典中点《11.1-11.2 三角形角的关系的八种常见题型》素养练

2/2典中点《11.1~11.2三角形角的关系的八种常见题型》素养练名师点金三角形内角和定理与三角形外角的性质是解角的有关计算及推理论证问题时经常使用的理论依据，利用三角形内角和与外角的性质求角的度数时，要通过内角和外角相互转化，沟通已知和未知，进而求出角的度数.题型一三角形内角和定理在求角度中的应用1.如图，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，点B，C，D在同一条直线上，FD∥EC，∠D=42°.求∠B的度数.题型二三角形内角和定理在叠放中的应用2.（1）如图①，有一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C.△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=.（2）如图②，改变直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小.题型三三角形内角和定理在类比思想中的应用3.【教材P17习题T9拓展】如图，在△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点.（1）若∠A=60°，求∠BPC的度数.（2）有一名同学在解答（1）后得出∠BPC=90°+∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由.题型四三角形内角和定理在转化思想中的应用4.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.题型五三角形内、外角的关系在探究角的关系中的应用5.如图，在△ABC中，点O是外角∠DBC的平分线与外角∠ECB的平分线的交点.判断∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由.题型六三角形内、外角的关系在折角中的应用6.【原创題】探索归纳：（1）如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四边形BCEF，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由.（3）若没有将∠A剪掉，而是把它折成如图③的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由.题型七三角形内、外角的关系在方程思想中的应用7.如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.（1）求证∠EAC=∠B.（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度数.题型八三角形内、外角的关系在整体思想中的应用8.【2021·衡水第五中学月考】如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，点D是外角∠ACH与内角∠ABC平分线的交点，∠BOC=120°.（1）求∠A的度数；（2）求∠D的度数.

参考答案1.解：FD∥EC，∠D=42°，∴∠BCE=∠D=42°.CE是∠ACB的平分线，∴∠ACB=2∠BCE=84°.又∠A=46°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-84°-46°=50°.点拔：本题运用了转化思想，借助平行线把与△ABC无关的已知角转化成△ABC中的∠BCE，再结合角平分线的定义就能进一步运用三角形内角和定理解决问题.2.解：（1）150°；90°（2）不变化.∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.3.解：（1）∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(180°-60°)=60°.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°.（2）正确.理由如下：∵BP，CP分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A.4.解：连接CG，DF.在△COG和△AOB中，∠COG=∠AOB，∴∠6+∠7=∠OCG+∠OGC.在四边形CDFG中，∠OCG+∠2+∠CDF+∠DFG+∠3+∠OGC=360°，即∠2+∠3+∠6+∠7+∠CDF+∠DFG=360°.在△DEF中，∠EDF+∠EFD+∠5=180°，∴∠EDF+∠CDF+∠EFD+∠DFG+∠2+∠3+∠5+∠6+∠7=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.点拔：连接CG，DF，利用转化思想，将求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和转化为求四边形CDFG的内角和与△DEF的内角和之和.5.解：∠BOC=90°-∠A.理由如下：由题意得∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.∵BO，CO分别是∠DBC，∠ECB的平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB)=(180°+∠A)=90°+∠A.∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A.6.解：（1）C（2）∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：∵∠1，∠2为△AEF的外角，∴∠1=∠A+∠AEF，∠2=∠A+∠AFE.∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AEF+∠AFE.又∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°.（3）∠1+∠2=2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF.∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF.∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）.又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.7.（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.（2）解：设∠CAD=x，则∠E=3x.由（1）知∠EAC=∠B=50°，∴∠EAD=∠EDA=x+50°.在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∴3x+2（x+50°）=180°，解得x=16°.∴3x=48°，即∠E=48°.8.解：（1）∵∠BOC=120°，∴∠OBC+∠OCB=60°.∵∠ABC，∠AC