中考数学一轮复习解析-图形的变换

中考数学一轮复习专题解析一图形的变换

复习目标

1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；

2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单

平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；

3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对

称性质及其相关性质.

4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；

5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、

旋转在现实生活中的应用.

考点梳理

一、平移变换

1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图

形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.

（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在

同一平面内的变换；

（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这

两个要素是图形平移的依据；

（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只

改变了位置,而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.

2.平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一

个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质:

经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等.

(1)要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；

(2)“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的

性质，又可作为平移作图的依据.

例1.如图1,两个等边厶ABD,△CBD的边长均为1,将厶ABD沿AC方向向

右平移到△ABD，的位置，得到图2,则阴影部分的周长为.

【答案】

•.•两个等边^ABD,△CBD的边长均为1,WAABD沿AC方向向右平移到

△ABTT的位置，

.'.A'MuAMMN,MO=DM=DO,ODHTE=OE,EG=EC=GC,B,G=RG=RB,,

OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；

二、轴对称变换

1.轴对称与轴对称图形

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就

说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对

称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.

轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

这个图形叫做轴对称图形.

2.轴对称变换的性质

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称

轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直

线对称.

3.轴对称作图步骤

①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点

的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

例2.如图（1）是四边形纸片ABCD,其中NB=120。，ND=50。.若将其右下角向

内这出APCR,恰使CP〃AB,RC〃AD,如图（2）所示，则NC=度.

【答案】VZCPR=-ZB=_xl20°=60°,ZCRP=-ZD=_x50°=25°,

2222

/.ZC=180°一60°-25°=95°.

三、旋转变换

1.旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O

叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.

2.旋转变换的性质

图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角

度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相

等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变

化.

3.旋转作图步骤

①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.

②分析所作图形，找出构成图形的关键点.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段，从而作出图

形中各关键点的对应点.

④按原图形连结方式顺次连结各对应点

4.中心对称与中心对称图形

中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180。，它能够与另一个图形重合，那么

就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形

中的对应点叫做关于中心对称的对称点.

中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原

来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形

5.中心对称作图步骤

①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，

得到各点的对称点.

②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.

6.图形变换与图案设计的基本步骤

①确定图案的设计主题及要求；

②分析设计图案所给定的基本图案;

③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案

的有机组合;

④对图案进行修饰，完成图案.

例3.如图1,0为正方形ABCD的中心，分别延长OA、0D到点F、E,使OF

=20A,OE=2OD,连接

EF.将厶EOF绕点0逆时针旋转a角得到△EQF[(如图2).

(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明;

(2)当a=30。时，求证：AAOE1为直角三角形.

【答案】(1)AE|=BF1,证明如下:

VO为正方形ABCD的中心，OA=OB=OD.OE=OF.

VAE^F]是厶EOF绕点O逆时针旋转a角得到，.*.OE]=OF「

,:ZAOB=ZEOF=90o,NEQA=9Oo—NF|OA=NFQB.

[OE=OF

在△EQA和△F|OB中，JzEOA=ZFOB,.•.△EQA四△FQB(SAS).

OA=OB'

:.AE]=BF「

(2)取OE1中点G,连接AG.

VZAOD=90<),a=30°,

ZEIOA=90o-a=60°.

•.•OE|=2OA,.\OA=OG,:.ZE,OA=ZAGO=ZOAG=60°.

AG=GE],.,.NGAE|=NGE]A=30。.

ZE1AO=90°.

...△AOE1为直角三角形.

综合训练

1.（2022.广东深圳第二实验学校九年级开学考试）如图，△ABC沿5c方向平

移到△OEF的位置，若BE=2cm,则平移的距离为（）

【答案】B

【分析】根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果.

【详解】解：根据图形可得：线段BE的长度即是平移的距离，

二平移的距离为2cm,

故选:B.

2.（2022.武汉第三寄宿中学九年级月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中

心对称图形的是（）

A.B.

c.D.□

【答案】B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：儿是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故木选项符合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.是轴对称图形，不是屮心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

3.（2022.佛山市华英学校九年级）下面图形是用数学家名字命名的，其中是中

心对称图形但不是轴对称图形的是（）

笛卡尔心形线

D.斐波那契螺

旋线

【答案】A

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法

求解.

【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意.故选：A.

4.（2022•全国）如图，在△ABC中，ZACB=90°>AABC=30°,AB=2-将

绕直角顶点C逆时针旋转60。得则点8转过的路径长为（）

【答案】B

【分析】先在A4BC中利用ZABC的余弦计算出8c=2cos3（T=/，再根据旋转的

性质得4CB，=60。，然后根据弧长公式计算点B转过的路径长.

【详解】解：在AABC中，•.•ZAC8=90。，ZABC=30°,

BC

cosZ.ABC

AB

BC=2cos30°=2x—=>/3

2

•/AABC绕直角顶点C逆时针旋转60。得厶A'B'C，

，弧帅,的长=6。•兀6=6叫故选：B.

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5.（2020.武汉第三寄宿中学九年级月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是

【答案】C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：C.

6.（2022.宜兴市实验中学九年级）如图，在正方形ABC。中，AB=6,点、H为BC

中点，点E绕着点C旋转，且CE=4,在OC的右侧作正方形。EFG,则线段7的

【答案】A

【分析】如图，利用正方形的性质，证明凡从而得至l」PE=4a，

故点尸在以P为圆心，43为半径的圆上，根据圆的基本性质，得到当点尸在

P"上时，取得最小值.

【详解】如图，延长到点P,使得PC=8C=6,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.BC=CD=6,NBCD=NPCD=90°,

.••△PCO是等腰直角三角形，

/.ZC£>P=45°,££="；

DP

•••四边形OEFG是正方形，

：.DE=EF,ZDEF=90°,

.•.△OEE是等腰直角三角形，

AZEDF=45°,—=72；

DF

/.££=££,ZCDE=ZPDF,

DFDP

：.△DECS/XDFP,

.DEDCCEr-

••-=--=--=<2,

DFDPPF

•：CE=4,

:・PF=4及,

BHCP

故点尸在以尸为圆心，4竝为半径的圆上，

根据圆的基本性质，得到当点b在尸，上时，尸”取得最小值,

是BC的中点，BC=6,

：.CH=3,

：.PH=9,

:・FH=9-4竝,故选人

7.（2022.珠海市斗门区实验中学）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个

顶点都在格点上.

（1）画出△A8C关于原点。对称的△A/iG；

（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90。得到的△A2BC2.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出4、4、£的坐标，然后

描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、。2即可.

【详解】解：（1）如图，为所作；

（2）如图，△A28c2为所作.

8.（2022.哈尔滨风华中学九年级开学考试）如图，方格中每个小正方形的边长

为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后

得到△MNP（点A的对应点是点B的对应点是点N,点C的对应点是点P）,

请画出△MNP；

（2）在方格纸中画出以。E为斜边的等腰直角三角形OEF（点/在小正方形的

顶点上）.连接叮，请直接写出线段小的长.

【答案】（1）见详解；（2）节,画图见详解

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点即可；

（2）先把。E绕E点逆时针旋转90。得到EQ,则△£）口为等腰直角三角形，然

后取。。的中点凡则△OEE满足条件，最后利用勾股定理计算尸上

【详解】解：（1）如图，△MNP为所作;

（2）如图，△£>£/为所作;

FP="2+12=-75•

9.（2