中考数学解题技巧 49分类讨论二次函数最值

分类讨论二次函数最值1．如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．（Ⅰ）求，的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．求证：；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数，（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．【分析】首先解方程求得、两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；根据解方程直接写出点的坐标，然后确定顶点的坐标，根据两点的距离公式可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据边长可得和两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（1）确定抛物线的对称轴是，根据增减性可知：时，有最大值，当时，有最小值；（2）分5种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当时；③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当时，⑤函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【解答】解：，分别是方程的两个实数根，且，用因式分解法解方程：，，，，，，，把，代入得，，解得，函数解析式为．证明：令，即，解得，，抛物线与轴的交点为，，，，对称轴为，顶点，即，，，，，是直角三角形，且，，在和中，，，，；解：抛物线的对称轴为，顶点为，（1）在范围内，当时，；当时，；（2）①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，令，即，解得．②当时，此时，，不合题意，舍去；③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时，令，即解得：（舍，（舍；或者，即（不合题意，舍去）；④当时，此时，，不合题意，舍去；⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，令，解得．综上，或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．2．在平面直角坐标系中，函数和的图象关于轴对称，它们与直线分别相交于点，．（1）如图，函数为，当时，的长为4；（2）函数为，当时，的值为；（3）函数为，①当时，求的面积；②若，函数和的图象与轴正半轴分别交于点，，当时，设函数的最大值和函数的最小值的差为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．【分析】（1）根据和关于轴对称得出的解析式，求出、两点坐标，即可得到；（2）根据和关于轴对称得出的解析式，求出、两点坐标，根据得出方程，解出值即可；（3）①根据和关于轴对称得出的解析式，将代入解析式，求出、两点坐标，从而得出的面积；②根据题意得出两个函数的解析式，再分当时，当时，当时，三种情况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可．【解答】解：（1），和关于轴对称，，分别令，则，，，，，故答案为：4；（2），可得：，，可得：，，，解得：，经检验：是原方程的解，故答案为：1；（3）①，，，分别代入，，可得：，，，，，；②函数和的图象与轴正半轴分别交于点，，而函数和的图象关于轴对称，函数的图象经过和，设，则，的图象的对称轴是直线，且，，，则，，而的图象在时，随的增大而减小，当时，的图象随的增大而增大，的图象随的增大而减小，当时，的最大值为，的最小值为，则，又，；当时，的最大值为，的图象随的增大而减小，的最小值为：，则，又，，当时，的图象随的增大而减小，的图象随的增大而减小，当时，的最大值为，当时，的最小值为，则，又，；综上：关于的解析式为：．【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解题的关键是要理解题意，尤其（3）问中要读懂题干，结合图象进行分析求解．3．如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧），且经过点和点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中，过点作于，过点作于．利用平行线分线段成比例定理求出点的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标，过点作轴交于，设则，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．（3）求出或16时，自变量的值，利用图象法确定，的值即可．【解答】解：（1）把，代入，可得，解得，抛物线的解析式为．（2）如图1中，过点作于，过点作于．对于抛物线，令，得到，，解得或6，，，，，，，的面积与的面积之比为，，，，，，，，直线的解析式为，由，解得或，，过点作轴交于，设则，，，，时，的面积最大，最大值为．（3）对于抛物线，当时，，解得，当时，，解得或4，观察图2可知：当时，，，而，故．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．（1）当时，直接写出点，，，的坐标：，，，；（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为．设点的横坐标为，记．①用含的代数式表示；②设，求的最大值．【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解；（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求解；（3）①证明，故，则，即可求解；②且，即可求解．【解答】解：（1）当时，抛物线的表达式为：，令，则或；当时，，函数的对称轴为，故点、、、的坐标分别为、、、；故答案为：、、、；（2），令，则，则点，函数的对称轴为，故点的坐标为，由点、的坐标得，直线的表达式为：，令，则，故点，，则，，解得：，故点、的坐标分别为、，，则；（3）①如图，作与的延长线交于点，由（2）知，抛物线的表达式为：，故点、的坐标分别为、，则点，由点、的坐标得，直线的表达式为：；设点，则点；则，由点，、的坐标得，直线的表达式为：，则点，故，，轴，故，，，故，则，；②且；当时，；当时，．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与性质等，综合性较强，难度较大．5．如图，抛物线与轴交于，两点．（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，根据轴对称的性质得到，，求出点的坐标，利用勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点在轴下方时的坐标即可；（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．【解答】解：（1）①抛物线的对称轴为直线，若过点的直线是抛物线的对称轴，则，解得：，抛物线的解析式为；②存在，如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，则，，对于，令，则，解得：，，，，，，，设点，由可得：，解得：，；同理，当点在轴下方时，．综上所述，点或；（2）抛物线的对称轴为直线，当时，，抛物线开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，当时，取，有最大值，即，，解得：，又，．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．6．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．（1）直接写出点，点，点的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令，便可求得点坐标；（2）过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标；（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．【解答】解：（1）令，得，，令，得，解得，，，把、两点代入得，，解得，抛物线的解析式为，令，得，解得，，或，；（2）过点作轴，与交于点，如图1，设，则，，，，当时，四边形面积最大，其最大值为8，此时的坐标为；（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图2，，，，，当在抛物线上时，有，解得，，当点在抛物线上时，有，解得，或2，当或时，线段与抛物线只有一个公共点．【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．7．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）将抛物线图象轴下方部分沿轴向上翻折，保留抛物线在轴上的点和轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为，，，．当以为直径的圆过点时，求的值；（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，请直接写出的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，即可求解；（2）翻折后得到的部分函数解析式为：，，新图象与直线恒有四个交点，则，由解得：，即可求解；（3）分、在函数对称轴左侧、、在对称轴两侧、、在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，解得：，抛物线的函数表达式为：；（2），则轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：，，其顶点为．新图象与直线恒有四个交点，，设，，，．由解得：，以为直径的圆过点，，即，解得，又，的值为；（3）①当、在函数对称轴左侧时，，由题意得：时，，时，，即：，解得或（舍，，解得或（舍，解得：；②当、在对称轴两侧时，时，的最小值为，不合题意；③当、在对称轴右侧时，同理可得：；故的取值范围是：或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．（1）求二次函数的表达式；（2）连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度；（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点在点上方和下方两种情况，先求出的度数，再利用三角函数求出的长，从而得出答案；（3）分对称轴在到范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）点与点关于直线对称，点的坐标为，代入，得：，解得，所以二次函数的表达式为；（2）如图所示：由抛物线解析式知，则，，若点在点上方，则，，；若点在点下方，则，，；综上，的长为或；（3）若，即，则函数的最小值为，解得（正值舍去）；若，即，则函数的最小值为，解得：（舍去）；若，则函数的最小值为，解得（负值舍去）；综上，的值为或．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．9．如图，点，，都在抛物线（其中上，轴，，且．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含的代数式表示）；（2）求的面积（用含的代数式表示）；（3）若的面积为2，当时，的最大值为2，求的值．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；（2）过点作直线的垂线，交线段的延长线于点，由轴且，可得出点的坐标为，设，则点的坐标为，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出值，再利用三角形的面积公式即可得出的值；（3）由（2）的结论结合可求出值，分三种情况考虑：①当，即时，时取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，解之可求出的值；②当，即时，时取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值；③当，即时，时取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值．综上即可得出结论．【解答】解：（1），抛物线的顶点坐标为．故答案为：．（2）过点作直线的垂线，交线段的延长线于点，如图所示．轴，且，点的坐标为．，设，则，点的