专题8.3 双曲线综合【九大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题8.3双曲线综合【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1双曲线的定义及应用】 3【题型2双曲线的标准方程的求解】 5【题型3双曲线中的焦点三角形问题】 10【题型4求双曲线的离心率或其取值范围】 12【题型5双曲线中的最值问题】 16【题型6双曲线的弦长、焦点弦问题】 18【题型7双曲线的“中点弦”问题】 24【题型8双曲线中三角形（四边形）的面积问题】 27【题型9双曲线中的定点、定值、定直线问题】 341、双曲线综合圆锥曲线是高考的热点内容，双曲线是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点.从近几年的高考情况来看，主要考查双曲线的定义、方程、性质以及直线与双曲线的位置关系等知识，题型比较丰富，选择、填空、解答题都可能出现，选择、填空题中难度中等，解答题中难度偏大，需要学会灵活求解.【知识点1双曲线方程的求解方法】1．双曲线方程的求解(1)用定义法求双曲线的标准方程

根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.(2)用待定系数法求双曲线的标准方程

用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.(3)与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为.【知识点2双曲线的焦点三角形的相关结论】1．双曲线的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用结论

若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为.【知识点3双曲线的离心率或其取值范围的解题策略】1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.【知识点4双曲线中的最值问题的解题策略】1．双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【知识点5双曲线的弦长与“中点弦问题”】1．弦长问题①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于.2．“中点弦问题”“设而不求”法解决中点弦问题：①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.【题型1双曲线的定义及应用】【例1】（2023·四川达州·二模）设F1，F2是双曲线C：x24−y23=1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则F1P+FA．5 B．6 C．8 D．12【解题思路】由双曲线的定义知F1P−PF2=2a=4【解答过程】双曲线C：x24−y2由双曲线的定义知：F1P−PQ=所以F=F故选：C.【变式1-1】（2023·江西吉安·一模）已知A为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点,F1为C的右焦点,过点A的直线与圆O:A．2asinθ B．sinθ4a C．【解题思路】画出图像，根据条件解两个三角形即可.【解答过程】设切点为点P,在Rt△APF1中,sin∠BA在Rt△PBF1中,sin(π−θ)=故选:A.【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）设双曲线C：x2−y224=1的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据双曲线的方程求出a,b,c的值，由双曲线的定义可得AF1+【解答过程】由双曲线C：x2a2=1，b2所以a=1，c=5，由双曲线的定义可得AF1−所以AF由双曲线的性质可知：AF2≥c−a=4，令A所以AF1+所以当t=4时，取得最小值4+44+2=7，此时点A即AF1+故选：C.【变式1-3】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线x29−y24=1，F1,F2A．10 B．15 C．25 D．【解题思路】先由题意得出a，b，c，PF1−PF2，利用余弦定理计算出【解答过程】

设点P坐标为xp由题意可知a2=9，b2则a=3，b=2，c=13，P在△F1P即−35=因为cos∠F1因为S△所以12×5×4又因为点P在双曲线x29−则PO=故选：A.【题型2双曲线的标准方程的求解】【例2】（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),O为坐标原点，F1A．y24−C．y23−【解题思路】根据双曲线的定义及勾股定理得出P−abc【解答过程】设F1为双曲线的下焦点，F如图所示，过点P作PH⊥F1F

因为PF1=3因为PO=b,所以PF22故12OP⋅因为HO|2+HP|将P−abc即b2c2b4解得b2a2=2或故选：B.【变式2-1】（2023·四川雅安·一模）已知F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A．x29−C．x26−【解题思路】先根据双曲线的定义求出F2A,F1A，在△AF【解答过程】因为F1A=2又因为点A在C上，所以F1即2F2A在△AF1F所以sin∠A又0°<∠AF2F1<180°则S△AF1则F1F2所以b2所以C的方程为x2故选：B.【变式2-2】（2023·四川乐山·三模）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线H：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F1作圆O：x2+y2=b2的一条切线FA．x22−C．x2−y【解题思路】由双曲线定义，△OMT的面积，直角△OTF1中的锐角三角函数和△F1MF2【解答过程】由圆O的方程x2+y又∵OT⊥F1T，∴在直角△OT且sin∠T在△OMT中，OT⊥MT，△OMT的面积S△OMT∴MT=在△F1M由正弦定理，F1∴MF∴由双曲线定义，MF又∵F1T=a，MT∴5b2−2a=a−2∵∠F1TO为直角，∴易知∠F1在△F1M∴4c∴4a2+4∴b=a.又∵3a=5b2+2b∴双曲线H的方程为：x2故选：D.【变式2-3】（2023·辽宁·模拟预测）设O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，过F1作圆O：x2+y2=b2的一条切线A．x22−C．x2−y【解题思路】由双曲线定义，△OPT的面积，直角△OTF1中的锐角三角函数和△F1PF2中的正弦定理、余弦定理建立【解答过程】

由圆O的方程x2+y又OT⊥F1T，在直角△OT且sin∠T在△OPT中OT⊥PT，则S△OPT=OT在△F1PF由正弦定理，F1F2∴由双曲线定义，PF1=PF2−2a=∴5b2−2a=a−1∵∠F1TO为直角，易知∠F1在△F1PF∴4c∴4a2+4∴b=a.又3a=5b2+1b∴双曲线C的方程：x2故选：A.【题型3双曲线中的焦点三角形问题】【例3】（2023·广西南宁·一模）设F1、F2是双曲线C:x28−y210=1的左、右两个焦点，A．5 B．8 C．10 D．12【解题思路】由题意可知P在以F1F2为直径的圆上，由双曲线的定义与三角形面积公式可求得S【解答过程】由题可知，F1−32因为OP=所以|OP|=1所以点P在以F1即△F1F故PF12又||PF所以32=||PF解得PF所以S△则△PF故选：A.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知点A−2,0，A′2,0，动点P满足4kAP⋅kA′P=1，圆E：x2+y2=5与点A．5+6 C．5+26 【解题思路】根据题意先求出点P的轨迹方程，再画出图像，进而利用双曲线的定义和圆的性质得到△MBC的周长.【解答过程】设Px,y，根据4kAP⋅kA′P=1所以由4kAP⋅kA′P=1得第二步：设MC=d，由题意不妨令B−5,0，C5,0，则不妨设M在第一象限，MC=d，则MB=4+d，根据圆的性质可知所以4+d2+d故MC+MB=4+2d=26,故选：D.【变式3-2】（2023·四川·一模）已知双曲线E:x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，A2,3是E上一点，直线AF【解题思路】根据双曲线的定义，|BF2|−BF1=2，AF1−|AF2|=2【解答过程】由题意，点A2,3在双曲线E的右支上，点B在双曲线E根据双曲线的定义，|BF2|−从而|BF2|=2+BF1，又|AB|=AF1−B所以△ABF2的周长故答案为：10．【变式3-3】（2023·广东韶关·一模）已知双曲线C:x23−y2=1的左、右焦点分别为F1,F2，以F1F2【解题思路】设MF2=n，MF1【解答过程】设MF2=n由M在以F1F2故MF12由双曲线C:x23即m2又因为m−n=23，则m可得mn=2,(m+n)则p2所以p2故答案为：40.【题型4求双曲线的离心率或其取值范围】【例4】（2023·新疆·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、A．3 B．2 C．5 D．6【解题思路】由题意结合勾股定理的逆定理可得∠OAF1=90°，结合双曲线的对称性可得2∠OF1【解答过程】由F1B=2b，F则有F1A=b、OA=a、故∠OAF1=90°，又F则∠OF1A=∠OBA∠AOF1=90°−∠O即∠OF1A=30°即ba=tan故选：B.【变式4-1】（2023·陕西安康·模拟预测）已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上除顶点外的一点，PF1=3A．72,2 B．72,3 C．【解题思路】设出PF2=m(m>0),PF1=3m,∠F1【解答过程】

设PF2=m(m>0),则F1所以C的离心率e=ca=所以cosθ∈−1,12，所以故选：A.【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，过A．273 B．233 C．【解题思路】求出直线与渐近线交点，利用AF2=2【解答过程】联立y=33x−cy=b所以AFAF由AF2=2即b=2a2+又因为c2=a所以双曲线的离心率e=c故选：C．【变式4-3】（2023·湖南·一模）如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与CA．102 B．253 C．30【解题思路】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.【解答过程】设AB=x，内切圆圆心为I，内切圆在BF2则BU=由BF1=a故四边形IUF得AF2⊥B故x2=9a于是cos∠F1由余弦定理可得F1从而4c2=故选：D.【题型5双曲线中的最值问题】【例5】（2023·青海玉树·模拟预测）已知F1，F2为双曲线C:x24−y22A．16 B．18 C．8+42 D．【解题思路】利用双曲线的定义表示PF【解答过程】因为F1，F2为双曲线C:x24所以PF所以P=PF2+16因为c=a2+b2=6故选：A.【变式5-1】（2023·河南郑州·一模）设F1，F2为双曲线C：x23−y2=1的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点A．3−2 B．3+2 C．【解题思路】结合双曲线定义数形结合判断QF1+PQ取最小值时，P,Q,F2三点共线，联立直线及双曲线方程解出【解答过程】由双曲线定义得QF故Q如图示，当P,Q,F2三点共线，即Q在M位置时，∵F22,0,P(0,2)，故联立x23−y2=1，解得点故|QF故选：A.【变式5-2】（2023·山东泰安·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，其一条渐近线方程为x+3y=0，右顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2A．3−62,1−C．3+32,1+【解题思路】根据三角形F1AB的面积结合渐近线方程可得a,b,c的值，再根据双曲线的定义转换可得当且仅当P,B,F2共线且B在P,F【解答过程】设F1−c,0,F2c,0，则由三角形F1AB的面积为1+32可得12a+c×1=1+32，即a+c=2+3，又双曲线一条渐近线方程为又由双曲线的定义可得PF1−PB=23+此时直线BF2的方程为y=13−2x−2，即y=x−2，联立x23−y2=1y=x−2可得2x2−12x+15=0故选：B.【变式5-3】（2023·河南郑州·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y=±A．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】先根据题意得双曲线的方程为x29−y2=1，再结合双曲线的定义得MF2=2a+MF【解答过程】由题意可得2a=6，即a=3，渐近线方程为y=±13x，即有ba=焦点为F1−10,0，由圆E:x2+y+62=1连接EF1，交双曲线于M，交圆于此时MN+MF则MN+MF故选：B.

【题型6双曲线的弦长、焦点弦问题】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2−y23=1，直线l经过点0,3且与双曲线C的右支交于A,B两点．点P为A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】设直线l的方程为y=kx+3，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出A,B的中点N，可得PN的直线方程，求出可得P点坐标可得OP2，再求出AB、点P到直线l的距离d，再由PA2=d【解答过程】双曲线C:x2−由已知直线l的斜率存在，且k<0，k≠−3设直线l的方程为y=kx+3y=kx+3x2−y所以x1+x则A,B的中点N3所以PN的直线方程为y−3令x=0，得y=433−所以OP2AB=23点P到直线l的距离d=−所以PA2所以OP2故选：D.【变式6-1】（2023·山东青岛·三模）已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2且倾斜角为π3的直线交C右支于A．a＝3 B．双曲线C的渐近线方程为y=±C．AB=9 D．【解题思路】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得a、b的值，进而代入计算判断各个选项即可.【解答过程】如图所示，

由题意知，F1(−c,0)，F2设直线AB方程为y=3联立y=3设A(x1,则x1+x则b所以|AB|=1+由双曲线定义知，|AF所以△F1AB所以|AB|=6−2a②，由①②得：a3又因为W为AB的中点，所以xW=x所以W(3所以|F2W|=由③④可得：a=b=1，所以双曲线方程为x2所以双曲线渐近线方程为y=±x，故A项错误、B项错误；对于C项，|AB|=6−2a=4，故C项错误；对于D项，因为a=b=1，所以c=2所以W(3所以|OW|=(故选：D.【变式6-2】（2023·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【解题思路】（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.（2）根据题意设出直线l的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进行求解即可.【解答过程】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有a2又因为离心率为2，所以有ca=2⇒ac=∴C的标准方程为：x2（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为y=±3所以直线l的斜率为±33，由于双曲线和两条直线都关于所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为33方程为y=3x2设Ax1,AB【变式6-3】（2023·陕西咸阳·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线m：y=kx−1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近线分别交于M,【解题思路】（1）由通径长、离心率列方程组求得a,b,c得双曲线方程；（2）直线m方程y=kx−1代入双曲线方程，利用直线与双曲线左右相交求得k的范围，由韦达定理得xP+xQ,xPxQ【解答过程】（1）由题可知，AB=2b2a=2e=（2）由题可知，直线m:y=kx−1与双曲线C的左、右两支分别交于P,联立x2−y2=1所以1−k2≠0且xP所以|PQ|==1+联立y=x,y=kx−1,可得xM=所以|MN|=1+k2所以|PQ||MN|其中k∈(−1,1)，则k2【题型7双曲线的“中点弦”问题】【例7】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F5,0，过点F的直线交双曲线E于AA．x25−C．x29−【解题思路】设Ax1,【解答过程】解：设Ax则x12a即0−−25−6=又c=5,c2=所以双曲线的方程为：x2故选：D.【变式7-1】（2023·河南·三模）已知直线l:4x−2y−7=0与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于点AA．233 B．5−12 C．【解题思路】首先求出AB的垂直平分线的方程，即可求出AB的中点坐标，设Ax1,y1【解答过程】因为直线l:4x−2y−7=0，所以kl由题可知AB的垂直平分线的方程为y=−1将y=−12x−3与4x−2y−7=0联立可得x=2y=1设Ax1,y1，Bx2两式作差可得x1即y1+y则双曲线C的离心率为1+b故选：D.【变式7-2】（2023·广西南宁·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2(1)求双曲线C的方程；(2)过点P1,1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB【解题思路】（1）由渐近线方程求得一个a,b关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；（2）设出交点坐标，若P1,1是线段AB的中点，利用点差法求出直线l【解答过程】（1）由题双曲线C:x2a2−y2所以−22a2解得a=1,b=2所以双曲线C的方程为：x2（2）当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x=1，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设Ax所以x1两式作差得x1即x1若P1,1是线段AB的中点，则x则x1所以直线l的斜率k=y则直线l的方程为y=2x−1将直线l与双曲线联立y=2x−1x2−Δ=所以这样的直线不存在，即点P不能是线段AB的中点.【变式7-3】（2023·广西·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程(1)求双曲线方程；(2)过点Q(1,1)能否作直线m，使m与已知双曲线交于两点P1、P2，且Q是线段P1【解题思路】（1）求出直线l的方程，根据原点到直线的距离求出a,b的关系式，再结合双曲线的渐近线方程求出a,b，即可得解；（2）假设直线m存在，设Q是线段P1P2的中点，且P1(【解答过程】（1）解：因为直线l过A(a,0)、B(0,−b)两点，所以方程为bx−ay−ab=0，因为原点到直线l的距离为63，所以ab因为双曲线C:x2a所以ba=2，解得a=1所以双曲线方程为x2（2）解：假设直线m存在，设Q是线段P1P2的中点，且P则x1+x因为P1、P则x12−所以4(x1−所以直线l的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0，联立2x−y−1=0x2−y2因为Δ=16−4×3×2=−8<0所以直线m与双曲线无交点，所以直线m不存在．【题型8双曲线中三角形（四边形）的面积问题】【例8】（2023·河北·模拟预测）已知点A3,455在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，且C的离心率为(1)求直线l的斜率；(2)若tan∠PAQ=43，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N【解题思路】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，求出椭圆方程，设直线l的方程为y=kx+m,Px1,y1,Qx（2）由直线AP，AQ的斜率之和为0，得它们的倾斜角互补，从而由已知正切值求得两直线斜率，得直线方程，从而求得M,N两点的坐标，然后可计算出三角形面积．【解答过程】（1）由题意得9a2−所以双曲线C的方程为x2由题意直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m,Px联立x25−则Δ=100k2x1由kAP得y1−4即kx整理得2kx则2k⋅−5整理得15k即5k+3因为直线l不过点A，所以455≠3k+m所以5k+3=0，所以k=−即直线l的斜率为−3（2）不妨设直线AP，AQ的倾斜角分别为α，β0<α<因为kAP所以α+β=π，则β=π−α因为tan∠PAQ=所以tan2α=即2tan2α+3tanα−2=0所以直线AP:y=1直线AQ:y=−1在直线AP:y=12x−3+4所以M0,同理得N0,所以MN=3所以△AMN的面积为12【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的渐近线方程为y=±33x，F为双曲线E(1)求E的标准方程；(2)已知直线l：x=32，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，直线AD，BC交于点H，求【解题思路】（1）首先根据题意建立关于a，b的方程，然后解方程得a，b的值，即可得双曲线的标准方程.（2）首先设直线AB的方程，并与双曲线方程联立，得到根与系数的关系，其次求直线BC的方程，得到直线BC过定点，然后由对称性得到直线AD过定点，进一步得点H的坐标，最后写出△HAB面积的表达式，并根据m的范围求三角形面积的最值.【解答过程】（1）由题意得双曲线E的渐近线方程为y=±bax=±而AB的最小值在AB垂直于x轴时取得，联立x2a2−y所以2b2a所以E的标准方程为x2（2）设Ax1,易知F2,0，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=my+2由于直线AB交双曲线的右支于A，B两点，所以kAB<−3所以−3由x=my+2x23所以Δ=16易知直线BC的斜率存在，则kBC故直线BC的方程为y−y令y=0，得x=−易得−my所以x=y所以直线BC过定点74同理由代数结构的对称性，可得直线AD过定点74所以直线AD，BC的交点H为点74易知S△HAB=1令m2+1=t，则1≤t<4，易知函数y=1t+16所以m2+1m2−3【变式8-2】（2023·浙江·二模）已知双曲线C:x2−y22=1的左、右顶点分别为A，B，过点2,0的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线AP，AQ(1)记直线AP，QB的斜率分别为k1，k2，求(2)记△APQ，△AMN的面积分别为S1，S2，当S1【解题思路】（1）设直线l的方程为x=ny+2，将其与双曲线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算k1（2）根据S1=9S2可得y1−【解答过程】（1）由题意知，A(−1,0)，B(1,0)，设直线l的方程为x=ny+2，P(x1,y1联立x2−y∴y1+y2=−8n∴ny∵直线PA的斜率k1=y1x∴k1（2）设T2,0,则S1=由于S1=9S设直线PA:y=y1x设直线QA:y=y2x所以y=3所以由y1−y当n2y2y1+3ny当n2y2y1+3n故直线方程为x=2或y=x−2或y=−x+2【变式8-3】（2023·浙江·三模）已知双曲线x23−y2=1,F(1)若P的坐标为3,2，求证：l为∠(2)过F1,F2分别作l的平行线l1,l2，其中l1交双曲线于A､B【解题思路】（1）易得点3,2处的切线方程l:x−2y=1，根据l:x−2y=1交x（2）过Px0,y0的切线l:x03x−y0⋅y=1，由【解答过程】（1）解：由题意点Px0,所以过点3,2处的切线方程为l:x−l:x−2y=1交x轴于点Q1,0即QF1QF2（2）过Px0,当y0≠0时，即P不为右顶点时，即k2（或由直线与单支有两个交点，则k>联立l设Ax1所以AB又d所以S△PAB=3k当y0=0时，即点P为右顶点时，所以S△PAB所以S△PAB⋅S【题型9双曲线中的定点、定值、定直线问题】【例9】（2023·广东汕头·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为22，C的一条渐近线斜率为−2(1)若直线l过C的右焦点，且斜率为−1，求△PMQ的面积；(2)设P，Q为双曲线C上异于点M2a,b的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k1，k2，若【解题思路】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义求出双曲线的方程联立进行求解即可；（2）设出直线方程与双曲线方程联立，根据一元二次方程根的判别式、根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可.【解答过程】（1）如图：

因为双曲线C:x2a所以2a=22，即a=2.又因为C的一条渐近线斜率为所以−ba=−22则其右焦点坐标为3,0，因为直线l过C的右焦点，且斜率为−1所以直线l的方程为：y=−x+3，设Px1联立y=−x+3x2所以由韦达定理得：x1+x所以PQ=点M2,1到直线l的距离为：d=所以S△PMQ（2）证明：如图

设直线PQ的方程为：x=my+n，设Px1,联立x=my+nx22Δ=4m所以：y1+y而M2,1，则k1=因为k1+整理的：y1所以y1所以：y1所以y1整理得：2m−2y代入韦达定理得：2m−2n所以2m−2n整理得：m2即m−nm+n−2=0，则m=n或当m=n时，直线线PQ的方程为：x=ny+n=ny+1，所以过定点0,−1当m=2−n时，直线线PQ的方程为：x=2−ny+n=n1−y即为M2,1，因为P，Q为双曲线C上异于点M故直线PQ过的定点为0,−1.【变式9-1】（2023·重庆万州·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，(1)求C的标准方程；(2)点M为C上一动点，直线MF1，MF2分别交C于不同的两点A，B（均异于点M），且MF【解题思路】（1）利用焦距求c，利用渐近线与直线y=−33x垂直求出a、b（2）设直线MF1的方程与双曲线联立，得到韦达定理，利用点M在曲线上满足x02−【解答过程】（1）因为F1F2因为双曲线C的渐近线与直线l：y=−3所以ba又c2解得a=1，b=3所以双曲线C的方程为x2（2）设Mx0,y0，则设Ax1,所以MF1=因为MF1=λF1同理可得μ=−y0y直线MF1的方程为联立双曲线的方程可得3x所以y0y1=9因为x02−y同理y0λ+μ=−y所以λ+μ是定值，定值为−10【变式9-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2(1)求C的标准方程.(2)若△ABD的顶点都在C上，点D在第四象限且纵坐标为−1，直线DA，DB分别与y轴交于点M，N，且原点O平分线段MN.试判断直线AB是否过定点.若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.【解题思路】（1）根据给定条件，求出双曲线C的渐近线方程，并将C的方程化为x22b（2）直线AB的斜率存在，设出直线AB方程，与双曲线方程联立，由直线DA,DB的方程求出点M,N的坐标，结合韦达定理及已知计算推理即得.【解答过程】（1）由双曲线C:x2a2−即有a2=2b2，c2=a2+b2设Qx0,y0则点Q到C的两条渐近线的距离之积为|x0+所以双曲线C的标准方程x2（2）直线AB过定点.依题意，D(6,−1)，设A(x显然直线AB的斜率存在，否则，由双曲线的对称性及点M,N关于原点O对称，得D必在x轴上，矛盾，设直线AB的方程为y=mx+n，由y=mx+nx24−y则1−2m2≠0，且(−4mn)2−4(1−2于是x1+x直线DA的方程为y+1=y1+1x1即M(0,−1−6y1+6x1得−1−6整理得(26即(26则n2+6当n+2=0，即n=−2时，直线AB的方程为y=mx−2，此时直线AB过定点0,−2；当n+6m+1=0时，直线AB的方程为y=m(x−6)−1，此时直线所以直线AB过定点0,−2.【变式9-3】（2023·山西·二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0经过点D4,3，直线l1、l2分别是双曲线C的渐近线，过D分别作l1和l2的平行线l′1和(1)求双曲线C的方程；(2)设A1、A2分别是双曲线C的左、右顶点，过右焦点F的直线交双曲线C于P、Q两个不同点，直线A1P与A2【解题思路】（1）求出点M、N的坐标，根据题中条件可得出关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得出双曲线（2）分析可知直线PQ不与x轴重合，设Px1,y1、Qx2,y2，直线PQ的方程为x=my+7【解答过程】（1）解：由题意得16a2−不妨设直线l1的方程为y=bax，则直线在直线l′1的方程中，令y=0可得x=4−3ab，即点∴OM由16b2−9a2=a（2）证明：由（1）得A1−2,0、A2若直线PQ与x轴重合，则P、Q为双曲线的顶点，不合乎题意，设Px1,y1、Q联立x=my+73x所以，3m2−4≠0∴y1+直线A1P的方程为y=y1x联立直线A1P与A2所以，x+2=9m因为x+2x−2=−因此，点G在定直线x=41．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5，C的一条渐近线与圆A．55 B．255 C．3【解题思路】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【解答过程】由e=5，则c解得ba所以双曲线的一条渐近线为y=2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d=|2×2−3|所以弦长|AB|=2r故选：D.2．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线x2−y29A．1,1 B．−1,2 C．1,3 D．−1,−4【解题思路】根据点差法分析可得kAB【解答过程】设Ax1,y1可得kAB因为A,B在双曲线上，则x12−所以kAB对于选项A：可得k=1,kAB=9联立方程y=9x−8x2−y2此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=−2,kAB=−联立方程y=−92x−52此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得k=3,kAB由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,kAB=联立方程y=94x−74此时Δ=1262故选：D.3．（2023·天津·高考真题）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2A．x28−C．x24−【解题思路】先由点到直线的距离公式求出b，设∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，【解答过程】如图，

因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=b所以PF所以b=2.设∠POF2=θ,则tanθ=P因为12ab=12c⋅yP所以Pa因为F1所以kP所以2a2+2所以双曲线的方程为x故选：D.4．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cosA．52 B．32 C．132【解题思路】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到2b=3a或a=2b，即可得解，注意就M,N【解答过程】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D所以OB⊥F1N，因为|OB|=a，|OF1|=c，|F1||52b选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为cos∠F1所以|OB|=a，|OF1|=c由cos∠F1NF||3所以2b=3a，即ba所以双曲线的离心率e=选C[方法二]：答案回代法A选项e特值双曲线x2过F1且与圆相切的一条直线为y∵两交点都在左支,∴N∴|NF则cos∠C选项e特值双曲线x2过F1且与圆相切的一条直线为y∵两交点在左右两支，N在右支，∴N∴|NF则cos∠[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G若M,N分别在左右支，因为OG⊥NF1，且cos∠又|OG|=a，|OF1|=c设∠F1N在△F1N故|NF1|−|N所以asin而cosα=35，sinβ=a代入整理得到2b=3a，即ba所以双曲线的离心率e=若M,N均在左支上，同理有|NF2|sinβ故|NF2|−|N代入cosα=35，sinβ=a故a=2b，故e=1+故选：AC.5．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为x22【解题思路】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【解答过程】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c=2，由双曲线C的离心率为2，得ca=2，解得a=所以双曲线C的方程为x2故答案为：x26．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2．点A在【解题思路】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF2,BF2,方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得x0=53c,y0=−2【解答过程】方法一：依题意，设AF2=2m在Rt△ABF1中，9m2+(2a+2m)所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c方法二:依题意，得F1(−c,0),F因为F2A=−23又F1A⊥F1B，所以又点A在C上，则259c2a2所以25c2b整理得25c4−50a2c2又e>1，所以e=355