新教材高中数学人教B版选择性第一册训练1-2-5空间中的距离

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.5空间中的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为()A.1 B.52 C.62 D答案C解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点E(1,1,2),F2,1,22,所以|EF|=(1-2)2.已知平面α的一个法向量n=(2,2,1),点A(1,3,0)在平面α内,则点P(2,1,4)到α的距离为()A.10 B.3 C.83 D.答案D解析由已知得PA=(1,2,4),故点P到平面α的距离d=|PA3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.655 B.455 C.答案B解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),则BA=(0,2,0),BE=(0,1,2),设∠ABE=θ,则cosθ=|BA·BE||BA||BE|=225=55,sinθ=4.如图,已知长方体ABCDA1B1C1D1,A1A=5,AB=12,则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5 B.8 C.6013 D.答案C解析方法一以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x则C(0,12,0),D1(0,0,5).设B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),BC=(x,0,0),CD1=(0,12,5),B1B设平面A1BCD1的法向量为n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(x,0,0)=ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,12,5)=12所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12)又B1B=(0,0,5),所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B1B·n||n|=60所以B1C1到平面A1BCD1的距离为6013方法二因为B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,从而点B1到平面A1BCD1的距离即为所求.如图,过点B1作B1E⊥A1B于点E.因为BC⊥平面A1ABB1,且B1E⊂平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的长即为点B1到平面A1BCD1的距离.在Rt△A1B1B中,B1E=A1B1·B1BA1B=12×55.已知△ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则圆心O到平面ABC的距离为(A.3 B.32 C.1 D.答案C解析由题意可知图形如图,△ABC是面积为934可得34|AB|2=934,即AB=BC=AC=3,所以AO1=23×32×3=3,球O的表面积为16π,设球O的半径为R,所以4πR2=16π,解得R=2,所以圆心O6.在直角坐标系中,A(2,3),B(3,2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为.

答案211解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',则|AA'|=3,|BB'|=2,|A'B'|=5,又AB=AA'+A'B'+B'B,∴|AB|2=3∴|AB|=211.7.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.

答案42解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有GF=(1,1,1),GD1=(0,2,1),所以|GF·GD1||GF|=28.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.

答案21解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A32,12,0,B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),则C1A=32,12,1,C1B1=(0,1,0),C1B=(0,1,1).则有C1A·n=32x+129.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M为BB1的中点,N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离;(2)求点N到平面MA1C1的距离.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直线AC1的一个单位方向向量为s0=0,22,22,AM=(2,0,1),故点M到直线AC1的距离d=(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,1),则n·A1C1=0,且n·A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,1)=0,即y=0,且2xz=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)为平面MA1C1的一个法向量,因为N(1,1,0),所以MN=(1,1,1),故点关键能力提升练10.(多选)如图,在三棱锥ABCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,则下列结论不正确的是()A.AE=3B.∠EAD为AE与平面ABD所成的角C.DE为点D到平面ABC的距离D.∠AED为二面角ABCD的平面角答案ABC解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,则△ABC为边长是2的等边三角形.又E为BC中点,则AE=AB2-BE由于DE与平面ABD不垂直,故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;若DE为点D到平面ABC的距离,则DE⊥平面ABC,故∠AED为直角,而在三角形ADE中,∠ADE为直角,矛盾,故C错;由于E为BC中点,则AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角ABCD的平面角,故D正确.11.正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为()A.83 B.223 C.4答案A解析如图,以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴AC=(2,2,0),AD1=(2,0,4),B1D1设平面AD1C的法向量为n=(x,y,z),则n·AC=0,n·AD1=0,即-2x+2y=0,-2x+412.在底面是直角梯形的四棱锥PABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为.

答案2解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由已知可知AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),B(2,0,0),则PB=(2,0,2),BC=(0,2,0).设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),则n取a=1,得n=(1,0,1).又AB=(2,0,0),所以d=|AB13.在直三棱柱A1B1C1ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=π2,AB=AC=AA1=1.已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为.答案5解析以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设F(t1,0,0)(0<t1<1),D(0,t2,0)(0<t2<1),E0,G12∴EF=∵GD⊥EF,∴t1+2t2=1,由此推出0<t2<12.又DF=(t1,t2,0),|DF|=t12+t22=5t22-4t214.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,CD的中点,求点F到平面A1D1E的距离.解以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D1xyz.则F(0,1,2),D1(0,0,0),A1(2,0,0),E(2,2,1),D1A1=(2,0,0),D设n=(x,y,z)为平面A1D1E的一个法向量,则n·D1A1=0,且n·D1E=0,∴2x=0,2x+2y+z=0,则x=0,令z=2,y=1,得n=(0,1,2),又15.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=π2,CD=AD=2.四边形ABFE为平行四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7,求直线AB到平面EFCD的距离解如图,以A点为坐标原点,AB,AD,AF的方向分别为x轴,y轴则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).设F(0,0,z0)(z0>0),可得FC=(2,2,z0).由|FC|=3,得22+解得z0=1,则F(0,0,1).因为AB∥DC,CD⊂平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.设A点在平面EFCD上的射影为G(x1,y1,z1),则AG=(x1,y1,z1).所以AG·DF=0,且AG而DF=(0,2,1),CD=(2,0,0),所以-2y1+z1所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且GF∥又GF=(x1,y1,z1+1),故有y12=z1+1.④联立①③④,解得G0,25,45.所以|AG|为直线AB而AG=0,25,45,所以|AG|=即直线AB到平面EFCD的距离为25学科素养拔高练16.已知二面角αlβ为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为()A.2 B.2 C.23 D.4答案C解析作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME⊥l,∴∠PEM为二面角αlβ的平面角.∴∠PEM=60°.在Rt△PME中,|PE|=|PM|同理|QF|=4.又PQ=∴|PQ|2=4+|EF|2+16+2PE·EF+2PE·FQ+2EF·FQ=20+|EF|2+2×2×4cos120°=12+|EF|2.∴当|EF|2取最小值0时,|PQ|2最小,此时17.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=22,∠ABC=90°,如图①把△ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图②).(1)求证:CD⊥AB;(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离;(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出BNBC的值;若不存在,请说明理由(1)证明由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB.(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),所以CD=(0,2,0),AD=(1,0,1),MC=(1,1,0).设平面ACD的法向量为n=(