方法模型：分类讨论与方程思想在三角形中的应用

三角形RAAR四步解题法小米，帮妈妈把三个橙子拿过来，放在这两个盘子里

“分类讨论”分类讨论解答读题

分析反思读题

分析解答反思角度计算问题分类讨论画出对应图形例1.已知三角形ABC是等腰三角形，它的一个内角度数为40°，你能求出∠C外角的度数吗？40°角是顶角还是底角呢？顶角为40°底角为40°C∠C的度数为40°或70°∠C的度数为100°或40°∠C的度数为40°或70°或100°∠C外角的度数为140°或110°或80°解：当等腰三角形顶角为40°时，则底角为70°∴∠C为40°或70°∴∠C的外角为140°或110°.当等腰三角形底角为40°时，则顶角为100°∴∠C为40°或100°∴∠C的外角为140°或80°.∴综上所述：∠C外角的度数为80°或140°或110°条件不明晰分类讨论找出全部解解答读题

分析反思读题

分析解答反思角度计算三角形的分类画图例2.已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD、CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？分类讨论∠BHC=∠DHE=360°-90°-90°-45°=135°这里不分顶角与底角，无论点A在哪都没有影响虽然没有顶角底角之分，但是这个三角形只能是锐角三角形吗？∠BHC=∠A=45°解：当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.

因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，

所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.

所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.

（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.

因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，

所以∠ABD＝90°－45°＝45°.

所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.

由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.根据图形形状不同分类讨论多解问题三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形

“方程思想”

方程思想解答读题

分析反思读题

分析解答反思三角形形状判定角度计算方程思想三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形三个锐角一个直角，两个锐角一个钝角，两个锐角(1)解：设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°解得：x＝62∴∠A=92°，∠B=62°，∠C=26°，∴三角形ABC是钝角三角形.方程思想解答读题

分析反思读题

分析解答反思三角形形状判定角度计算方程思想

(2)解：设∠C＝x°，∠B＝2x°，∠A＝6x°则x°＋2x°＋6x°＝180°解得x＝20∴∠C＝20°,∠B＝40°,∠A＝120°,所以三角形ABC是钝角三角形.已知条件不能直接求出结果各角之间有相互关系+利用方程思想，列方程求解解答读题

分析反思读题

分析解答反思边长求解分类讨论方程思想方程思想例2.在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长.AB+AD=12cm

BC+CD=15cmAB+AD=15cm

BC+CD=12cmxx2x2x+x=12x=4BC+4=15BC=11cmAD=CD=4cm，AB=AC=8cmAB+AD=15cm

BC+CD=12cm2x+x=15x=58+8>11AD=CD=5cm，AB=AC=10cmBC+5=12BC=7cm10+7>10解：设AD=CD=x，则AB=2x①当AB+AD=12cm时，则BC+CD=15cm2x+x=12，解得x=4∴AD=CD=8cm，∴BC=15-4=11cm此时AB+AC>BC∴三角形三边长为8cm，8cm，11cm②当AB+AD=15cm时，则BC+CD=12cm2x+x=15，解得x=5∴AD=CD=10cm，∴BC=12-5=7cm此时AB+AC>BC∴三角形三边长为10cm，10cm，7cm综上所述：三角形的三边长分别为8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm解答读题

分析反思读题

分析解答反思边长求解分类讨论方程思想方程思想例2.在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15c