=AB=2,

则该四面体外接球的表面积为（）

A.471B.6nC.8兀D.10兀

【答案】C

【分析】根据对棱相等的特征，可以将四面体放入长方体中，再求其外接球半径即可.

【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，

a2+b2=4

设这个长方体各棱长分别为。也%则有=7,

a2+c2=5

各式相力口得/+从+。2=8，

设外接球半径为R,则有（2衣）2=r+/+。2=8,

外接球表面积S=AnR-=87t.

【变式3・3】（2025•天津河北•模拟预测）在三棱锥尸-4BC中，PA=BC=M，PB=AC=后，

PC=AB=屈，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

B.雪

A.28兀C.771D.14兀

3

【答案】D

【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解.

【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥尸-48c的外接球等价于长方体的外接球，

设长方体的长宽高分别为。力,。，

a2+b2=5

则"2+。2=10,可得/+/+02=14，

a2+c2=13

所以长方体的外接球半径R=如纪±'=巫，

22

所以三棱锥的外接球的表面积为S=4兀尸=1471.

故选：D.

题型04直棱柱外接球

【例4・1】（2026・天津红桥•调研）已知三棱柱力6C-44a的恻棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上,

若,44=力。=44=2,/8/lC=120,则此球的表面积为（）

A.10nB.12HC.16nD.20n

【答案】D

【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径,设此圆圆心为。，球心为。，在R3O8。'中,求出球的半径，然后

求出球的表面枳.

解：在1/5C中>5=4C=2,N84C=120。

可得8c2=AB1+AC2-2AB-JCcosl20°=12，

所以8C=2G,

由正弦定理，可得出/5C外接圆半径〃='x-^—=2,

2sin120°

设此圆圆心为O,球心为O',球的半径为火，

由球的性质可知：。。'_1平面48。，OO^-AA^X

2

OB在平面ABC内，

所以OOUO5,

在RtACS。'中,/=I+4=5,

所以球半径R=。，

故此球的表面积为4兀店=20兀

故选：D

【例4・2】（2025•天津武清•模拟预测）已知直三棱柱481G-48。的顶点均在球面上，且

力4=26,/比IC=30。,8c=1,则该球的表面积为（）

327r4n

A.16兀C.4itD.

T

【答案】A

【分析】利用正弦定理求得出力〃。外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积.

【详解】在出力8。中，NBAC=3（）。,BC=l,

1

利用正弦定理可得,比外接圆的半彳=—x---------=],

2sin30°

乂AA}=2白，所以直三棱柱A^C1-ABC的外接球的半径为O幺=加+的=2，

所以该球的表面积为4冗•。/2=16算.

故选：A.

方做遗规

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：确定球心。的位置，«是A/14C的外心，则。«_L平面力8C；

第二步：算出小圆。।的半径.4Q=〃，。。］=3力4=；人（彳4=〃也是圆柱的高）；

22222222

第三步：勾股定理：OA=0{A+op=>R=（1）+r=>R=^r+（1）,解出火

变式演依

【变式4-1］（2025•天津北辰•三模）已知正四棱柱X88-44GR的底面边长为4,侧棱K为2,点石是

棱8£的中点，P为上底面4片G"内（包括边界）的一动点，且满足。尸〃平面4C£,QP的轨迹把该正

四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（）

A.12兀B.9兀C.g兀D.4月兀

【答案】D

【分析】取446444的中点居“，N,^MN,EF,AF,DN、DM,A3NE,,由题意易得平面〃平

［filACEF,从而可得?口WN,进加可得体积较小的部分为三棱锥。一2加，进而可求得其外接球的体枳.

【详解】取44C取,44的中点£M，N,连接MN,EF,AF,DN,DM,AgNE,

由题意可得"N//4G//M,又力C//4G，所以4C//EE，所以平面力CE尸即为平面NCE,

又MNUEF.MNU平面ACEF,E尸u平面4C£尸，所以MV//平面彳C£尸，

易得ND"EC\ND、=EC1,所以四边形ECRN为平行四边形，

所以NE"nNE=RG,乂DCnDC=,

所以NE"DCRNE=DC，所以四边形NEC/）为平行四边形，

所以N0//EC,又NDQ平面4CEF,£。（=平面力。七尸，所以可£）〃平面力。£产，

又NDCMN=N,NDCMN=N,ND,NMu平面DNM,

所以平面MV。//平面力CE/"又因为。P//平面/CE,

所以。尸u平面MN。，又P为上底面481GA内（包括边界）的一动点，

所以PeMN,由图易知DP的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥。-〃MN,

又DQ上D】M,DQ上RNQN上D】M,

所以三棱锥D-D\MN的外接球的半径R=；JDM、DP2+DN=1VF7F7F=百,

4L

较小部分的外接球的体积为v=§兀/=4百兀.

【变式4-2］（2025•天津♦调研）所有棱长均为2的正三棱柱48C-44G，它的顶点均在球。的表面上，

则球O的表面积为.

【答案】竿/胃4

JJ

【分析】如图，确定O为。。2的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球O的半径，结合球的表面积公式计

算即可求解.

【详解】设正三棱柱力8C-48cl上、下底面的外接圆的圆心分别为。,。2,

如图，连接。。2,则。为002的中点，连接。5,

则。8为球O的半径R,设圆«的半径为，•,

在宜5。中，由正弦定理得解得〃=4叵,

sin603

乂。a=i,所以内=。夕=弓02+尸=1

所以球。的表面积为4兀乃=等.

故答案为：—y-

【变式4・3】（2025•天津•一模）一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器其中盛

有一定体积的水，当底面布水平放置时，水面高为"当侧面四时水平放置时（如图），容器内的水

形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）

【答案】A

【分析】利用棱柱的体枳可得面积之比进而得长度比例关系，结合勾股定理，联立方程可求

解半径，由表面积公式求解，或者利用余弦定理求解“。长度，进而根据正弦定理求解外接圆半径，即可利

用勾股定理求解球半径得解.

【详解】方法一：

嗫=­x4x4x-^-x—=15\/3,V.RCA!tc=—x4x4x^-x4=16'/3

水224.loc-22

1

如图^C^-CDE=6VJ-15A/3=V3=S.cQ岛x4，，5“闽园=，

向S'ABG=4J5，

.=1CD_GE〕_1

ll即C|D|=CE=DR=T,

区G16C\B[G44

由于G到44距离24，则A到4区距离，2"="

42

设正方形外接圆圆心q,则外="48=2拒

2

设矩形外接圆圆心。2,则弓=；*=gxRTi叵,设外接球半往R

2

0()2+8=R2

,7,故外接球表面积为4成、竽,

。0+啕+%尺

故选;A.

方法.：由当底面43c水平放置时，水面高为与可知容器内的空气占容器体积的于是侧放时，图中

416

的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的上，因此“小三棱柱"的底面"小三角形”的面枳为大三角形的4，

1616

则边长之比为1:4,即“小三角形”边长为1.然后如图：

设圆的半径为广，由余弦定理可得一2AD.48cos60=^9+16-2x3x4>4

BD_氏

故”一嬴而7一近，故r=

T

所以外接球的半径为R=

故选:A.

题型05直棱锥外接球

【例5・1】（2026•天津和平•月考）已知三棱锥P-力8。中，平面48C,出43。是边长为3的等边三角

形，若此三楂锥外接球的体积为半22江，那么三棱锥P-48c的体积为.

【答案】XI2上

22

【分析】将二棱锥补成直二楂柱，进而求出外接球半径，得出二楂锥的高，最后利用体积公式计算即口r.

【详解】如图，将三棱锥P-jBe补成直三棱柱尸*C'-4BC，

则三棱锥尸-48c和直三棱柱P8C-的外接球相同，

又直三棱柱PBC'-ABC的外接球球心为△?6'C,4ABC的外接圆圆心连线的中点，

且SABC的外接圆半径为—3—=V3,

2sin60

故三棱锥P-48C的外接球半径为

232

因为三棱锥尸-46C外接球的体积为半32兀，所以外接球半径为3x—n

-^=2

4八

故+3=2，得产力=2,

故三棱锥尸的体积为』x也-2=述.

342

故答案为：巫

2

【例5-2]（2026•天津滨海新•调研）在三棱锥O-48C中，/。，平面48。，4B1BC,AD=AB=BC=6,

则三棱锥O-48C的体积为；三棱锥O-48C的四个顶点都在球。的表面上，则球。的表面积

为•

【答案】近9兀

2

【分析】根据力。_1,/面/出。得为三棱锥。-"C的高，从而利用三棱锥的体积公式求解即可；根据线

面垂直的性质定理得。4/用AC两两垂直，得到三棱锥。-4AC的外接球，也是以。4%民夕。的长为三条

相邻校长的长方体外接球，即可求球体半径，进而求其表面积.

【详解】因为力。，平面48C,所以力。为三棱锥。一力8。的高，

又ABtBC,AD=AB=BC=6

所以三棱锥。-面的体积为月g而属去

由AD±平面ABC,ACU平面/8C,ABu平面力,则ADJLBC、AD1AB,又ABIBC,则_LBC,

即DA,AB,BC两两垂直,

所以三棱锥。-45C的外接球，也是以。4/仍,4。的长为三条相邻棱长的长方体外接球,

所以外接球半径为叵于运x/3+3+33

=-2-=2

故外接球O的表面积为47txl|]=9兀.

故答案为：且，9兀

2

方法透视

第一步：将AJ8c画在小圆面上，力为小圆直径的一个端点，作小圆的直径力。，连接P。，则夕。必

过球心0；

第二步：q为A48C的外心，所以0a_L平面48C,算出小圆«的半径OQ=厂（三角形的外接圆直径

ab=2r),OOi=；PA

算法：利用正弦定理，得

sinAsinBsinC

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2H）2=P/+QR）2o2R=JQT+（2/12；

@R2=r2+OO；=R=，+OO：.

文式演依

【变式5-1]（2026•天津滨海新•月考）已知三棱锥尸-4BC的所有顶点都在一个球面上且4_L平面

AB=AC=PA,4%C=120。，旦底面限48C的面积为2石，则此三棱锥外接球的表面积是.

【答案】40TI

【分析】由出"C的面积计算边N&/C,利用正弦定理得出4BC外接圆的半径「，最后利用勾股定理求得

外接球的半径A，进而得球的表面积.

【详解】由题意有：SAB-ACsin\200=^-AB2=2yf3,所以48=2贬，

又AB=AC/BAC=120,所以/ABC=NACB=30°,

AB_2>/2___一万

所以三的二丁二（，为外接圆半径），设外接圆的圆心为。，

2

即04=厂=2及，过点。作0。，平面相C,作P/的中垂线交卜*O,即。。=；4尸=&,

所以点。为三棱锥P-力8。的球心，设外接球半径为R,

所以尺2=04+。。2=（2亚丁+（应『=10,

所以此三棱锥外接球的表面积为S=4兀炉=40兀，

【变式5・2】（2025・天津•模拟预测）已知三棱锥P-48c的四个面均为直角三角形，尸力_1平面/2C,

P4=AB=4,力。=6,则三棱锥P-48C外接球的表面积为（）

A.12兀B.24兀C.32兀D.52兀

【答案】D

【分析】构造如图所示的长方体，易知三棱锥尸-48C的外接球就是长方体的外接球，可得2人=尸。，结合

球的表面积计算公式即可.

【详解】根据题意，构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为我，

易知三棱锥尸-48C的外接球就是长方体的外接球，

则2R=PC二y/PA2+AC2=>42+62=瓦，

所以三棱锥P-48c的外接球的表面积为4冗改=52小

故选：D.

【变式5-3］（2025・天津・模拟预测）三棱锥。-/伊。的四个顶点均在同一球面上，其中，/_!_平面ABC,gABC

是正三角形，P4=2BC=4,则该球的表面积是（）

a8兀16兀32兀64兀

A.-B.------C.D.

3333

【答案】D

【分析】找到三棱锥尸-48c的外接球的球心，在三角形中求得球半径，从而求得表面积.

【详解】取出48C的外接圆圆心为。，过点。作。。1底面48C,

。为三棱锥尸-48C外接球球心，设该球半径为，

由241平面45。，则。。//0力.连接0/1、OP、4D,

由隹力3。是正三角形，BC=2,故ZQ=2X巫、2=逋，

323

由。力=。0=〃，D0HPA,则。。=,尸力=2,

2

故有r=04=y/OD2+AD2=

故该球的表面积S=4北/=4JCX=-y7t.

题型06内切球问题

共例引41

【例6-1】（2025・天津•模拟预测）若某正四面体的内切球的表面积为4叫则该正四面体的外接球的体积为

（）

A.9nB.27TIC.36兀D.647r

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可.

【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合，

如图，正四面体48CO内切球与外接球球心。在其高力Q上，

则。。是正四面体ABCD内切球半径，OA是正四面体48CO外接球半径，

由正四面体力8CD的内切球的表面积为4冗，得。«=1,令加a,

8Q印。，=存,BO=AO=与一

在RtAfiOa中，（当”1）2_（争产=1,解得”26，40=3,

所以该正四面体的外接球的体积展三47r加=36兀.

故选：C

【例6-2］（2024•天津和平•二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部

分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球

与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（）

A.-7TB.-nC.9"D.—n

423

【答案】B

【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5,底面正方形的边长为6,从而可得正四棱锥的高，设这个正四

棱锥的内切球的半径为〜高线与斜高的夹角为6,则易得sindf4…高与，从而可得，，再代入

球的体积公式，即可求解.

【详解】作出四棱锥尸-48CQ如图：

根据题意可得正四棱锥的斜高为PM=5,底面正方形ABCD的边长为6,

匚四棱锥的高为OP=952-32=4，

设这个正四棱锥的内切球的球心为。，半径为〃，与侧面相切于N,

则高线与斜高的夹角为。，则疝6=器="

PM5

则。尸=。。+2上，

?sin<9

二•这个正四棱锥的内切球的体积为5/=9"（]=白.

故尬：B.

方诙逡