人教版《垂直于弦的直径》公开课初中数学

人教版《垂直于弦的直径》公开课PPT初中数学ppt1人教版《垂直于弦的直径》公开课PPT初中数学ppt2人教版《垂直于弦的直径》公开课PPT初中数学ppt3人教版《垂直于弦的直径》公开课PPT初中数学ppt4人教版《垂直于弦的直径》公开课PPT初中数学ppt5第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径第二十四章圆612学习目标3理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.(难点)能初步应用垂径定理进行计算和证明.（重点）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.12学习目标3理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.(难点)能初7如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点___________________∴③CE=DE，④AC=AD，⑤BC=BD.∴③AB⊥CD，④AC=AD，⑤BC=BD.5m，OD=OC-CD=（R-7.2.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。★涉及垂径定理时辅助线的添加方法如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，由题设可知，AB=37m，CD=7.理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.则弦AB的长是.___________________CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，重合，重合∴_________,________________,________________观察思考

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点8你能用数学方法证明刚才的结论吗？

如图，AB是⊙O的任一条直径，C是⊙O上点A,B以外任意一点∵在△OCD中，OC=OD,∴△OCD是等腰三角形∵OE⊥CD∴CE=ED即AB是CD的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。·OCBEAD过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，垂足为E连接OC,OD你能用数学方法证明刚才的结论吗？如图，AB是⊙O的任一9

根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段和弧？ABCDOECE=DE⌒AC=ADBC=BD⌒⌒⌒观察思考根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段AB10CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE,⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD.ABCDOE分析：要证CE=DE，只要证CE,DE构成的三角形全等.要证，只需证明C点与D点关于直径AB对称.⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD同位讨论CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.⌒⌒A11同位讨论CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E.求证：CE=DE,⌒⌒AC=AD,⌒⌒

BC=BD.ABCDOE证明：连接OC,OD,则OC=OD在Rt△OCE和Rt△ODE中：

______________________________________∴Rt△OCE≌Rt△ODE（）∴CE=_____∴点_____和点_____关于AB对称∵⊙O关于AB对称∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，重合，重合∴_________,________________,________________OE=OEOC=ODHLDECD⌒⌒AC与AD⌒⌒

BC与BDCE=DEAC=AD,⌒⌒

BC=BD.⌒⌒同位讨论CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E12归纳总结垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。符号语言：∵①AB是直径（），②AB⊥CD

∴③CE=DE，④AC=AD，⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒·OCEABD①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧归纳总结垂径定理：符号语言：∵①AB是直径（131、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。是不是是练一练是是注意：垂径定理中的垂径可以是

、半径或过圆心的直线或

，其本质是“过圆心”直径线段1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。是不是是练一练是是注14如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？想一想·OCEABD如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对15

举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD，垂足为E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径举例证明其中一种组合方法.②AB⊥CD，垂16

举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD，垂足为E

③CE=DE④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径思考：CD可以是直径吗？CDCDD举例证明其中一种组合方法.②AB⊥CD，垂17这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D，因此⊙O关于直线AB对称。则弦AB的长是.②AB⊥CD，垂足为E∵①AB是直径②CE=DE且CD不是直径1、判断下列图是否是表示垂径定理的图形。理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.∴点_____和点_____关于AB对称根据垂径定理，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.5m，OD=OC-CD=（R-7.半径为4cm的⊙O中，弦AB=2cm,一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.那么圆心O到弦AB的距离是.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴当圆沿着直线AB对折时，点C与点D重合，重合，重合∴_________,________________,________________一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.∴△OCD是等腰三角形∴③AB⊥CD，④AC=AD，⑤BC=BD.举例证明其中一种组合方法.⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离OE=4cm，∴③CE=DE，④AC=AD，⑤BC=BD.

举例证明其中一种组合方法.已知:求证：②AB⊥CD，垂足为E

③CE=DE（CD不是直径）④AC=AD⑤BC=BD⌒⌒⌒⌒·OCEABD小组讨论①AB是直径这就是说对于圆上任意一点C，在圆上都有关于直线AB的对称点D18垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。∵①AB是直径②CE=DE且CD不是直径符号语言：∴③AB⊥CD，④AC=AD，⑤BC=BD.⌒⌒⌒⌒归纳总结·OCEABD垂径定理的推论：∵①AB是直径②CE=DE且CD不是19例题探究

赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.例题探究赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距20ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连结OA.根据垂径定理，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.⌒⌒⌒⌒在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2,∴R2=2+（R）2,解得R≈27.3.例题探究ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O21

弦a，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系：★弓形中重要数量关系ABCDOhrd

d+h=r

方法总结弦a，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h，半径r之22例题变式如图，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为4cm，求⊙O的半径．ABOE34解：

在Rt△AOE中

,,(垂径定理）过圆心O作OE⊥AB于E，例题变式如图，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O23

在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.★涉及垂径定理时辅助线的添加方法OABC·方法总结在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离24知识小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形圆是轴对称图形知识小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直25分层作业小小数学家：1.完成课本P83练习2.完成同步练习册.8分层作业小小数学家：1.完成课本P83练习26达标练习1.半径为4cm的⊙O中，弦AB=2cm,那么圆心O到弦AB的距离是

.ABOE14

2.⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离OE=4cm，则弦AB的长是

.

6cmEABO54达标练习1.半径为4cm的⊙O中，弦AB=2cm,ABO27达标练习3.如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是

.253达标练习3.如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y