高二数学北师大版必修5学案2-2三角形中的几何计算

§2三角形中的几何计算知识点一定理及推论[填一填]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，R是△ABC外接圆的半径，则有：(1)正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.(3)推论：abc＝sinAsinBsinC；cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).[答一答]1．判断三角形形状时，主要有哪两条途径？提示：判断三角形的形状，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．知识点二面积公式[填一填]S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc，其中ha，hb，hc分别是边a，b，c上的高．[答一答]2．三角形中的几何计算包括哪些方面的问题？提示：判定三角形形状的问题、长度与角度问题、面积问题、证明三角形中的恒等式问题．1．有关边、角取值范围的求解(1)在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形；若a2<b2＋c2，b2<a2＋c2，c2<a2＋b2，则△ABC为锐角三角形．2．解三角形综合应用(1)已知三角形各边之间的关系及部分角之间的关系，求解与三角形内角及边长有关的问题，往往需要用正、余弦定理完成边角转化，然后再利用三角公式进行求解．(2)面积公式、正弦定理、余弦定理交叉在一起，是解三角形中综合性较大的类型题，其间可用到三角函数中的相关公式．(3)解三角形与三角函数的图像与性质、三角恒等变换及向量的综合，是近几年高考命题的热点，要熟练掌握其综合应用．类型一利用正、余弦定理求三角形的边和角【例1】如右图，在△ABC中，若AB＝4，AC＝7，BC边上的中线AD＝eq\f(7,2)，则BC＝________.【思路探究】方法一：∠ADB＋∠ADC＝π，根据互补角建立方程cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，求出BC.方法二：构造平行四边形ABEC，在△ABE中，根据余弦定理的推论求出cos∠BAE，在△ABD中，运用余弦定理求出BD，从而求出BC.方法三：构造平行四边形ABEC，根据同角建方程，即根据∠CAD既在△ADC中，又在△AEC中，运用余弦定理的推论建立关于CD的方程，求出CD，从而求出BC.【解析】方法一：设BD＝DC＝x.∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝eq\f(AD2＋BD2－AB2,2AD×BD)＋eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD×CD)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋x2－42,2×\f(7,2)x)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋x2－72,2×\f(7,2)x)＝eq\f(2x2－\f(81,2),7x)＝0，∴x＝eq\f(9,2)，∴BC＝2BD＝9.方法二：如图所示，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，EC.∵AD是BC边上的中线，∴AE与BC互相平分于点D，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝AC＝7.又AB＝4，AE＝2AD＝7，∴在△ABE中，根据余弦定理的推论，可得cos∠BAE＝eq\f(AB2＋AE2－BE2,2AB×AE)＝eq\f(42＋72－72,2×4×7)＝eq\f(2,7).在△ABD中，根据余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcos∠BAD＝42＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2－2×4×eq\f(7,2)×eq\f(2,7)＝eq\f(81,4)，解得BD＝eq\f(9,2)，故BC＝2BD＝9.方法三：如方法二，构造平行四边形ABEC，如图所示．∵∠CAD＝∠CAE，∴cos∠CAD＝cos∠CAE，∴eq\f(AD2＋AC2－CD2,2×AD×AC)＝eq\f(AC2＋AE2－CE2,2×AC×AE)，∴eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2＋72－CD2,2×\f(7,2)×7)＝eq\f(72＋72－42,2×7×7)，∴CD2＝eq\f(81,4)，即CD＝eq\f(9,2).故BC＝2CD＝9.【答案】9规律方法可以构造平行四边形，利用“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”求解．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝eq\f(1,4)，则BD＝2，三角形ABD的面积为eq\r(3)－1.解析：在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋DC2－2BC·DC·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×eq\f(1,4)＝4，所以BD＝2.在△ABD中，由正弦定理得AB＝eq\f(BDsin∠ADB,sin∠BAD)＝eq\f(2×sin30°,sin(45°＋30°))＝eq\r(6)－eq\r(2)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq\f(1,2)×(eq\r(6)－eq\r(2))×2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(3)－1.类型二利用正、余弦定理判断三角形形状【例2】在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状．【思路探究】三角形形状的判断，可以根据角的关系，也可以根据边的关系．所以在已知条件的运用上，可以考虑两种途径：①将角转化为边．观察等式结构，可考虑利用余弦定理的推论来实施，即bcosA＝acosB⇒b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，化简后再具体分析；②将边转化为角．观察等式结构，可采用正弦定理将边转化为角，即将b＝2RsinB，a＝2RsinA代入bcosA＝acosB，即2RsinBcosA＝2RsinAcosB，消去R后再具体分析．【解】解法一：∵bcosA＝acosB，∴b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac).∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2.∴a2＝b2，∴a＝b.故此三角形是等腰三角形．解法二：∵bcosA＝acosB，又b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB.∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∴0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π.∴A－B＝0，即A＝B.故此三角形是等腰三角形．规律方法(1)在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变换之路，通常是运用正弦定理．(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式．根据三角函数值求角时，一定要先确定角的范围．另外，也可运用同角三角函数的商数关系，在等式sinBcosA＝sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanA＝tanB，再由0<A，B<π，得到A＝B.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝acosC，且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为eq\f(1,3).(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．解：(1)∵b＝acosC，∴由正弦定理，得sinB＝sinAcosC.①∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)．从而①式变为sin(A＋C)＝sinAcosC，∴cosAsinC＝0.又A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2).∴△ABC是直角三角形．(2)∵△ABC的最大边长为12，由(1)知斜边a＝12，又∵△ABC最小角的正弦值为eq\f(1,3)，∴Rt△ABC的最短直角边为12×eq\f(1,3)＝4，另一条直角边为8eq\r(2).∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×8eq\r(2)＝16eq\r(2).类型三利用正、余弦定理求三角函数值【例3】在△ABC中，已知AB＝eq\f(4\r(6),3)，cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，AC边上的中线BD＝eq\r(5)，求sinA的值．【思路探究】要求sinA的值，需根据“D是AC的中点”这个条件，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，所以∠ABE＋∠BED＝180°，根据题目中的条件cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，进而求得cos∠BED＝－eq\f(\r(6),6).又由DE綊eq\f(1,2)AB，得DE＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(6),3)＝eq\f(2\r(6),3).在△BDE中，利用余弦定理可求出BE，从而BC可求．再在△ABC中，利用余弦定理可求出AC，再利用正弦定理即可求出sinA的值．【解】如图所示，取BC的中点E，连接DE，则DE∥AB，且DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(2\r(6),3).∵cos∠ABC＝eq\f(\r(6),6)，∴cos∠BED＝－eq\f(\r(6),6).设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理，可得BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED，即5＝x2＋eq\f(8,3)＋2×eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),6)x.解得x＝1或x＝－eq\f(7,3)(舍去)，故BC＝2.在△ABC中，利用余弦定理，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝eq\f(28,3)，即AC＝eq\f(2\r(21),3).又sin∠ABC＝eq\r(1－cos2∠ABC)＝eq\f(\r(30),6)，∴eq\f(2,sinA)＝eq\f(\f(2\r(21),3),\f(\r(30),6))，∴sinA＝eq\f(\r(70),14).规律方法运用正、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9).(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝eq\f(7,9)，∴ac＝9.由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，∵cosB＝eq\f(7,9)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4\r(2),9).由正弦定理得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(2\r(2),3)，∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(1,3).∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝eq\f(10\r(2),27).类型四利用正、余弦定理求平面图形的面积【例4】如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．【思路探究】连接BD，把四边形ABCD的面积转化为两个三角形的面积和．【解】如图所示，连接BD，则四边形ABCD的面积为：S＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AB·ADsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC.因为A＋C＝180°，所以sinA＝sinC，所以S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)sinA＝eq\f(1,2)(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA.在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC.所以20－16cosA＝52－48cosC.因为cosC＝－cosA，所以64cosA＝－32，所以cosA＝－eq\f(1,2)，所以A＝120°，所以S＝16sin120°＝8eq\r(3).规律方法解本题的关键是连接BD这条辅助线，然后分别在△ABD和△BCD中运用余弦定理求出BD2，再根据∠BAD＋∠BCD＝180°这个条件，从而使问题可解．在△ABC中，sinAsinBsinC＝357，且周长为30，求△ABC的面积．解：由sinAsinBsinC＝357，得abc＝357，令a＝3x，b＝5x，c＝7x(x>0)，由周长为30可得3x＋5x＋7x＝30，∴x＝2，∴a＝6，b＝10，c＝14.由余弦定理，得cosC＝－eq\f(1,2)，∴C＝120°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×10sin120°＝15eq\r(3).类型五利用正、余弦定理解决平面几何中的最值问题【例5】如图，在平面四边形ABCD中，已知AD＝AB＝1，∠BAD＝θ，且△BCD为正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ的值．【思路探究】(1)将四边形的面积转化为两个三角形面积的和；(2)转化为形如mf(θ＋φ)＋n(m，n，φ为常数，f为sin或cos)的三角函数形式求最值．【解】(1)△ABD的面积S1＝eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(1,2)sinθ，正三角形BCD的面积S2＝eq\f(\r(3),4)BD2＝eq\f(\r(3),4)(12＋12－2×1×1×cosθ)＝eq\f(\r(3),2)(1－cosθ)，∴四边形ABCD的面积S＝S1＋S2＝eq\f(1,2)sinθ－eq\f(\r(3),2)cosθ＋eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)(0<θ<π)．(2)由(1)知S＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)(0<θ<π)，当θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(5π,6)时，四边形ABCD的面积S最大，且最大值为1＋eq\f(\r(3),2).规律方法解决本题的关键是用两个三角形面积的和表示出四边形的面积，并利用三角函数的有界性求得面积的最大值．注意θ的范围．若△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且S＝c2－(a－b)2，a＋b＝2，求面积S的最大值．解：S＝c2－(a－b)2＝c2－a2－b2＋2ab＝2ab－(a2＋b2－c2)，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC，∴c2－(a－b)2＝2ab(1－cosC)，即S＝2ab(1－cosC)，∵S＝eq\f(1,2)absinC，∴sinC＝4(1－cosC)．又∵sin2C＋cos2C＝∴17cos2C－32cosC＋15＝0解得cosC＝eq\f(15,17)或cosC＝1(舍去)．∴sinC＝eq\f(8,17)，∴S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(4,17)a(2－a)＝－eq\f(4,17)(a－1)2＋eq\f(4,17).∵a＋b＝2，∴0<a<2，∴当a＝1，b＝1时，Smax＝eq\f(4,17).类型六利用正、余弦定理证明恒等式【例6】在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC【思路探究】此题所证结论包含△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．【证明】证法一：(化为角的关系式)a2sin2B＋b2sin2＝(2R·sinA)2·2sinB·cosB＋(2RsinB)2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.∴原式得证．证法二：(化为边的关系式)左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinAcosA＝a2·eq\f(2b,2R)·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＋b2·eq\f(2a,2R)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ab,2Rc)(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝eq\f(ab,2Rc)·2c2＝2ab·eq\f(c,2R)＝2absinC＝右边，∴原式得证．规律方法由边向角转化，通常利用正弦定理的变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题中，用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinAcosA，正弦两角和公式sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.有关三角形的证明问题，主要围绕三角形的边和角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类问题就是含边和角的式子的化简问题．利用余弦定理证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．证明：已知：平行四边形ABCD.求证：AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.证明：在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC①；在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD②.因为在平行四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，cos∠BAD＝cos(180°－∠ABC)＝－cos∠ABC，所以①＋②，得AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．——规范解答系列——利用正、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及测量、几何计算有关的实际问题．正、余弦定理的考查常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差倍角公式甚至三角函数的图像和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．【例7】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝eq\f(π,4)，bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a.(1)求证：B－C＝eq\f(π,2)；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．【规范解答】(1)证明：由bsin(eq\f(π,4)＋C)－csin(eq\f(π,4)＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(eq\f(π,4)＋C)－sinCsin(eq\f(π,4)＋B)＝sinA，sinB(eq\f(\r(2),2)sinC＋eq\f(\r(2),2)cosC)－sinC(eq\f(\r(2),2)sinB＋eq\f(\r(2),2)cosB)＝eq\f(\r(2),2)，整理得sinBcosC－cosBsinC＝1，即sin(B－C)＝1，由于0<B，C<eq\f(3,4)π，从而B－C＝eq\f(π,2).(2)B＋C＝π－A＝eq\f(3π,4)，因此B＝eq\f(5π,8)，C＝eq\f(π,8).由a＝eq\r(2)，A＝eq\f(π,4)，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝2sineq\f(5π,8)，c＝eq\f(asinC,sinA)＝2sineq\f(π,8)，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(2)sineq\f(5π,8)sineq\f(π,8)＝eq\r(2)coseq\f(π,8)sineq\f(π,8)＝eq\f(1,2).在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋b2－ab＝4，C＝eq\f(π,3).(1)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积等于eq\r(3)，求a，b.解：(1)由正弦定理可将sinB＝2sinA化为b＝2a解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,b＝2a，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2\r(3),3)，,b＝\f(4\r(3),3).))故△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(2\r(3),3).(2)∵△ABC的面积等于eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，得ab＝4.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4，,ab＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))故a，b的值分别为2,2.一、选择题1．已知方程x2sinA＋2xsinB＋sinC＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足(B)A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab解析：∵方程有重根，∴Δ