高考数学（理）精优大一轮复习人教通用版讲义第1讲集合

第一单元

集合与常用逻辑用语

第1讲集合

课前双基巩固

___-7褊菽口识;百亩套点一

知识聚焦:

1.元素与集合

⑴集合元素的性质:、、无序性.

⑵集合与元素的关系:。属于，记为:②不属于，记为.

⑶集合的表示方法:列举法、和.

⑷常见数集及记法

一自然数正整数的叫3有理数

-整数集生实数集

集集集

2.集合间的基本关系

文字语言符号语言记法

集合/I中的

羔6或

子集都是集合中的元XG力=xGB

素

集合力是集合8的

基本真A___

子子集,但集合/?中—/kB,3蜀6

关系或

集B

有一个元素不属B/O&A

医A

于力

集合4夕的兀素完

相等AQB,胆A

全——

—任何元素的

VA；A^0,

空集集合，空集是任1可0

。q力

集合的子集

3.集合的基本运算

表

示文字语言符号语言图形语言记法

运算

属于A____

属于〃的元

交集

素组成的集

合

属于1_

并集

属于夕的元

素组成的集

合

全集〃中_

属于A的元{x/x£U,

补集

素组成的集xAi

合

4.集合的运算性质

(1)并集的性质：，4Uo=A；A(JA=A；AUB=；JUB==医A.

(2)交集的，百FC0=0；AQA=A；Ar\B=BQA',AnB=A<^>AB.

⑶补集的性质：，4U(1M=%n;

;［I(Au©=((M(［的;(ri功=.u

常用结论

(1)非常规性表示常用蜂如{xx=2("T),"€Z)为偶稣{x/x*土为奇数集等.

⑵。■个集合的真子集必是其子集，一个集合的子集不一定是其真子集；

②(I何一个集合是它本身的子集；

阚于集合A,B£若AcB应C则Ac6(真子集也满足)；

/七丹则有A=e>和4片0两种可能.

⑶集合子集的个数:集合A中有〃个元素，则集合A有2"个子集、2"-1个真子集、29个非空子集、2"-2个非空真

子集.集合元素个数:card(，U25=card(力*card⑶■cardan历(常用在实际问题中).

对点演练:

题组一常识题

L［教材改编］已知集合月0,1,Vf。若"W4则实数x的值为.

2.［教材改编］已知集合4#,公若4U6={a滴,c},则满足条件的集合8有个.

3.［教材改编〕设全集的R,集合4={x/0WxW2},庐{y/lWZ3},则(Cd)U斫____________.

4.［教材改编］已知集合4=(-1,1},庐(用才+2}.若/1A户{1},则实数a的值为.

题组二常错题

♦索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到触I错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端

点取值致错.

5.已知集合<={1,3,标},以1,0},若限,4,则m=.

6.已知xGN,yGN,#={(w)/x+j<2}“g{(w)/*-介厕材。N中元素的个数是.

7.已知集合V={x/x-a=O},；V={x/a%-l=0},若MlN或则实数a的值是.

8.设集合,4={^//x-a/<l,x6R},/?={%/!<v<5,xGR},若£则a的取值范围为.

课堂考点探究

一施前导应京版结值荽型一

哪究点一集合的含义与表示

例1⑴［2018•全国卷〃］已知集合44卬)川旷在3/£乙小乙则/中元素的个数为()

A.9B.8

C.5D.4

⑵设集合力4M,23T/},ZH9/T,1-句,且集合力,4中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.

［总结反思］解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三

是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.特别提醒含字母的集合问题,在求出字母的

值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.

变式题⑴已知集合则下列表示正确的是（）

A.-KJB.-11G/4

C.3A2-iejD.-34知

（2）［2018•上海黄浦区二模］已知集合2,3},庐（1,班若3-/“4则非零实数w的值是.

琳究点二集合间的基本关系

例2⑴［2018•武汉4月调研］已知集合，片"「=1},修x/ax=l},若归必则实数a的取值集合为

（）

A.{1}B.{-1,1}

C.{1,0}D.{1,-1,0}

⑵设集合归x/x巧Ya耘,ae中人气力/封彦留方也力eR},则下列关系中正确的是（）

kM=NB..医N

C.ASMD.J/GN

［总结反思］（1）一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数，需要

对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.

⑵确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合.4中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任］可非空集合是

它自身的子集.

⑶根据集合间的关系求参数值（或取值范围）的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的

关系,常用数轴法、Venn图法.

变式题⑴设weR,集合句（孙）//=>},庐{（孙）I卜J,则集合A,B间的关系为（）

A.A^BB.医4

C.A=BD.4n6=0

⑵已知集合H"xWl}“V=（"aWxW3a*l},若厕a的取值范围是.

哪究点三集合的基本运算

角度1集合的运算

例3⑴［2018•长沙周南中学月考］已知集合以"/⑴,则（）

A.A（yB={xlx<\}

B.JUB={xlx<e}

C/U（CR囱玉

D.（CMC归Woa。}

(2)[2018•山西大学附中5月调研]已知集合/l={x/2'Wl},四x/lnxd},则AUB=()

A.{x/x<o\B.{x/OWxWe}

C.{*/xWe}D.{x/x>e}

［总结反思］对于已知集合的运算，可根据集合的交集和并集的定义直接求解，必要时可结合数轴以及

Venn图求解.

角度2利用集合运算求参数

例4⑴已知集合A=［x^Z-4x-5<0},5={A-/4AQ8中有三个元素很域数"，的取值范围是()

A.［3,6)B.［1,2)

C.［2,4)D.(2,4］

⑵设全集庐R,集合集合庐{x/x»},若(CMHB=0厕p应该满足的条件是()

A.p〉lB.1

C.p<1D.pWl

［总结反思］根据集合运算求参数，要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式，再利用数

形结合法求解.

角度3集合语言的运用

例5⑴已知集合S={0,l,2,3,4,5},/是$的f子集，当xGA时，若有x-l^A且户侔4则称x为4的一个

"孤立元素"，那么S的无"孤立元素”的非空子集的个数为()

A.16B.17C.18D.20

{a+b,a与匕的奇偶性相同，

⑵对于&6GN,规定a*bg集合；l/={(a,Z>)ja*b46,a，bGN),则必中的元素个数

(axb,a与b的奇偶性不同，

为.

［总结反思］解决集合新定义问题的关键是：

⑴准确转化:解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进

行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

⑵方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性

质求解.

第1讲集合

考试说明1.集合的含义与表示：

⑴了解集合的含义、元素与集合的属于关系；

⑵能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.

2.集合间的基本关系：

⑴理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

⑵在具体情境中，了解全集与空集的含义.

3.集合的基本运算：

⑴理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集；

⑵理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

⑶能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及运算.

【课前双基巩固】

知识聚焦

1.⑴确定性互异性⑵G阵⑶描述法图示法(4)NN或NZQR

2.任意一个元素限4至少曙相同A=B不含

3.且且ACiB或或AU8不阵［渊

A(2)£(3)0ACl①处((同

对点演练

L4或1［解析］因为764所以/~5产/,解得才=1或尸1.

2.4［解析］因为(4U和即=(喇,所以满足条件的集合力可以是｛，｝,｛矣｝,｛丽｝,｛她》所以满足条件的

集合4有4个.

3.(-8,O)U口,+8)［解析］因为或xe｝,F｛y/lWj<3｝fJHU(CMU8=(-8,o)u［l,+8).

4.1［解析］由题意可得1又才+2,2,故a=l,此时庐｛1,3｝,符合题意.

5.0或3［解析］因为医4所以折3或3/正，即折3或0=0或/1,根据集合元素的互异性可知,*1,

所以次=0或3.

6.4［解析］依题意得修(0,2),(0,1),(1,1),(0,0),(1,0),(2,0)｝,所以0n月(1,1),(0,0),(1,0),⑵0)｝,所以wn.v中

有4个元素.

7.05g1或T［解析］易得,归处必.：岫3或A=%：a=0或a=±\.

8.2WaW4［解析］由x-a/<l得-4Q+1,由其占得｛::或'WaW

4.

【课堂考点探究】

例1［思路点拨］(1)根据列举法，确定圆及其内部整数点的个数;(2)因为9G4,所以依据2aTR或才内

分类求解，但要注意集合元素的互异性.

⑴A(2)-3［解析］⑴当x=-\时，*T,0,1；当产0时，片T,0,1；当x=\时，片T,0,1.所以集合

♦X(T,T),(T,0),(-Ll),(0,T),O0),(0,1),(1,T),(L0),(1」)｝洪有9个元素.

⑵：•集合A,B中有唯一的公共元素9,.：9e4

若2a-lR,即a巧，此时因Y,9,25},%9,0,M},则集合独中有两个公共元素司,9,与已知矛盾,舍去.

若a：'=9,则a=±3,当a=3时月X-4,9,5},庐(-2,-2,9},6中有两个元素均为-2,与集合中元素的互异性矛盾，

应舍去；

当a=-3时,4=(』-7,9},6={9,-8,4},符合题意.

综上所述,a=-3.

变式题(1)C(2)2［解析］⑴当在=0时,x=T,所以TC/1,所以A错误;令-114公1得〃=学乙所以-11

M所以B错误;令-34力hL得仁-11,所以-34G4所以D错误;因为衣eZ,所以如6乙则3Ale4所以c

正确.

⑵由题知，若39之,则加1,此时集合3不符合元素的互异性，故肾1；

若3-〃尸1,则片2,符合题意；

若3-/肝3,则勿割不符合题意.故答案为2.

例2［思路点拨］⑴先求出集合，修彳/41}11,1},当村和收0时，分析集合A；再根据集合区A，的关

系求可⑵把集合对应的函数化简，求出集合MA；即可得跖V.的关系.

(1)D(2)A［解析］⑴丁集合游归

•:当aR时,A5成立；

当B0时，对：},贝*=T或;=L

解得a=~\或a=\.

综上，实数a的取值集合为故选D.

⑵集合M={x/x=5-Aa-f-a2,aER}4Y/X21},

N={y/y=Alj用力+2/W^}={yfy={Zb^\)'A,b^-R}={yI1},.*M=N.

变式题(1)B⑵a<T或a，l［解析］⑴由题意得，集合e(x,y)/片x}表示直线y=x上的所有点，集合

庐'w)I羽)表示直线―v上除点(0,0)外的所有点，所以应4故选B.

⑵当沪a时由a>3a+l得a<［,满足—；当A+0时由,1/nN=z得解得a>\.所以a的

取值范围是a<］或a>\.

例3［思路点拨］⑴先求出廉/,鼠场再判断各选项是否正确;⑵先求出4月中不等式的解集，确定出集合

4a再求出两集合的并集即可.

⑴C(2)A［解析］⑴：,集合4={x/xQ},庐{x/e*Q}=(x/x<0},

.：［R^/X>0},［R/I={A-/A->1}.易知AQ族(x/x<0},故A错误；

4U归x/x<1},故B错误源U(CM术，故C正确;(［汹C8却，故D错误.故选C.

⑵集合/={x/2"Wl}={x/启0},8={x/lnx<l}={x/O<x<e},.*JU3mx/x⑹，故选A.

例4［思路点拨］⑴分别求出集合A和£根据,加B中有三个元素，求出实数m的取值范围;(2)根据补

集、交集和空集的定义即可得出P满足的条件.

(1)C(2)B［解析］⑴集合/HxeZ/f心巧<0月0,1,2,3,4},以x/4'印十|工>卦中有三个元

素,解得2。©.：实数w的取值范围是［2,4).

⑵：•全集庐R,集合集合B=［xlxM

例5［思路点拨］(1)按照S的无"孤立元素”的非空子集所含元素个数的多少分类讨论，可得出结果;(2)

根据定义分情况讨论满足条件的点(a*)的个数，从而得出M中的元素个数.

(1)D⑵41［解析］⑴根据"孤立元素”的定义知，单元素集合都含"孤立元素".5的无"孤立元素”

且含2个元素的子集为{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},共5个;S的无“孤立元素”且含3个元素的子集为

{0,1,2},{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},共4个;S的无"孤立元素"且含4个元素的子集为

{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共6个;S的无"孤立元素”且含5个元素的子集为

{0,1,2,3,4},{1,2,3,4,5},{0,1,2,4,5},{0,1,3,4,5},ft4个;S的无“孤立元素”且含6个元素的子集为{0,1,2,3,4,5},

共1个.故S的无"孤立元素”的非空子集有5用母=20(个).

⑵由a劝=36,a/eN,知，

若a和％一奇T禺厕aXb=36,满足此条件的有1X36=3*12=1乂9,故点(a/)有6个；

若a和b同奇同偶厕a止36,满足此条件的有1+352+344+33^+32=...=18+18,共18组，

故点(a,6)有35个.

所以"中的元素个数为41.

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【备选理由】例1考查对两集合之间关