2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二（下）月考数学试卷（3月份）一、单选1-8，每题5分，共40分。1．一个做直线运动的质点的位移s（m）与时间t（s）的关系式为s＝100t﹣5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t＝（）A．50s B．20s C．10s D．5s2．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f′（2）+f（2）＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．53．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（）A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．04．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为（）A．3 B．6 C．3或6 D．2或65．函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，e） D．（1，+∞）6．若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），则（）A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4） B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e） C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2） D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）8．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（）A． B． C． D．二、多选题9-11，每题6分，共18分。（多选）9．下列求导运算正确的是（）A． B． C．（cosx）'＝﹣sinx D．（多选）10．关于函数，下列说法正确的有（）A．函数f（x）的图象关于点对称 B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减 C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则 D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2（多选）11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．现新定义：若x0满足f（x0）＝﹣x0，则称x0为f（x）的次不动点．设函数f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，则a的取值可以是（）A．﹣1 B．e2+e﹣2+4 C．﹣e2﹣e﹣2﹣3 D．﹣e2﹣e﹣2﹣1三、填空12-14，每题5分，共15分。12．若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝．13．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是℃/min．14．若函数f（x）＝aex+cosx在区间上单调递减，则实数a的取值范围为．四、解答题15-19，共77分。15．已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的极值．16．已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．17．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．18．（17分）已知函数f（x）＝x3﹣3lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设，证明：f（x）≤g（x）．19．（17分）设a＞0，函数f（x）＝aex+x2+ax+a+1，g（x）＝lnx+ax+a．（Ⅰ）若f′（0）＝2，求a的值；（Ⅱ）求证：f（x）恰有1个极小值点，g（x）恰有1个零点；（Ⅲ）若x1是f（x）的极值点，x2是g（x）的零点，求证：x1＝﹣ax2﹣a．

参考答案一、单选1-8，每题5分，共40分。1．一个做直线运动的质点的位移s（m）与时间t（s）的关系式为s＝100t﹣5t2，则该质点的瞬时速度为0m/s时，t＝（）A．50s B．20s C．10s D．5s【分析】根据题意，求出函数的导数，令s′＝0，求出t的值，即可得答案．解：根据题意，s＝100t﹣5t2，则s′＝100﹣10t，若该质点的瞬时速度为0m/s，即s′＝100﹣10t＝0，解可得t＝10．故选：C．【点评】本题考查导数的计算，注意导数的几何意义，属于基础题．2．已知函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，则f′（2）+f（2）＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】由已知结合导数的几何意义求解即可．解：∵函数f（x）在点x＝2处的切线方程为2x+y﹣1＝0，∴f′（2）＝﹣2，且2×2+f（2）﹣1＝0，得f（2）＝﹣3，∴f′（2）+f（2）＝﹣5．故选：A．【点评】本题考查导数的几何意义及应用，是基础题．3．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（）A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0【分析】利用导数的定义求解即可．解：∵函数y＝f（x）在x＝x0处可导，∴．故选：C．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．4．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为（）A．3 B．6 C．3或6 D．2或6【分析】对函数f（x）＝x（x﹣c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出c的值．解：f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c），f′（2）＝（2﹣c）2+2×2（2﹣c）＝0，解得c＝6或2．验证知当c＝2时，函数在x＝2处有极小值，舍去故c＝6故选：B．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，对函数求导，令导函数等于0即可解出c的值，由于本题明确指出在该点出取到极大值，故需对求出的c的值进行验证，如本题，c＝2必需舍去，做题时要注意考虑周详．5．函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，e） D．（1，+∞）【分析】对函数求导，令导函数小于零，解得x的范围即可得到减区间．解：函数的定义域为（0，+∞），令，解得x＞1，则函数的单调减区间为（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．6．若曲线y＝e2ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1＝0垂直，则a＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由切线与直线垂直可得切线斜率为2，再对曲线求导，根据导数的几何意义结合条件即得．解：直线x+2y+1＝0的斜率为，由题设知：y＝e2ax在（0，1）处的切线的斜率为2，而y′＝2a•e2ax，∴y′|x＝0＝2a＝2，可得a＝1．故选：C．【点评】本题考查利用导数求切线的方法，属于基础题．7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为（0，+∞），若xf′（x）＜2f（x），则（）A．4e2f（2）＜16f（e）＜e2f（4） B．e2f（4）＜4e2f（2）＜16f（e） C．e2f（4）＜16f（e）＜4e2f（2） D．16f（e）＜e2f（4）＜4e2f（2）【分析】设，利用导数得到函数单调性，从而求解．解：∵xf′（x）＜2f（x），∴，设，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（2）＞g（e）＞g（4），∴，即4e2f（2）＞16f（e）＞e2f（4），故C正确．故选：C．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．8．若点P是曲线y＝lnx﹣x2上任意一点，则点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为（）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，以及点到直线的距离公式，即可求解．解：直线l：x+y﹣6＝0，则直线l的斜率为﹣1，y＝lnx﹣x2，则y'＝，令，解得x＝1（负值舍去），当x＝1时，y＝﹣1，故平行于直线l：x+y﹣6＝0且与直线y＝lnx﹣x2相切的切点坐标为（1，﹣1），所以点P到直线l：x+y﹣6＝0的距离的最小值为：＝．故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于中档题．二、多选题9-11，每题6分，共18分。（多选）9．下列求导运算正确的是（）A． B． C．（cosx）'＝﹣sinx D．【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．解：，，故AB错误；（cosx）'＝﹣sinx，故C正确；＝，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．（多选）10．关于函数，下列说法正确的有（）A．函数f（x）的图象关于点对称 B．函数f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减 C．若方程f（x）＝t恰有一个实数根，则 D．若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，求出f（﹣1﹣x）的表达式，分析f（x）与f（﹣1﹣x）的关系，可得A错误，对于B，由导数与函数单调性的关系可得B正确，对于C，举出反例可得C错误，对于D，分析f（x）的值域，可得D正确，综合可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数，f（﹣1﹣x）＝，f（x）≠﹣f（﹣1﹣x），则f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，A错误；对于B，f′（x）＝＝＝，在区间（﹣∞，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，B正确；对于C，＝0，解可得x＝﹣，当t＝0时，方程f（x）＝t恰有一个实数根，C错误；对于D，当x＞﹣时，f（x）＞0，当x＜﹣时，f（x）＜0，此时f（x）＝﹣，又由x2+1﹣（x2++）＝＞0，则f（x）＝﹣＞﹣2，则有f（x）＞﹣2，故若∀x∈R，都有f（x）＞m，则m≤﹣2，D正确．故选：BD．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数与方程的关系，属于基础题．（多选）11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，此定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f（x），存在一个实数x0使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，x0为函数的不动点．现新定义：若x0满足f（x0）＝﹣x0，则称x0为f（x）的次不动点．设函数f（x）＝ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，则a的取值可以是（）A．﹣1 B．e2+e﹣2+4 C．﹣e2﹣e﹣2﹣3 D．﹣e2﹣e﹣2﹣1【分析】由题意可得，ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x在（﹣2，1）上有解，即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，然后换元构造函数，利用导数求最值即可．解：根据题意，若f（x）在区间（﹣2，1）上存在次不动点，则f（x）＝﹣x在区间（﹣2，1）上有解，即ex+1+e﹣x﹣1+x2+x+a＝﹣x，即ex+1+e﹣（x+1）+（x+1）2＝1﹣a有解，令t＝x+1，t∈（﹣1，2），则1﹣a＝t2+et+e﹣t，令函数g（t）＝t2+et+e﹣t，g′（t）＝2t+et﹣e﹣t且单调递增，当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，所以g（t）在（0，2）上单调递增，g（﹣t）＝t2+et+e﹣t＝g（t），所以g（t）为偶函数，所以g（t）在（﹣1，0）上单调递减，g（t）min＝g（0）＝2，g（t）＜g（2）＝4+e2+e﹣2，故1﹣a∈[2，4+e2+e﹣2），a∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，则﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]，﹣e2﹣e﹣2﹣1∈（﹣e2﹣e﹣2﹣3，﹣1]．故选：AD．【点评】本题属于新概念题，考查了函数的奇偶性、单调性及导数的综合运用，属于中档题．三、填空12-14，每题5分，共15分。12．若函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2f′（1）lnx+x，则f（e）＝﹣2+e．【分析】由求导计算公式求出f′（1），再代入求出f（e）即可．解：由f（x）＝2f′（1）lnx+x，得，令x＝1，则，解得f′（1）＝﹣1，所以f（x）＝﹣2lnx+x，f（e）＝﹣2+e．故答案为：﹣2+e．【点评】本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．13．烧水时，水温随着时间的推移而变化．假设水的初始温度为20℃，加热后的温度函数T（t）＝100﹣ke﹣0.1t（k是常数，t表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是℃/min．【分析】根据公式和已知条件直接求解即可解：因为水的初始温度为20℃，所以T（0）＝100﹣k＝20，解得k＝80，所以T′（t）＝8e﹣0.1t，则，所以加热到第10min时，水温的瞬时变化率是．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．14．若函数f（x）＝aex+cosx在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（﹣∞，]．【分析】由函数f（x）在区间上单调递减，得到f'（x）≤0在区间上恒成立，再求出a的取值范围即可．解：因为函数f（x）＝aex+cosx在区间上单调递减，所以f'（x）＝aex﹣sinx≤0在区间上恒成立，所以只需a≤（）min．令g（x）＝，x∈，则g'（x）＝，当x∈时，g'（x）≤0恒成立，且仅当x＝时取等号，所以g（x）在上单调递减，所以g（x）min＝g（）＝，所以a≤（）min＝，所以实数a的取值范围为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．四、解答题15-19，共77分。15．已知函数f（x）＝x2+x﹣3lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求f（x）的极值．【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程即可；（2）先判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，再求极值即可．解：（1）f（x）＝x2+x﹣3lnx的定义域为（0，+∞），f'（x）＝2x+1﹣，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k＝f′（1）＝0，因为f（1）＝1+1﹣0＝2，所以切点为（1，2），所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为y＝2．（2）f'（x）＝2x+1﹣＝＝，定义域为（0，+∞），当x＝1时，f'（x）＝0；当x＞1时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，所以极小值为f（1）＝2，无极大值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，熟练掌握导数的几何意义，函数的单调性与导数之间的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，求出切线的斜率f'（1），再根据曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求出a的值；（Ⅱ）对f（x）求导，分a＝﹣2，a＜﹣2和a＞﹣2三种情况，求出f（x）的单调区间即可．解：（Ⅰ）由f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），得f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f′（1）＝0，∴e（3﹣3a）＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意．（Ⅱ）∵f′（x）＝ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]，令f'（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝a．当a＝﹣2时，∵f′（x）＝ex（x+2）2≥0，当且仅当x＝﹣2时，f'（x）＝0，∴f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增．当a＜﹣2时，随x的变化，f'（x）和f（x）的变化情况如下表所示．x（﹣∞，a）a（a，﹣2）﹣2（﹣2，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）单调递增f（a）单调递减f（﹣2）单调递增∴f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递增，在区间（a，﹣2）上单调递减，在区间（﹣2，+∞）上单调递增．当a＞﹣2时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示．x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，a）a（a，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）单调递增f（﹣2）单调递减f（a）单调递增∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2）上单调递增，在区间（﹣2，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．综上，当a＝﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；当a＜﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（﹣2，+∞），单调递减区间为（a，﹣2）；当a＞﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（a，+∞），单调递减区间为（﹣2，a）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．17．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．（1）求实数a，b的值；（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．【分析】（1）对f（x）求导，根据函数f（x）在x＝2处取得极小值5，列方程求出a，b的值即可；（2）对f（x）求导，判断f（x）在[0，3]上的单调性，再求出f（x）的最小值即可．解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，所以a＝9，b＝1．（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．x0（0，1）1（1，2）2（2，3）3f'（x）+0﹣0+f（x）1↑极大值6↓极小值5↑10所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数求函数在给定区间上的最值，属基础题．18．（17分）已知函数f（x）＝x3﹣3lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设，证明：f（x）≤g（x）．【分析】（1）对f（x）求导，判断f（x）的单调性，再求出最小值即可；（2）构造函数，利用导数证得h（x）≥0恒成立，从而得证．解：（1）因为f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，则，令f′（x）＜0，得0＜x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1；所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增