辽宁省铁岭市昌图县2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期末数学试卷

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是

/正面

A.mB.（?c.m⑪

2.（3分）如果2a=56（a,6均不为0）,那么下列比例式中正确的是（）

.A\.a——一2I）.一2-「V.a一--5八17.a一-b

b55bb225

3.（3分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球

试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，不断重复上述过程，对试验结果进

行统计后

摸球的次数w10020030050080010001500

摸到白球的次数相70128171302481599903

摸到白球的频率必0.700.640.570.6040.6010.5990.602

n

则下列结论中正确的是（）

A.w越大，摸到白球的概率越接近0.7

B.当“=2000时，摸到白球的次数根=1200

C.当〃很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近

D.这个盒子中约有28个白球

4.（3分）在四边形ABCD中，AC、80交于点O,在下列条件中（）

A.AO=CO,BO=DO,ZBA£>=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=NBCD,ZABC+ZBC£>=180°,ACLBD

D.ZBAD=ZABC=90a,AC=BD

5.（3分）如图，AB//CD//EF,AF与8E相交于点G（点G在CD,EF之间），CG=2,

GF=4,则理()

DE

D.3

2534

6.(3分)用配方法解方程/-4x-1=0时，配方后正确的是()

A.(尤+2)2=3B.(x+2)2=17C.(%-2)2=5D.(%-2)2=17

7.（3分）如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，则菱形A8CD的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

8.（3分）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0,0）,A（8,0）,B

（8,6）,C（0,6）.已知矩形O421C1O与矩形。42c位似，位似中心是原点。，且矩

形OA1B1G的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点Bi的坐标为（）

A.（8,6）B.（8,6）或（-8,-6）

C.（16,12）D.（16,12）或（-16,-12）

9.（3分）已知反比例函数＞=-2，下列说法中正确的是（）

x

A.该函数的图象分布在第一、三象限

B.点（2,3）在该函数图象上

C.y随x的增大而增大

D.该图象关于原点成中心对称

10.（3分）反比例函数y=-K与一次函数y=fcv-3在同一坐标系中的大致图象可能是（

二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）方程尤（x-1）=尤的解为.

12.（3分）一天下午，小红先参加了校运动会女子200机比赛，然后又参加了女子400机比

赛，如图所示，则小红参加200根比赛的照片是.（填“图1”或“图2”）

图1图2

13.（3分）如图，过x轴上任意点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y=3（x>0）A

xx

（x>0）的图象交于A点和2点，若C为y轴任意一点.连接

14.（3分）已知点尸是线段AB的黄金分割点，若AB=6

15.(3分)正方形ABC。中，AB=6,点E在直线AD上，且DE」AE，线段3E的垂直平

3

分线交CD边于点F,则DF的长为.

三.解答题(共8小题，共75分)

16.(8分)解下列方程：

(1)2/-4x-1=0；

(2)(x-4)2=2(x-4).

17.(8分)己知关于x的一元二次方程/-2(m-1)x+/W2=o.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求相的取值范围；

(2)若XI,尤2是方程的两个不相等的实数根，且-1_」-=一2,求相的值.

X1x2

18.(10分)如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何

图形

(1)小红从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率

为_____________________

(2)从这四张纸牌中随机摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或表格法

19.(8分)如图，在△A8C中，。是8C的中点，过点A作AE〃BC交CE的延长线于点E

(1)求证：FA=BD；

(2)连接8尸，若A8=AC,求证：四边形AOBE是矩形.

20.(9分)如图，已知A(〃，-2),B(A,4)是一次函数的图象和反比例函数y

x

直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的关系式；

(2)连接A。，求△AOC的面积；

（3）不等式依+b〈旦的解集是

21.（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔

经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4

月份到6月份销售量的月增长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础

上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品

牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

22.(10分)如图，DABCD中，过点8作于E,且

(1)求证：AABFsAEAD；

(2)若AB=3,AD=2,ZBAE^30°

23.（12分）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°

（1）如图1,将线段AD绕着点A顺时针旋转90。，得到线段AE,判断线段班，BD,

并证明；

（2）在图2中，在线段8。取一点凡使得。尸=OC,连接AG.

①补全图形；

②判断线段AG与A。的数量关系，并证明.

图1图2

2023-2024学年辽宁省铁岭市昌图县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是

（）

/正面

.m.m⑪

AGc

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

【解答】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚线，

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到

的线用虚线表示.

2.（3分）如果2a=56（a,6均不为0）,那么下列比例式中正确的是（）

Aa—2Ra一2「a一5八a一b

b55bb225

【分析】由2a=56,根据比例的性质，即可求得答案.

【解答】解：'：2a=5b,（a,

.,.旦=性或且=上或

b2542

故选：C.

【点评】此题考查了比例的性质.此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的

性质.

3.（3分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小亮做摸球

试验，他将盒子内的球搅匀后从中随机摸出一个球，不断重复上述过程，对试验结果进

行统计后

摸球的次数n10020030050080010001500

摸到白球的次数相70128171302481599903

摸到白球的频率典0.700.640.570.6040.6010.5990.602

n

则下列结论中正确的是（）

A.w越大，摸到白球的概率越接近0.7

B.当”=2000时，摸到白球的次数%=1200

C.当〃很大时，摸到白球的频率将会稳定在0.6附近

D.这个盒子中约有28个白球

【分析】利用表格信息，可知当“很大时，摸到白球的频率将会接近0.6,可以得到盒子

内白球数24,黑球数16,由此即可判断.

【解答】解：当〃很大时，摸到白球的频率将会接近0.6,黑球数16；

故A、。错误，加的值接近1200,

故选：C.

【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解大量重复试验中，

事件发生的频率约等于概率.

4.（3分）在四边形A8CD中，AC、BD交于点。，在下列条件中（）

A.AO=CO,BO=DO,ZBAD=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C.ZBAD=ZBCD,ZABC+ZBCD=180°,AC±BD

D.NBA£）=NA8C=90°,AC=BD

【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行

判断即可.

【解答］解：'：AO=CO,

四边形ABCD是平行四边形，

又：/&4。=90°,

平行四边形ABC。是矩形，故选项A不符合题意；

B、'：AB=CD,

四边形ABCD是平行四边形，

又；AC=BD,

平行四边形ABC。是矩形，故选项8不符合题意；

C、VZABC+ZBCZ)=180°,

J.AB//CD,

,：ZBAD=ZBCD,

：.ZABC+ZBAZ）=180°,

：.AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

XVACXBD,

•••平行四边形ABCL（是菱形，故选项C符合题意；

D、'：ZBAD=ZABC=90°,

J.AD//BC,

在RtAABD和RtABAC中，

[AB=BA,

lBD=AC，

.,.RtAABD^RtABAC（HL）,

：.AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形，

又：Ac=m

平行四边形ABC。是矩形，故选项。不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定以及全等三角

形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键.

5.（3分）如图，AB//CD//EF,与8E相交于点G（点G在CO,EP之间），CG=2,

EF

A.AB.2C.2D.2

2534

【分析】由AB//CD//EF,利用平行线分析线段成比例定理，可得出现=蚂，再结合

DECF

各边的长度，即可得出现的值.

DE

【解答】\-AB//CD//EF,

•BD=AC,

"DECF'

又：AC=3,CG=2,

/.CF=CG+GF=5+4=6,

•-.BD—=—4=1.

DE67

故选：A.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例”是解题的关键.

6.（3分）用配方法解方程7-4x-1=0时，配方后正确的是（）

A.（尤+2）2=3B.（x+2）2="C.（%-2）2=5D.（x-2）2=17

【分析】先把-1移到方程的右边，然后方程两边都加4,再把左边根据完全平方公式写

成完全平方的形式即可.

【解答】解：：f-4x-6=0,

•.广-6尤^1,

.'.X2-8x+4=l+3,

（x-2）2=8.

故选：C.

【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（X+相）2=〃（"20）

的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

7.（3分）如图，菱形A8CD中，E、/分别是AB、AC的中点，则菱形ABC。的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】由三角形的中位线定理可得8C=2EF=6,即可求解.

【解答】解：•••£、F分别是

：.BC=2EF=6,

:四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=8,

菱形ABC。的周长=4X6=24,

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题.

8.(3分)在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是0(0,0),A(8,0),B

(8,6),C(0,6).已知矩形OA181C1O与矩形位似，位似中心是原点。，且矩

形的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点81的坐标为()

A.(8,6)B.(8,6)或(-8,-6)

C.(16,12)D.(16,12)或(-16,-12)

【分析】根据位似图形的性质求出两个矩形的位似比，根据位似变换的性质计算，得到

答案.

【解答】解：,••矩形0481C7。与矩形OA8C位似，矩形OA1B1C3的面积等于矩形OABC

面积的4倍，

矩形OAiBsCiO与矩形0A8C的位似比为2：2,

:矩形OAiBiCsO与矩形043c位似，位似中心是原点O,6),

.•.点81的坐标为(4X2,6X8)或(8X(-2),即(16,-12),

故选：D.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是

以原点为位似中心，相似比为公那么位似图形对应点的坐标的比等于左或

9.(3分)已知反比例函数＞=-旦，下列说法中正确的是()

x

A.该函数的图象分布在第一、三象限

B.点(2,3)在该函数图象上

C.y随尤的增大而增大

D.该图象关于原点成中心对称

【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个

象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可.

【解答】解:A.：反比例函数―一旦,

X

・,•该函数的图象在第二、四象限；

B.把（2至■得：左边=3,左边W右边，

X

所以点（2,6）不在该函数的图象上；

C.•.•反比例函数>=-2，

X

・・・函数的图象在每个象限内，y随X的增大而增大；

D.反比例函数y=-2、四象限，故本选项符合题意；

x

故选：D.

【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关

键.

10.（3分）反比例函数y=-区与一次函数-3在同一坐标系中的大致图象可能是（）

【分析】分别利用k的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答

案.

【解答】解：当上>0时，一次函数>=丘-3的图象经过第一、三，反比例函数y=-K、

x

四象限，

当上<2时，一次函数3的图象经过第二、三，反比例函数y=-K、三象限，

四个选项中只有C符合,

故选：c.

【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，关键是熟练掌握两个函数图象

的性质.

二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）方程尤（x-1）=x的解为xi=O,X2=2.

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：X（X-1）=尤，

x（x-1）-%=3,

x（x-1-1）=5,

x=0,x-1-5=0,

xi:=6x2=2.

故答案为：无2=0,X2=5.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是

解此题的关键.

12.（3分）一天下午，小红先参加了校运动会女子200%比赛，然后又参加了女子400机比

赛，如图所示，则小红参加200根比赛的照片是图2.（填“图1”或“图2”）

图1图2

【分析】通过比较人的影子的长短可判断时间的先后顺序.

【解答】解：图1中的人的影子比较长，所以图1中反映的时间比图8中反映的时间要

晚，

所以小红参加200根比赛的照片为图2.

故答案为图2.

【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的

照射下形成的影子就是平行投影.

13.(3分)如图，过x轴上任意点尸作y轴的平行线，分别与反比例函数y=3(x>0)A

(x>0)的图象交于A点和8点，若C为y轴任意一点.连接A2、BC_1_.

【分析】设出点P坐标，分别表示点A、8坐标，表示AABC面积.

【解答】解：设点P坐标为(a,0)

则点A坐标为(a,―),8点坐标为(。，--)

aa

==

SAABC=SAAPC+SACPB-1-AP*0P+^BP・0P=/a吊a»—-1-

故答案为：2.

2

【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐

标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于因.

14.(3分)已知点P是线段的黄金分割点，AP>BP,若AB=69-36.

【分析】根据黄金分割的定义得到AP=痣二Lu?,再把把AB=6代入可计算出AP的长，

2

然后计算即可.

【解答】解：•••点P是线段AB的黄金分割点，

：加=m-L.AB=6X立T娓-5,

82

：.BP^AB-AP^6-(376-3)=9-3遥.

故答案为9-3遥.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段A3分成两条线段AC和BC(AOBC),且使AC

是A8和8C的比例中项(即AB：AC=AC：8C),叫做把线段A8黄金分割，点C叫做

线段的黄金分割点.其中AC=YJAB^0.618A8,并且线段AB的黄金分割点有两

2

个.

15.(3分)正方形ABC。中，AB=6,点E在直线AD上，且DE」AE，线段3E的垂直平

3

分线交C。边于点尸，则。P的长为典或21.

―16一4—

【分析】以B为原点，8c所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接BEEF,分两种情

况：①当E在延长线上时，可得E(9,6),根据线段BE的垂直平分线交C。边于

点、F,设尸(6,m),有62+〃？=(9-6)2+(6-m)2,即可解得尸(6,反)，故£＞尸=6

4

-旦=21；②当E在线段上时，同理可得。尸=毁.

4416

【解答】解：以B为原点，2c所在直线为x轴，连接BR

①当E在延长线上时，如图：

:正方形A8CD中，AB=6,

：.BC^6^AD,直线CD解析式为尤=6,

;DE=LAE,

3

：.DE=-^-AD=3,

2

•\AE=6,

：.E(9,6),

:线段BE的垂直平分线交CD边于点F,

：.BF=EF,

设F(6,m)2+m2=(7-6)2+(2-m)2,

解得根=旦，

8

：.F(6,2)，

6

,:D(6,6),

：.DF=8-3=21；

44

②当E在线段上时，如图：

,：DE=^AE,

3

.,.DE=—AD=—,

46

.'.AE'=—,

2

：.E(旦，6),

2

设/(5,n),

由可得6?+/=(6-—)2+(n-6)8

5

解得n=JL,

16

：.F(6,2),

16

,：D(6,6),

尸=8-W=里；

1616

故答案为：毁或21

【点评】本题考查正方形的性质及应用，涉及勾股定理及应用，平面直角坐标系等知识,

解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点尸的坐标.

三.解答题(共8小题，共75分)

16.(8分)解下列方程：

(1)22-4x-1=0；

(2)(x-4)2=2(x-4).

【分析】(1)根据公式法解一元二次方程，即可求解;

(2)根据因式分解法解一元二次方程，即可求解.

【解答】解：(1)2?-8x-1=0,

'.a—6,b—-4,A—b2-2ac=16+8=24,

•_-b±Yb'-Sac_4±3^

"X=2a=4

;

解得：x5=l^->x2=l^y-

(2)(x-4)3=2(x-4),

(x-3)2-2(x-4)=0,

(x-4)(x-5-2)=0,

.*.x-7=0或x-6=5,

解得xi=4,xi=6.

【点评】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及配

方法是解题的关键.

17.(8分)已知关于次的一元二次方程2(m-1)x+m2=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求相的取值范围；

(2)若XI,X2是方程的两个不相等的实数根，且=求根的值.

X1x2

【分析】(1)根据根与系数的关系求出答案即可；

(2)根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将-L」-=_2转化为关于机的方

X1x2

程求解即可.

【解答】解：(1)由题意可知△=b^-4ac=[-2(m-1)]2-8渥>0,

化简得A=[-3(m-1)]2-4m2=-8m+7>0,

解得m</；

2,

(2)由题意知X[+*2=上=8(nrD，x<x7=~=m

i-a1*a

x6x2

X4X2

m

化简得m2+m-1=2,

解得m=-l±V5,

8

•m=-7-V5

2

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解

题的关键.

18.（10分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D,其正面分别画有四个不同的几何

图形

（1）小红从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率为1

（2）首先画出树状图或列表列出可能的情况，再根据中心对称图形的概念可知，当摸出

圆和平行四边形时为中心对称图形，除以总情况数即可.

【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种旦；

2

故答案为：1；

2

共产生16种结果，每种结果出现的可能性相同，

：.p(两张都是中心对称图形)=A=1.

168

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结

果是关键，区分中心对称图形是要点.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

19.(8分)如图，在△ABC中，。是的中点，过点A作交CE的延长线于点足

(1)求证：FA=BD；

(2)连接若AB=AC,求证：四边形ADBF是矩形.

【分析】(1)证明aAE尸之△DECCAAS),由全等三角形的性质得出AF^DC,则可得

出结论；

(2)证出四边形AD2F是平行四边形，由等腰三角形的性质得出则可得出结

论.

【解答】(1)证明：歹〃3C,

ZAFE=ZDCE,ZFAE=ZCDE,

又为A。的中点，

：.AE=DE,

.,.△AEF当ADEC(A4S),

：.AF=DC,

又•.•。为BC的中点，

：.BD=CD,

：.AF^BD；

(2)证明：'：AF=BD,AF//BD,

...四边形ADBF是平行四边形，

'：AB=AC,。为BC的中点，

：.AD±BC,

：.ZADB=90°,

四边形AD股是矩形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质,

矩形的判定，证明是解题的关键.

20.（9分）如图，已知A（〃，-2）,8（1,4）是一次函数y=fcc+6的图象和反比例函数产四

x

直线A8与y轴交于点C.

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）连接A。，求△AOC的面积；

（3）不等式蚂的解集是«-2或0＜犬＜1.

【分析】（1）把8点坐标代入反比例函数解析式可求得反比例函数解析式，则可求得A

点坐标，再由A、B两点坐标可求得一次函数解析式；

（2）根据一次函数解析式可求得C点的坐标，则可求得OC的长度，且根据A点的坐标

可求得A到OC的距离，可求得△AOC的面积；

（3）根据两函数图象的交点即可求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围.

【解答】解：（1）点（1,4）在反比例函数y坦，

x

•"=8X4=4,

反比例函数解析式为y=2,

X

TA点（n,-2）在反比例函数＞=9，

x

.•.〃=-6,即A点坐标为（-2,

又・・・A、5两点在一次函数图象上，

...代入一次函数解析式产质+6可得「2k+b=-8,

[k+b=4

解得普

，一次函数解析式为y=2x+2；

（2）在y=8x+2中，令x=0可得y=3,

；.C点坐标为（0,2）,

，OC=4,

又为（-2,-2）,

.'.A到OC的距离为4,

.,.5AAOC=AX2X2=2；

2

（3）•••由一次函数与反比例函数的图象可知，当尤＜-4或0＜%＜1时反比例函数的图

象在一次函数图象的上方，

...当-5或0＜尤＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值，

即不等式尿+b＜典的解集是尤＜-8或0＜x＜1,

x

故答案为x＜-5或0＜尤＜1.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要求学生能够熟练运用待定系

数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系.

21.（10分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔

经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，且从4

月份到6月份销售量的月增长率相同.

（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；

（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础

上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品

牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x,根据该品牌头盔4月份及6月份的月

销售量，即可得出关于龙的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据月销售利润=每个头盔的利润X月销售量，即可得出关于y的一元二次方程,

解之取其正值即可求出结论.

【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为X,

依题意，得：150（1+x）2=216,

解得：X6—0.2—20%,X6—-2.2（不合题意，舍去）.

答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%.

（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，

依题意，得：（j-30）[600-10（j-40）]=10000,

整理，得：y7-130v+4000=0,

解得：yi=80（不合题意，舍去），”=50,

答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解

题的关键.

22.（10分）如图，DABCD中，过点8作BE_LCD于E,且

（1）求证：△ABFsAEAD；

（2）若AB=3,AO=2,30°

【分析】（1）由平行四边形的性质结合条件可得到/A即，ZAFB^ZEDA,据

此即可证得结论；

（2）由平行线的性质可知NABE=90°,在RtZXABE中，由含30°角直角三角形的性

质及勾股定理可求得AE,再根据相似三角形的性质即可解答.

【解答】（1）证明：,••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,AB//DC,

.•.ZC+Z£DA=180°,ZBAF=ZAED,

:NBFE=NC,ZBFE+ZAFB=180°,

：./AFB=NEDA,

：.AABF^/\EAD；

(2)解：'：AB//CD,BELCD,

：.ZABE=ZBEC=90°,

VZBAE=30°,

.1

••BEJAE，

在RtZXABE中，AE^=AB2+BE2,AB=8,

得AE?=9号AE?,

解得AE=4遥或-2遥，舍去)，

△ABFsAEAD,

•BFAB

"