全国甲2022年高考数学压轴卷理

（全国甲）2022年高考数学压轴卷理

-.选择题（本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

［已知集合A={x|2x-8<2-3x},B={x|x2-4x+3<0},则AuB=()

A.(1,2)B.(2,3)C.(.»,3)D.(1,3)

2.设复数z满足(1+i)z=4i,贝“z|=()

V2

A-TB-V2C.2D-2V2

3.下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是()

IlogX

A.y=B.y=2xC.y=2D.y=%

4•刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n很大时，用圆内接正n边形

的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率乃“3.1416.在《九章算术注》中总结出

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以

说他是中国古代极限思想的杰出代表.运用此思想，当乃取3.1416时可得cos89。的近似值为

（）

A.0.00873B.0.01745C.0.02618D,0.03491

5.已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的体积为（）

2

2G48

A.3B.3C.2D,3

6,某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（）

1

3]_

A.2B.6

25137

C.12D.~60

7.我国数学家张益唐在“李生素数”研究方面取得突破，李生素数也称为享生质数，就是指两个相

差2的素数，例如5和7,在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一

组挛生素数的概率为（）

_3_1J.

A.56B.28C.7D.5

8・圆》2+/_而=0上的点到直线31尸9=0的距离的最小值为

A.1B.2C.4D,5

9.在2*（3x+l）的展开式中，含/项的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.120

x+j；-4>0

10.已知实数x,y满足约束条件.2x-y-4<0,则2=上的最小值为（）

x-y>01

44

A.-B.-C.2D.3

35

2

x2y2

11.已知双曲线45=1的右焦点为F,点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点

在以原点0为圆心，|0F|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（）

5VTT5VTT

A--V35B-C•7D.后

,、ax~-2x+l（x<0）,

/"）=_e'+ax_e2（x〉0）

12.已知函数II'有两个零点，则实数。的取值范围是（）

A.（e,+oo）B.C.（。同D.（&e）

第II卷（非选择题）

-.填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）

13.函数f（x）是定义在R上的奇函数，当-l<x<0时，/（同=3、，则/（log32）=

14.在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术7科中任选3科参加高

考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治、地理、技术5科

中任选2科，则甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有一种.

15.已知点0（0,0）,人（1,2）,8（01,0）（（71>0）,则8$<K，—*>=一,

OAOB

若B是以OA为边的矩形的顶点，则m=.

16.数列｛aQ是首项％,公差为"的等差数列，其前”和为Sn,存在非零实数/,对任意

〃eN*有*=4+（〃—»・可恒成立，则/的值为.

三、解答题（本题共5个小题，第17-21您没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程

或演算步骤）

17.在3BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C;

3百

（2）若c=jy,AABC的面积为~Y，求AABC的周长.

18.已知数列｛aj的前n项和为Sn且S-2n2+n,nGN*,数列｛bj满足a。=

3

4log2bn+3,nGN,.

(I)求an和bn的通项公式；

(II)求数列｛an・bn｝的前n项和Tn.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA±底面

ABCD,AB1AD,BC||AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱PD的中点，PF"PC(4为

常数，且。”<1).

(1)若直线BF||平面ACE,求实数A的值；

(2)当4=；时，求二面角C—AE—F的大小.

2222

£_+Z_=i二-2=1

20.已知椭圆C：a?b2(a>°,b>°)的长轴为双曲线84的实轴，且椭圆C

过点P(2,1).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为

勺，％2,且仁山2=-5,当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程.

x+。-2

x

21.已知函数f(x)=x+2.e(a>0).

(1)讨论函数£(*)的单调性；

4

ex-h(x+1)

(2)当bG［O,1)时，设函数g(x)=乒(x>0)有最小值h(b)，求h(b)

的最大值.

选考题:共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时

用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.［选修4-4:坐标系与参数方程］

在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci的

4

极坐标方程为p2=l+3sin20,曲线C2的极坐标方程为p=l.若正方形ABCD的顶点都在C2

Tl

上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(1,不).

(1)求点A,B,C,D的直角坐标；

(2)设P为Ci上任意一点，求|PA『+|PC|2的取值范围.

234选修4-5:不等式选讲］

已知函数£(x)=|x-l|.

(1)求不等式f(x)+f(2x)“的解集M;

(2)记集合M中的最大元素为m,若不等式f2(mx)+f(ax)4m在［1,+«>)上有解，求

实数a的取值范围.

5

参考答案

1.【答案】C

【解析】解::2x8<23x,.-.X<2,.-.A=(.<»,2),

vx2-4x+3<0,.1<x<3,,-.B=(1,3),

•"•AuB=(-8,3).

故选：C.

2.【答案】D

【解析】解：由(1+i)z=4i,

得z=i+i=(bi)(i+i)=2+21,

则|Z|=122+22=2&.

故选：D.

3.【答案】A

x

.Ly=2~>y=loglx1

【解析】解：y=x”在(o,+8)上单调递增，2和yx在(0,+8)上都是

减函数.

故选：A.

4.【答案】B

ccq父。。一cin10

【解析】根据一，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似

为单位圆的面积求解.

cos89°=cos(90c-T)=sinl°

【详解】因为

所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1。，

所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，

即360xgx1x1xsin1。n才

713.1416

所以sin1"«0.01745

180180

故选：B

6

5.【答案】B

【解析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据椎体的体积公式以及三视图中的数据可求该几

何体的体积.

【详解】

复原后的几何体为如图所示的三棱锥，其底面为等腰三角形，

该三角形的底边长为2,高为2,棱锥的高为2,

1,1cc\c4

—x(—x2x2)x2=—

故体积为3'2'3.

故选：B.

6.【答案】C

【解析】由题意，s、s初始值分别为1,0.当人为小于5的正整数时，用S+：的值代替s,

k+1k

代替，进入下一步运算.由此列出如下表格

输

,11,111出

S011+-1+-+-1+—+-+-

223234S

值

k12345

S^2]-1-___1__

因此，最后输出的-234―12

7

故选：.

7.【答案】D

【解析】写出大于3且不超过20的素数，分别计算出随机选取2个不同的数的所有情况和恰好

是一组学生素数的情况，再利用古典概型公式代入求解.

【详解】大于3且不超过20的素数为：5,7,U,13,17,19,共6个，随机选取2个不同

5=15

的数，共有2个情况，恰好是一组学生素数的情况为：5和7,11和13,17和19,

共3个，所以概率为155.

故选：D

8.【答案】A

【解析】由2—4.0.得（x—23=4'圆心为（2,0），半径一2,圆心到直线

3x-4y+9=0的距离dJ3x2j4x0+9|=3，故圆/十2一片。上的点到直线

<32+42/

3x—勺+9=0的距离的最小值为“一一厂

9.【答案】C

【解析】针对（1一2x）‘部分，通项为&।=G（-2x）'=（-2）'C，，

,,（1-2X）5（3X+1）中炉项为12C；X3-8C13=40X3,

8

故选：C

10.【答案】B

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

y

的几何意义为可行域内的动点与定点p连线的斜率,

x-l

--0

,_34

由图可知，kpA=8=5-,

可知z=」y的最小值为彦.

x-l5

故选：B.

n.【答案】A

【解析】解：如图所示，设线段MF的中点为H,连接OH,

设双曲线的右焦点为F,连接MF.双曲线的左焦点为F',连接MF',则OH||MF'.

9

又|0H|=|0F|=c=3,|FH|=4'|MF|=4'(2a-2c)=ac

=1.

设/HFO=a,

在AOHF中，tana=^---厂----

~2V35

,•,直线MF的斜率是一年.

故选：A.

12.【答案】B

分析：

2

【解析】解答：当》=°时/(0)=-l-e:.x=°不是函数/(X)的零点.当x<°时，由

_2x-l,,\_2x—l,,,—

/(x)=0,得"一二,设〃(x)一,"x)=<。,则〃(x)在(一8,0)上单

调递减，且川“.所以x<0时无零点

ex+e2,、ex+e2,,、xex-ex-e2

当x>0时，〃x)=。等价于”丁，令且甘卜丁，g3=一一,

2g(x)>e2

得g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增,g(x)min=g(2)=e

10

因为有2个零点，所以a>e2.

故选：B.

13.【答案】2

【解析】】因为02€(°，1),所以一1%2€(-1,0)

由〃力为奇函数得：〃岷2)=-〃-晦2)=寸(1%)=-3啕」3.

_2

故答案为：一5

14.【答案】180

【解析】】根据题意，按物理、历史2科中有或没有相同学科分2种情况讨论，由加法原理计算可

得答案.

解：根据题意，分2种情况讨论：

122

①物理、历史2科中有相同学科.贝ij有C2c5c3=60种选法；

②物理、历史2科中没有相同学科.则有人2c5A4=120种选法.

所以甲、乙两人恰有1门学科相同的选法有60+120=180种；

故答案为：180.

匹

15.【答案】5,5

解：根据题意，点0(0,0),A(1,2),B(m,0),

11

••.r—•

则°A=(i,2),0B=(m,0)，则|叫=阻网=m,

队比m,

1Kcos<OA>0B>=lOAIlOBI=y-

若B是以OA为边的矩形的顶点，而°A与°B不垂直则必有AB,0A,

..一♦

又由四=(m-1,.2),则有此.°A=(ml)+2x(.2)=0,解可得m=5,

故答案为：有，5.

D

16.【答案】1或5

【解析】当〃=1时，s“=%+(〃-i)/q恒成立，当〃之2时：

当数列的公差4=0时，S,=%+(〃—i)/q即〃q=《+(〃—1)/吗，

据此可得(〃T)%=("i卜’吗，则/=i,

当数列的公差d'0时，由题意有：S"=4+(〃T)'“"，S"_|=%1+(〃_2)入6_|

两式作差可得：％=%-%+(〃一1)町,一(〃一2卜%,

整理可得：(〃-1卜7。〃-%)=(1-)%一1,即：%=(〃一1卜口"，①

_.ci=n——d

则1-Z，②

②-①整理可得：4—4-|=匚；"="恒成立，

12

-----=1t——

由于d*0,故1T，据此可得：2,

综上可得：/的值为1或5.

17.【答案】

【解析】解：(1)由已知2cosC(acosB+bcosA)=c,

正弦定理得：2cosc(sinAcosB+cosAsinB)=sinC,

即2cosC*sinC=sinC,

,.'O<C<n,sinCxO,

1

.,•cosC=5,

K

(2)由c=、mc=2,4ABe的面积为‘卓■=]^皿告=之§,

.,.ab=6,

又由余弦定理c2=b2+a2-2abcosC,可得：7=b2+a?.ab=(a+b)23ab=(a+b)2-18,

可得：(a+by=25,解得：a+b=5,

•'•△ABC的周长a+b+c=5+V7.

18.【答案】

【解析】解：(I)数列｛an｝的前n项和为S"且Sn=2n2+n,nGN*,

则：an=Sn-Sn.i(n>2),

=2n2+n-2(nl)2-(n-1)

=4n-l,

当n=l时，ai=3符合通项公式，

所以：an=4n-l.

由于:数列｛用｝满足an=4logzbn+3,nGN*.

则:4n-l=4log2bn+3,

13

所以：bn=2kl,

(II)由(I)得：设Cn=anbn=(4n-l)2nT,

1

贝ij:Tn=Ci+c2+...+Cn=3*2°+7*2+...+(4nl)2nl①

12

2Tn=3»2+7»2+-+(4n-l)2n②

1nn

①一②得:-Tn=4(2°+2+--+21).(4n」)2-l,

整理得：〃=(如-5)2%5

19.【答案】

,1

(1)4=5

71

(2)5

【解析】

....PAl^ABCDABADUR^ABCDPALABPA工AD

(1)因m为底面，，平面，所以，

由题意可知,4B,AD",两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系“一工"，

14(0,0,0)5(2,0,0)C(2,2,0)D(0,4,0)P(0,0,2)£(0,2,1)

所以％=(2,2,0),亚=(0,2,1),旃=(—2,0,2),PC=(2,2,-2)1

则而=4左=(2九2九—24所以而=而+而=(24-2,24,2—24)

设平面NCE的一个法向量为加=(x/，z).

[AC-m=0j2x+2y=0,

由AE-m=0^:2y+z=0,不妨令》=1，得〃z=(,

14

___11

因为阴|平面ZCE，所以而石=22-2-24+4-42=0，解得♦

(2)

由（1）知，^=（2A,2A,-2Z）/E=（0,2,l）,平面/CE的一个法向量为

_______(||3

AF=AP+PF=[2^2Z,2-2Z)=

加=(1,-1,2),所以

设平面NEF的一个法向量为〃=（/，为*o）

2KL+Z()=0,

AE-n-0,

由，得g/+g%+|zo=°•令

AF-n-0,%1'=(5,1,一2)'

/----\m-n

所以…=丽=°.所以

_,所以二面角的大小为王.

mLnC-AE-F2

20【答案】

3-1

(1)82

6x-3y—5=0

(2)"

2a=4&,

【解析】（1）由题意可得£_L_i解方程组可求出，从而可求出椭圆方程，

+

~2落，a,h2

15

(2)①当直线的斜率存在时，设其方程为丁=履+'/(XQ』，,将直线方

1_2左+1

程代入椭圆方程中消去V,利用根与系数的关系，然后由、=-2列方程可求出'=—一F

,2k+1

v=kx---------

则直线的方程为.3，从而可得其过定点，②当直线N3的斜率不存在时，设

4(Xo，%),则8(%,一%)，由勺丸=-2可求出46两点的坐标，从而可求出直线15过的

定点，进而可求出直线方程

【详解】

'2a=472,

(1)由题意，知巨」一1解得!”2后，

T"，廿=2

二+J

所以椭圆C的标准方程为了十三一1.

(2)①当直线,5的斜率存在时，设其方程为卜=履+’，出花,必)，以々，％).

x2+4y2=8,

联立［y=kx+t,得(4%2+1)/+8必+4/2-8=0.

Skt2t

玉乂+外=―，

由韦达定理，得'所以,

4〃一8t2-Sk2

%”时，

因为

22

,,必—ly2-i夕必一（乂+%）+1t-2t-4k+l（/—I）?—4左2t-\-2k

•K、—----•----=----------------=----------------=-----------~----------

玉一2工2—2匹工2—2（项+/）+44广+16%/+16公-44（，+2后）~—44（/+2左+1）

16

1_2k+\

2,所以3f+2左+1=0,即‘一—一

2左+1

所以直线18的方程为了=—一厂，即（3X一2）左一（3歹+1）=0,

2

X--

3

由j3x—2=0,得'1

‘3y+l=0y--

3

故直线ZB

②当直线的斜率不存在时，设'（"。'为），则用/，一为），

kk=Azl_坊_1_IT_%+2,12

22

所以hx0-2x0-2（%0-2）4（x0—2）2,解得/=§，

所以此时直线N8也过点.因为点“（5'-3）在椭圆°的内部，

所以当直线''垂直于""时，坐标原点。到直线''的距离最大，

此时直线,8的方程为6、一3y一5二0.

21.【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（一8,2）u（-2,+8）,

.2

4-ax+a-2工+ax+a

且f'（x）=ex［（x+2）2+Fr】=ex・6+2）2,

令x2+ax+a=0,则a=a2-4a,

①当0waw4时,△£（）,x2+ax+a>0,

即f'（x）N0且不恒为零，故f（x）的单调递增区间为（.8,.2）和（.2,+8）,

17

-ava2-4a-a+Va2-4a

2

②当a>4时，△>0,方程x+ax+a=0的两根为x】=2.x2=2

4-a7a?_4a4-a+Ja2-4a

由于Xr(2)=2<0,x2-(-2)=2>0，

(或令(p(x)=x2+ax+a,(p(-2)=4-a<0)

故Xi<2<X2,

因此当XG(一oo,Xi)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

当x£(Xi,一2)时，F(x)<0,f(x)单调递减，

当x£(2,X2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，

当x£(X2,+8)时，F(x)>0,f(x)单调递增，

综上，当0<a<4时，f(x)的单调递增区间为(q,一2)和(2,+8)；

-ava2-4ava2-4a

当a>4时，f(x)在(e,2)单调递增，在(2，2)单调递减，

-a+Va2-4a~a+Va2-4a

在(2,2)单调递减，在(2，+8)单调递增.

(x-2)e*+b(x+2)皿—肉—气)

(2)由g'(x)=3=3，

XX

x~2

设k(x)=^2ex+b(x>0),

x-2

由(1)知，a=0时，f(x)=:产乂在(0,+8)单调递增，

故k(x)在区间(0,+8)单调递增，

由于k(2)=b>0,k(0)=-l+b<0，故在(0,2］上存在唯一x0,

x

使k(Xo)=0,一b=x0+2eo,

又当x£(O,Xo)时，k(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减，

当xG(Xo,+8)时，k(x)>0,即g'(x)>0,g(x)单调递增，

18

x。J。-2X()

x

o,,8-----^-e(,xn+l；

故x£(0,+8)时，h(b)=g(Xo)=eb'0)=而2eX°

22

x0xox0+2

,x0G(0,2],

x

eeX(x+2)-RXR"(X+1)

又设rn(x)=x+2>x£(。，2],故m(x)=(乂+2)2二(x+2)?>°，

e2

所以m（x）在（0,2]上单调递增，故m（x）wm（2）=4,

2

e

即h（b）的最大值为工.

22,【答案】

'x=Pcos8