人教版八年级数学下册 专题1 二次根式非负性的应用（原卷版+解析）

专题1二次根式非负性的应用（原卷版）第一部分典例精析及变式训练类型一利用（a≥0）求值典例1(2023•长沙模拟）已知y=2+1−x，那么，点P（x，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式训练1．（温州校级自主招生）已知y=−1x−2，则在直角坐标系中，点P（x，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限类型二利用（a≥0）求值典例2(2023春•蜀山区期末）若x−y+−y=1，则A．2 B．1 C．0 D．﹣1变式训练1．（2012•安徽模拟）已知点P（x，y）满足y=x−2011+2011−x+12011A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限2．(2023春•临淄区期中）设x、y均为实数，且y=x2−3类型三利用（隐含a≥0）求值典例3（涪城区校级自主招生）已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）1−x=0，则x2+xA．13 B．7 C．3 D．13或7或3变式训练1．(2023秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2020﹣

类型四利用（a≥0，≥0）求最值典例4(2023•河北模拟）若代数式a−5+|b﹣1|+c2+aA．0 B．5 C．4 D．﹣5变式训练1．(2023春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．122．(2023春•凤凰县月考）代数式x+A．0 B．1+2 C．1 3．(2023春•西华县期中）二次根式13x−2中x的最小整数值是4．(2023春•睢县期中）a+3+2的最小值是，此时a的值是类型五化简形如（指定a的范围）的式子典例5化简：20a2b变式训练当a＜12且a≠0时，化简：4类型六化简形如（需判断a的范围）的式子典例6(2023•越秀区校级二模）化简1−4x+4x2−(2x−3变式训练1．若x、y都为实数，且满足y＞x−2−2−x+3，则化简(3−y2．化简：a−b•a−b−(b−a)3．(2023秋•高州市校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：(a+1)2

类型七化简形如（隐含a小于0或等于0）的式子典例7已知a为实数，化简：−a3−解：−a3−a−1a=a×−a变式训练1．化简：||−x2−1|﹣2|＝类型八|a|，，的综合运用典例8(2023秋•灞桥区校级月考）（1）已知非零实数a，b满足|a﹣4|+（b+3）2+a−4+4＝a，求a+（2）已知非负实数a，b满足a+b+|c−1−1|＝4a−2+2b+1−4，求a+2b针对训练1．已知△ABC的三边a，b，c满足关系a+b+c﹣2a−5−4b−4−6c−1+

第二部分专题提优训练1．(2023秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|−aA．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣32．(2023春•宁陵县期末）在二次根式a−2中，a能取到的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．2.53．(2023秋•泊头市期末）若实数x，y满足y=x−5+5−x−1，则A．1 B．﹣6 C．4 D．64．化简1−4x+4x2−（2x−3A．2 B．﹣4x+4 C．﹣2 D．4x﹣45．(2023•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b6．(2023春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+a−2021=a，则a﹣2020A．0 B．1 C．2021 D．20207．(2023秋•徐汇区校级月考）将(a−3)a23−a8．(2023•渌口区一模）已知y=(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应．9．(2023春•新县期末）已知|2019﹣a|+a−2020=a，求a﹣20192的值是10．(2023秋•金东区校级月考）设a、b、c为三角形的三边长，则化简|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|+|a+b﹣c|等于．11．设m=a+2a−1+a−2a−1(1≤a≤2)，求m10+m912．(2023•薛城区校级自主招生）已知非零实数a，b满足a2−8a+16+|b﹣3|+(a−5)(b2+1)专题1二次根式非负性的应用（解析版）第一部分典例精析及变式训练类型一利用（a≥0）求值典例1(2023•长沙模拟）已知y=2+1−x，那么，点P（x，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限思路引领：由函数y＝2+1−x知：﹣x＞0，y＞0，即可判断出点P（x，解：由函数y＝2+1−x知：﹣x＞0，∴x＜0，y＞0，∴点P（x，y）在第二象限，故选：B．总结提升：本题考查了坐标确定位置及二次根式有意义的条件，属于基础题，关键是根据已知条件判断x，y的正负．变式训练1．（温州校级自主招生）已知y=−1x−2，则在直角坐标系中，点P（x，A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限思路引领：根据二次根式和分式的性质分别求得x、y的取值范围，然后根据横轴坐标的符号确定点P的位置．解：要使得y=−1x−2有意义，则∴x＞2，∴y=−1∴点P（x，y）位于第四象限．故选：D．总结提升：本题考查了二根式有意义的条件和点的坐标的知识，解题的关键是根据二次根式有意义的条件确定x、y的符号．类型二利用（a≥0）求值典例2(2023春•蜀山区期末）若x−y+−y=1，则A．2 B．1 C．0 D．﹣1思路引领：直接利用二次根式的性质得出y的值，进而得出答案．解：∵y与−y都有意义，∴y＝0，∴x＝1，故选x﹣y＝1﹣0＝1．故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．变式训练1．（2012•安徽模拟）已知点P（x，y）满足y=x−2011+2011−x+12011A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限思路引领：根据二次根式有意义的条件，x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，则x＝2011，从而得出y，再代入y=mx求得m即可判断反比例函数y解：∵x﹣2011≥0，2011﹣x≥0，∴x＝2011，∴y=1将x＝2011，y=12011代入y=m所以反比例函数y=m故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件和反比例函数的对称性，是基础知识要熟练掌握．2．(2023春•临淄区期中）设x、y均为实数，且y=x2−3思路引领：根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．解：由题意得，x2﹣3≥0，3﹣x2≥0，1﹣x＞0，解得，x=−3则y＝2，yx总结提升：本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数的解题的关键．类型三利用（隐含a≥0）求值典例3（涪城区校级自主招生）已知x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）1−x=0，则x2+xA．13 B．7 C．3 D．13或7或3思路引领：根据二次根式的性质求出x≤1，求出x的值，代入求出即可．解：∵要使（x﹣2）（x﹣3）1−x有意义，∴1﹣x≥0，∴x≤1，∵x是实数，且（x﹣2）（x﹣3）1−x=∴x﹣2＝0，x﹣3＝0，1−x=∴x＝2或x＝3或x＝1，∴x＝1，∴x2+x+1＝12+1+1＝3，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式的性质和求代数式的值的应用，关键是求出x的值．变式训练1．(2023秋•崇川区校级月考）已知a，b为实数，且1+a−(b−1)1−b=0，求a2020﹣思路引领：由已知条件得到1+a+（1﹣b）1−b=0，利用二次根式有意义的条件得到1﹣b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，然后根据乘方的意义计算a2020﹣b解：∵1+a−(b−1)∴1+a+（1﹣b）1−b∵1﹣b≥0，1+a≥0，∴1+a＝0，1﹣b＝0，解得a＝﹣1，b＝1，∴a2020﹣b2021＝（﹣1）2020﹣12021＝1﹣1＝0．总结提升：本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．类型四利用（a≥0，≥0）求最值典例4(2023•河北模拟）若代数式a−5+|b﹣1|+c2+aA．0 B．5 C．4 D．﹣5思路引领：利用二次根式的定义、绝对值、平方数的性质分析得出答案．解：代数式，a−5+|b﹣1|+c2+aa﹣5≥0，|b﹣1|≥0，c2≥0，所以代数式，a−5+|b﹣1|+c2+a的最小值是a，a故选：B．总结提升：此题主要考查了二次根式、绝对值、平方数的意义，正确把握定义及性质是解题关键．变式训练1．(2023春•莱州市期末）若12n是整数，则正整数n的最小值是（）A．1 B．3 C．6 D．12思路引领：根据12＝22×3，若12n是整数，则12n一定是一个完全平方数，据此即可求得n的值．解：∵12＝22×3，∴12n是整数的正整数n的最小值是3．故选：B．总结提升：本题考查了二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．2．(2023春•凤凰县月考）代数式x+A．0 B．1+2 C．1 思路引领：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数列不等式组求x的取值范围，再确定代数式的最小值．解：由条件得x≥0x−1≥0x−2≥0，则x+即代数式x+x−1+故选：B．总结提升：主要考查了二次根式的意义和性质及解一元一次不等式组．二次根式的性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．(2023春•西华县期中）二次根式13x−2中x的最小整数值是思路引领：根据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围即可得到x的最小整数值．解：∵13x∴x≥6，∴x的最小整数值是6．故答案为：6．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4．(2023春•睢县期中）a+3+2的最小值是，此时a的值是思路引领：根据二次根式的定义，a+3≥0，可可判断所求式子的最小值，可求得最小值时a的值．解：∵a+3≥0∴a+3+2≥2当a+3＝0时，即a＝﹣3，最小值为2，故答案为：2，﹣3．总结提升：本题主要考查二次根式的定义，解答的关键是明确x是非负数类型五化简形如（指定a的范围）的式子典例5化简：20a2b思路引领：利用二次根式的性质化简．解：原式＝2a5b．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．变式训练15．当a＜12且a≠0时，化简：4思路引领：由a＜12知2a﹣1＜0，据此利用二次根式的性质得原式解：∵a＜12且∴2a﹣1＜0，则原式==|2a−1|=−(2a−1)=−1故答案为：−1总结提升：本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质a2=|类型六化简形如（需判断a的范围）的式子典例6(2023•越秀区校级二模）化简1−4x+4x2−(2x−3思路引领：先将1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根据（2x−3）2有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果．解：∵（2x−3）2有意义，∴2x﹣3≥0，∴x≥1.5，∴2x﹣1≥3﹣1＝2，∴1−4x+4=(1−2x)2−＝2x﹣1﹣2x+3＝2，故答案为2．总结提升：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．变式训练1．若x、y都为实数，且满足y＞x−2−2−x+3，则化简(3−y思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数求得x＝2，则y＞3，然后来简(3−y)解：∵x、y都为实数，且满足y＞x−2∴x−2≥02−x≥0∴x＝2，则y＞3，∴(3−y)2=|3﹣y故答案是：y﹣3．总结提升：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．化简：a−b•a−b−(b−a)思路引领：根据题意可得a＞b，由此可得(b−a)2=（a﹣解：由题意得a＞b，原式＝（a﹣b）﹣（a﹣b）＝0．故填0．总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，根据题意判断出a＞b是解决本题的关键．3．(2023秋•高州市校级月考）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：(a+1)2思路引领：根据题意可得：a＜﹣1，b＞1，从而可得a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，然后利用绝对值的意义和二次根式的性质，进行计算即可解答．解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴(a+1)＝﹣（a+1）+2（b﹣1）﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+2b﹣2﹣b+a＝b﹣3．总结提升：本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握绝对值的意义和二次根式的性质是解题的关键．类型七化简形如（隐含a小于0或等于0）的式子典例7已知a为实数，化简：−a3−解：−a3−a−1a=a×−a思路引领：直接利用二次根式的性质化简求出答案．解：原题错误．正确结果：−a3＝﹣a×−a+＝（﹣a+1）−a．总结提升：此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．变式训练1．化简：||−x2−1|﹣2|＝思路引领：由非负数的性质求出x，然后求得答案．解：∵﹣x2≥0，∴x2＝0，∴x＝0，∴||−x故答案为1．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，被开方数≥0．类型八|a|，，的综合运用典例8(2023秋•灞桥区校级月考）（1）已知非零实数a，b满足|a﹣4|+（b+3）2+a−4+4＝a，求a+（2）已知非负实数a，b满足a+b+|c−1−1|＝4a−2+2b+1−4，求a+2b思路引领：（1）先根据二次根式的性质求出a的范围，然后去掉绝对值号进行化简．最后利用非负性求出a+b的值（2）先将a+b+|c−1−1|＝4a−2+2b+1−4，化为几个非负数的和为零的形式，然后利用非负性求出a、b（1）解：∵a−4∴a﹣4≥0∴(a−4)+(b+3∴(b+3∴b+3＝0，a﹣4＝0∴b＝﹣3，a＝4∴a+b＝1（2）由题意可知：a+b+|∴(a−2)−4(a−2∴a−2=2，b+1=1∴a＝6，b＝0，c＝2∴a+2b﹣2c＝6+0﹣2×2＝2总结提升：本题考查非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的性质，然后利用非负性求出a、b、c的值，本题属于中等题型．针对训练1．已知△ABC的三边a，b，c满足关系a+b+c﹣2a−5−4b−4−6c−1+思路引领：本题主要考查了已知式子，变成二次根式求出a，b，c的值，便可求出△ABC的周长．解：∵a+b+c−2a−5∴a﹣5﹣2a−5+1+b﹣4−4b−4+4+c∴（a−5−1）2+(∴a−5=1，b−4=2，∴a＝6，b＝8，c＝10．因此，△ABC的周长为：a+b+c＝24．总结提升：本题主要考查二次根式的性质在三角形中的灵活应用．第二部分专题提优训练1．(2023秋•石鼓区期末）若a＜0，则化简|a﹣3|−aA．3﹣2a B．3 C．﹣3 D．2a﹣3思路引领：先化简各式，然后再进行计算即可．解：∵a＜0，∴a﹣3＜0，∴|a﹣3|−＝3﹣a﹣（﹣a）＝3﹣a+a＝3，故选：B．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．2．(2023春•宁陵县期末）在二次根式a−2中，a能取到的最小值为（）A．0 B．1 C．2 D．2.5思路引领：根据二次根式的定义求出a的范围，再得出答案即可．解：要使a−2有意义，必须a﹣2≥0，即a≥2，所以a能取到的最小值是2，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．3．(2023秋•泊头市期末）若实数x，y满足y=x−5+5−x−1，则A．1 B．﹣6 C．4 D．6思路引领：根据二次根式有意义的条件，求出x，代入关系式中求出y，从而得到x﹣y的值．解：∵x﹣5≥0，5﹣x≥0，∴x≥5，x≤5，∴x＝5，∴y＝﹣1，∴x﹣y＝5﹣（﹣1）＝5+1＝6，故选：D．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．4．化简1−4x+4x2−（2x−3A．2 B．﹣4x+4 C．﹣2 D．4x﹣4思路引领：2x−3有意义，则有2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，根据二次根式的性质化简．解：根据二次根式有意义的条件，得2x﹣3≥0，即2x≥3，可知1﹣2x≤0，∴原式=1−4x+4x2−＝|1﹣2x|﹣（2x﹣3）＝（2x﹣1）﹣（2x﹣3）＝2．故选：A．总结提升：主要考查了根据二次根式的意义化简．二次根式a2规律总结：当a≥0时，a2=a；当a≤0时，5．(2023•槐荫区校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b思路引领：根据a2解：根据数轴知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0．∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1+a﹣b＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2．故选：A．总结提升：本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，掌握a26．(2023春•花山区校级月考）已知a满足|2020﹣a|+a−2021=a，则a﹣2020A．0 B．1 C．2021 D．2020思路引领：根据a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算即可解答．解：由题意得：a﹣2021≥0，∴a≥2021，∴|2020﹣a|＝a﹣2020，∵|2020﹣a|+a−2021=∴a﹣2020+a−2021=∴a−2021=∴a﹣2021＝20202，∴a﹣20202＝2021，故选：C．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，根据a（a≥0）求出a≥2021，然后再进行化简计算是解题的关键．7．(2023秋•徐汇区校级月考）将(a−3)a23−a思路引领：根据题意得到3﹣a＞0，根据二次根式的性质化简即可．解：∵a＜0，∴3﹣a＞0，∴原式＝（a﹣3）×−a3−a3−a故答案为：a3−a．总结提升：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：a2=|8．(2023•渌口区一模）已知y=(x−4)2−x+5，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应．思路引领：根据绝对值的性质进行化简，然后数字代入求和即可求出答案．解：当x≤4时，∴x﹣4≤0，∴(x−4)2=|x﹣4|＝﹣（x∴y＝4﹣x﹣x+5＝9﹣2x，当x＞4时，∴x﹣4＞0，∴(x−4)2=|x∴y＝x﹣4﹣x+5＝1，当x分别取1，2，3，…，2022时，所对应y值的总和是（9﹣2）+（9﹣4）+（9﹣6）+（9﹣8）+2018×1＝7+5+3+1+2018＝2034．故答案为：2034．总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式与绝对值的性质，本题属于基础题型．9．(2023春•新县期末）已知|2019﹣a|+a−2020=a，求a﹣20192的值是思路引领：根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．解：由题意可知：a≥2020，∴2019﹣a＜0，∴a﹣2019+a−2020=∴a−2020=∴a﹣2020＝20192，∴a﹣20192＝2020，故答案为：2020总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，本题属于中等题型．10．(2023秋•金东区校级月考）设a、b、c为三角