高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》课件-新人教A版选修2-2

复数代数形式的乘除法运算1.解决复数问题的三种最基本思路是：(1)利用复数的代数形式，即设z=a+bi(a,b∈R).(2)利用复数的模、复数运算的几何意义.(3)利用复数模、共轭复数的性质等.2.记住以下结论可以提高运算速度.(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2与(a+b)2=a2+2ab+b2的区别；(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2与(a+b)(a-b)=a2-b2的区别.防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算错误.【例1】计算：(1)(1-i)2;【审题指导】复数的乘法直接利用复数乘法运算法则，类比多项式相乘进行运算；复数的除法一般分子分母乘以分母共轭复数，然后利用复数乘法运算.【规范解答】(1)(1-i)2=(1-i)(1-i)=1-i-i+i2=1-i-i-1=-2i；(2)(3)方法一：方法二：【变式训练】1.复数的虚部是()(A)i(B)(C)-i(D)-【解析】选B.故选B.2.计算：【解析】共轭复数的应用1.共轭复数的主要性质:(1)若z∈R则,反之亦然；(4)z是纯虚数2.掌握共轭复数的概念注意两点：(1)结构特点：实部相等、虚部互为相反数；(2)几何意义：在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称.虚部为零的两个复数也叫共轭复数.即【例2】设z1,z2∈C,问A与B是否可以比较大小？为什么？【审题指导】要想确定A,B是否可以比较大小，首先要确定A,B是不是实数，若都是实数则可以比较大小，若不全是实数则不能比较大小.常用的解决的办法是设出代数形式进行判断.【规范解答】可以比较大小,原因如下：设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R)则=a-bi，=c-di,∴A=z1·+z2·=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd∈R,B=z1·+z2·=|z1|2+｜z2｜2=a2+b2+c2+d2∈R.由于A,B都是实数，则可以比较大小.【互动探究】其他条件不变，能否用共轭复数的性质证明本题中A∈R？【解题提示】利用来证明z∈R.【解析】∵【例】设复数z满足z·+(1-2i)z+(1+2i)=3，求｜z｜的最值.【审题指导】利用等式的性质，等式两边恰当添(减)项，整体配项，巧妙求解，这种“配积”的技巧常常能使解题的过程简捷.【规范解答】在z·+(1-2i)z+(1+2i)=3等式两边分别加上又∵∴z·+(1-2i)z+(1+2i)+()(1+2i)=8，∴(z+1+2i)(+)=8，∴(z+1+2i)()=8，即｜z+1+2i｜2=8，∴｜z+1+2i｜=,即｜z-(-1-2i)｜=，它在复平面内表示以点(-1,-2)为圆心，以为半径的圆.又｜-1-2i｜=，∴｜z｜的最大值是，最小值是【变式备选】已知z∈C，解方程z·-3i=1+3i.【解题提示】方法一：设z=x+yi(x,y∈R)，代入原方程，利用复数相等的充要条件转化为方程组求解；方法二：取共轭复数，则解法更加简捷.【解析】方法一：设z=x+yi(x,y∈R)，代入原方程得(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i，∴x2+y2-3y-3xi=1+3i，∴解得或，∴z=-1或z=-1+3i.方法二：将z·-3i=1+3i①两边取共轭复数，得·z+3iz=1-3i，②②-①得=-2-z,代入①得z2+(2-3i)z+1-3i=0,即(z+1)(z+1-3i)=0,∴z=-1或z=-1+3i.虚数单位i的幂的周期性虚数单位i的周期性：(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).n也可以推广到整数集.【例3】计算i1+i2+i3+…+i2012.【审题指导】本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N)化简.【规范解答】方法一：原式方法二：∵i1+i2+i3+i4=0,∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N),∴i1+i2+i3+…+i2012，=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2009+i2

010+i2

011+i2

012)=0.【变式训练】计算1+2i+3i2+…+2012i2

011.【解题提示】利用数列中的错位相减法化简求和.【解析】设S=1+2i+3i2+…+2012i2

011①①两边同乘以i得iS=i+2i2+3i3+…+2012i2

012，②①-②得(1-i)S=1+i+i2+i3+…+i2

011-2012i2

012复数运算的综合应用1.注意复数与三角知识的综合复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最重要的思想方法，在解复数与三角知识综合的有关问题时，也要注意实数化解决方法.2.复数模的主要性质:｜z｜=｜｜;｜zn｜=｜z｜n｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.【例】已知复数z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ，｜z1-z2｜=,求cos(α-β)的值.【审题指导】首先表示出｜z1-z2｜，其中就含有cos(α-β).【规范解答】∵z1-z2=(cosα+isinα)-(cosβ+isinβ)，=(cosα-cosβ)+i(sinα-sinβ)，【变式备选】已知复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，其中0≤θ≤π，当θ为何值时z1与z2共轭？【解题提示】复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数=a-bi.实部相等，虚部互为相反数.【解析】由z1与z2共轭知解sin2θ=cosθ得cosθ=0或sinθ=,∵0≤θ≤π,∴θ=或或.解cosθ=-sinθ得tanθ=,又∵0≤θ≤π,∴θ=,综上所述，当θ=时，z1与z2共轭.【典例】(12分)已知z是复数，z+2i,均为实数，且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【审题指导】设出z的代数形式，利用已知条件求出z，再由(z+ai)2的对应点在第一象限求出a的范围.【规范解答】设z=x+yi(x,y∈R)，则z+2i=x+yi+2i=x+(2+y)i由于z+2i是实数，则2+y=0，解得y=-2，…2分…………3分由于是实数，则，解得x=4，…………………5分∴z=4-2i，…………………6分∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i，…………8分由(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得…………9分解得2＜a＜6，…………11分∴实数a的取值范围是(2,6).………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】(2011·赣州模拟)定义运算则满足的复数z所对应的点在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】选D.z(1+i)-(1+2i)(1-i)=0即故复数z对应的点在第四象限.1.i是虚数单位，1+i3等于()(A)i(B)-i(C)1+i(D)1-i【解析】选D.∵i3=i2·i=-i,∴1+i3=1-i.2.若复数z=1+i,i为虚数单位，则(1+z)·z=()(A)1+3i(B)3+3i(C)3-i(D)3【解析】选A.(1+z)z=(2+i)(1+i)=2+i2+3i=1+3i.3.已知a∈R，若(1-ai)(3+2i)为纯虚数，则a的值为()(A)-(B)(C)-(D)【解析】选A.∵(1-ai)(3+2i)=(3+2a)+(2-3a)i为纯虚数.∴解得a=-.4.复数z满足｜z-2｜+｜z+i｜=，那么｜z｜的取值范围是_____________.【解析】已知条件的复数z对应的点Z的轨迹是以(2,0)(0,-1)为