河北省秦皇岛市禹铭艺术中学2023-2024学年高三数学文模拟试卷含解析

河北省秦皇岛市禹铭艺术中学2023年高三数学文模拟

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当

[0,1]时，f(x)=log2(x+1),则f(31)=()

A.0B.1C.-1D.2

参考答案：

C

【考点】函数的值.

【分析】由已知推导出f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(-x)=f(x),

当x£[0,1]时，f(x)=log2(x+1),由此能求出f(31).

【解答】解：・・,定义在R上的奇函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-

x),

/.f(x+4)=-f(x+2)=-f(-x)=f(x),

•当x£[0,1]时,f(x)=log2(x+1),

：.f(31)=f(32-1)=f(-1)f(1)=-log22=-1.

故选：C.

2.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何

体的体积是

172014

A.8B.3C.3D.3

参考答案：

B

3.已知向量）=3.-2）,向量；=5.5）,^allb,那么x的值等于（）.

_5

A.10B.5C.2D.-10

参考答案：

D

4.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且

只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A.60B.48C.42D.36

参考答案：

B

解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,（A共有0；封一'•'种不同排

法），剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之

间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此

时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6X2=12种排法（A左B右和A

右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12X4=48

种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A,（A共有

用=6种不同排法），剩下一名女生记作B,两名男生分别记作甲、乙；为使

男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6名田=24种排法；

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排

法，此时共有6年=12种排法

第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一

种排法。

此时共有6毛=12种排法

三类之和为24+12+12=48种-

5.右图给出了红豆生长时间，（月）与枝数尸（枝）的散点图：那么“红豆生南国,

春来发几枝.”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？

A.指数函数：2'二『

B.对数函数：一.2,

c.幕函数：y■户

D.二次函数：

参考答案：

A

略

6.设全集'十A.八处=2七呐则（q&ns=

（）

A、卜卜<°}&

（x|l<x工2）D、（布>2}

参考答案：

D

7.命题“存在实数X,使X>1”的否定是

(A)对任意实数「都有1>1(B)不存在实数X,使XM1

(C)对任意实数,X,都有3SI(D)存在实数K,使XW1

【命题立意】本题考查存在命题的否定。

参考答案：

C

“存在”对“任意”，“X>[”对“X01”。

8.下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为

()

I\\LA

iiilB・9■

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

D

/(x)-SinX

9.函数(1+2)的图象可能是

(A)(B)(C)(D)

参考答案:

A

略

10.已知函数，3）=向«状+6+00＜。11+。），其中目〉。，“1＜亍，/（目是奇函数,

LH

直线，=J5与函数/（工）的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为亍，则（）

JT3"

A.JI町在4上单调递减B/㈤在上单调递

减

、(0-)（2—）

cJ(D在.4上单调递增D./（工）在父’8上单调递增

参考答案：

B

函数、1「"\•U：C0538),其中三，：皿是奇函数，故

购=0=>«叫.CM0=展出+2=d

y一v4/

nxx

o♦—kn.okx——

444Kx)sin((ooc*CUBCCOK*0）[Kinm

XX

根据直线y仙与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为三得到周期为、

产3了u

故得到w=4,故函数表达式为f（x）4Am4x,单调减区间为'「''—故得在

x3it

3（上单调递减.

故答案为：B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

1L已知向量片，b,若i在征方向上的投影为3,同=2,则£5

参考答案:

6

12.（几何证明选做题）如图（3）,而是圆。的直径，延长地至0,

使旌=2g，且比'=2,CD是圆。的切线，切点为。，连接用＞,

则CD-________

参考答案:

71

23、6

略

13.已知正三棱锥P-A8C的侧面是直角三角形，尸-ABC的顶点都在球。的球面上，正三棱

锥P-ABC的体积为36,则球。的表面积为.

参考答案:

10871

【分析】

先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题

转化为正方体的外接球问题.

【详解】.正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,

此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,

设球O的半径为R,

2y!3R

则正方体的边长为3,

•.•正三棱锥P-ABC的体积为36,

1112版2百R2版

-PB---——----x----=36

:.V=3；'；3

.•.球O的表面积为S=47tR2=108JT

故答案为：108H.

14,计算18-logj2=

参考答案：

2

1g

logj18-logj2=logj—=logj9=2

15.某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司

的距离d(单位：千米)。若样本数据分组电2M24(461(6.叫鸭12],

由数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过

4千米的人数为—人。

16.设向量**」)，石=("),则卜

参考答案：

5

【分析】

由已知利用向量垂直的坐标表示得到关于x的方程解之，代入计算所求即可.

【详解】由已知4=(x,1),(-1,2),。?6=0,得到-尤+2=0,解得尤=2；

..”=(4,一3),.下斗

故答案为：5.

【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算及向量模的运算，属于基础题.

17.在中，若次AC=2,AB5C=-7,则卜4=.

参考答案：

3

因为AB-AC—2,ABBC——7,所以AB-BC—ABAC——7—2=—9,即

AB(BC-AC)=-9y因为荏=创=-43‘，所以-6=-9,所以

懑2=|珂=9.河=3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

7V1

已知椭圆氏丁尸―与谢正半轴交于点"(洞,离心率为5.直

线I经过点％〃°«＜可和点。(2).且与椭图E交于A、8两点(点A在第二象

限).

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若»=胸，当。竽时，求Z的取值范围.

参考答案：

⑴⑵叩的

【分析】

（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P,Q两点可得直线1的方程，与椭圆方

程联立消去x得到关于y的方程，且4>0,由"=加可得

通过已知将其化为只含有Z和t的等式，再根据t的范围可得力的范围。

【详解】解析：1.由题意，.一2且小-旧，所以a=2,

所以椭圆E的标准方程为43.

2.因为直线1经过点和点°（°」），所以直线1的斜率为。，设

I，，

/：¥=-X+1-♦—=1

<，将其代入椭圆方程43中，

消去X得（"+4）/-*-3f7-12=。，

当d>o时，设/（%小）、

4P_3^-12

则''后-*4……①，Rl3P+4……②

因为Q=屈，所以（1一%・一耳）="弓一'5），所以同=-4外……③

12A

N河-4

联立①②③，消去火、%，整理得（1一4）

产竽时,哥（河，3）,解可寻中学

由其且%«,

AE

故2>1,所以

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的

知识。

19.化简计算下列各式的值

sin(，2+小)*cos一a)sin(兀-Cl)*cos(-^-+CL)

(1)cos(兀+a)+sin(兀+a)；

2

(1-logg3)+log62*log618

(2)log64

参考答案：

【考点】三角函数的化简求值；对数的运算性质.

【分析】(1)利用诱导公式化简函数的表达式即可.

(2)利用对数运算法则化简求解即可.

sin(彳+a)•,cos-a)sin(兀-Cl)*cos(-^-+a)

【解答】解：(1)cos(兀+a)+sin(兀+a)

cosasina_sinasinCL

二~cosCI,一sina

二-sina+sina

=0；

2p

(1-logg3)+log62logg18

(2)log64

1"6%+1。862(2-1。862)

=21og62

=1.

20.（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD中，AB1AD,AD//BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E、F

分别在BC、AD上，EF〃AB.现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD，平

面EFDC,设AD中点为P.

(1)当£为8€：中点时，求证：CP〃平面ABEF

(II)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个

最大值。

参考答案：

19.(本小题满分12分)X

繇：(1)取”的中点Q,连QE、QP,£您沁〈

则QP哈DF,又DF=4,EC=2,且OF/EC,

所以QP』EC,即四边形PQEC为平行四边形，..........3分E一率/

所以CP〃EQ,又EQU平面ABEF,CPfZ平面MEF,

故CP〃平面ABEF.......................................................................................................5分

(II)因为平面ABEF，平面EFDC,平面ABEFCl平面EFDC=EF,

又4FJ_EF,

所以AF_L平面EFDC...................................................................................................7分

由已知8E，所以XF=x(O<x«4),FD=6-x.

鼻故匕-cw=+•y•2•(6-x)庖…:1.............................................................9分

=y(6x-xJ)

=y[-(*-3)1+9]

="y(«-3)2+3...................................................................................................11分

所以，当x=3时，匕-sr有最大值，霰大值为3.....................................................12分

略

21.(12分)点F为(1,0),M点在x轴上，P点在y轴上，且虹V二2小尸，MPLPF

(1)当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程;

且|而|、|丽:11、|丽|成

(2)设A(x”yj、B(xz,y?)、D(x3,ys)是曲线C上的三点,

差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时，求B点的坐标.

参考答案：

ff

(l),--MN=2MP,故P为NN中点.P

又...PM_LPF,P在y轴上，F为(1,0),故M在x轴的负半轴上，。

设N(x,y)>则M(—x,O),p]0>(x>0),P

1•_2/

.'.PM=]—x,-pPF=!1,一9，X'.'PM±PF,.'.PM•PF=-x+^=0.P

2)4

「.y2=4x(x>0)是轨迹C的方程.8

(2)抛物线C的准线方程是x=-L8

由抛物线定义知|AF|=xl+l,|BF|=X2+1,|DF|=X3+1,，

•••|AF|、|BF|、|DF|成等差数列，，

.'.xl+l+x3+l=2(x2+l)9-•・xl+x3=2x2>

又yZ=4xl,y2=4x2,y3=4x3,故y2—y3=(yl+y3)(yl—y3)=4(xl—x3)9d

yl-y34•'-AD的中垂线为y=-yl^-y3(x—3)

.'.kAD=

xl-x3yl+y3'

AD的中点I中，空史在其中垂线上，。

.yl+y3_