多元函数-习题

第八章多元函数微分学小结1.第八章多元函数微分学小结1.一基本要求1理解二元函数的概念，会求定义域.2了解二元函数的极限和连续的概念.3理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法.4掌握多元复合函数的微分法.5了解全微分形式的不变性.6掌握隐函数的求导法.2.一基本要求1理解二元函数的概念，会求定义域.2.7会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线.8了解方向导数的概念和计算公式.9了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系.10掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法.3.7会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线.3.二要点提示（一）函数的概念设是一个点集，如果对于每一点变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是点P的函数，记为注意

1.从一元函数推广2.多元函数与一元函数的区别1.点函数的定义：4.二要点提示（一）函数的概念设是一个点集当时，当时，为n元函数.为三元函数；……当时，为二元函数；当时，为一元函数；5.当时，当

2.多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.

6.2.多元初等函数：一切多元初等函数在其定义区域内是连1．偏导数（二）偏导数与全微分（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限.7.1．偏导数（二）偏导数与全微分（1）定义：偏导数是函数的偏增（2）计算偏导数

求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数.8.（2）计算偏导数求多元函数的偏导数实际上是一元函数的2．全微分全微分公式：全微分定义：的线性部分？9.2．全微分全微分公式：全微分定义：的线性部分？9.可导连续一元函数：可导函数可微多元函数连续函数的偏导数存在（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之间的关系多元函数：函数可微偏导数连续函数可微10.可导连续一元函数：可导函数多元函数连续、可偏导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可偏导11.多元函数连续、可偏导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函（四）多元函数微分法（1）链式法则链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加”的原则来进行.1．多元复合函数求导法12.（四）多元函数微分法（1）链式法则1．多元复合函数求导法12则是x,y的复合函数.设13.则是x称为全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.14.称为全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清14.注意：

15.注意：15.2．隐函数求导法：设是由方程所确定的隐函数，则方法2隐函数的求导公式：方法1对方程两端求(偏)导数，然后解出所求(偏)导数.16.2．隐函数求导法：设（五）微分法在几何上的应用则曲线在点处切向量为是曲线上一点，其相应的参数为（1）设空间曲线：1．空间曲线的切线及法平面17.（五）微分法在几何上的应用则曲线在点处切向量为是曲曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法平面方程为18.曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法平面

若曲线的方程表示为则在点处切向量为19.若曲线的方程表示为则在点处切向量为19.2．曲面的切平面及法线为曲面上一点,则曲面在点处的法向量为（1）设曲面方程为（隐函数形式）20.2．曲面的切平面及法线为曲面上一点,则曲面在点处的切平面方程为法线方程为21.切平面方程为法线方程为21.（2）若曲面方程为（显函数形式）曲面上点的法向量为则可写为隐函数形式22.（2）若曲面方程为（显函数形式）曲面上点的法向量为则（六）方向导数与梯度2．计算公式：若可微，则其中为轴正向到方向的转角方向导数的定义23.（六）方向导数与梯度2．计算公式：若注意:方向导数存在偏导数存在

若可微,则其中为方向的方向角.24.注意:方向导数存在偏导数存在若3.梯度：设在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，向量称为在点的梯度.

梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值.25.3.梯度：设（七）函数的极值﹑最大值和最小值这时称为驻点。若在点处有极值，则驻点不一定是极值点1．极值的必要条件：26.（七）函数的极值﹑最大值和最小值这时称为驻点是极小值；2．充分条件：设在驻点的某邻域内有连续的二阶偏导数，记(2)当时，不是极值；(1)当时，是极值;(3)当时，不能确定.

是极大值；27.是极小值；2．充分条件：设3．条件极值：求拉格朗日函数

求条件极值的方法：的极值.如函数下的极值称为条件极值.在条件(2)用拉格朗日乘数法：(1)将条件代入函数,转化为无条件极值问题；28.3．条件极值：求拉格朗日函数求条件极值的方法：的极值.如4．函数的最大值和最小值求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法:

1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值;2.求出在的边界上可能的最大值﹑最小值;3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.29.4．函数的最大值和最小值求函数在有界区域上的最大值和在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点.唯一驻点，最大（小）值必存在.30.在实际问题中往往可根据问题本身的性质唯一驻点，最大（小）值必（一）求偏导数和全微分:1.求一阶偏导数及全微分.典型例题31.（一）求偏导数和全微分:1.解32.解32.可导,求解33.可导,求解33.34.34.35.35.5.设的二阶偏导连续，求由方程所确定的隐函数的偏导数解令由隐函数求导公式，有故36.5.设的二阶偏导连续，求由方程所确定的隐函数而是由方程6.设所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，试证明解1函数y对x求导：？37.而是由方程6.设所确定的隐函数由确定解出即得.38.隐函数由解2由确定，隐函数求两边求全微分：从式解出代入式,得出6.39.解2由确定，隐函数即曲线，法平面方程：切线方程：其切向量为解方程组确定隐函数在点处的切线方程及法平面方程.7.求曲线（二）微分学的应用40.即曲线所围成的四面体的体积为常数.8.证明：曲面解曲面在它上面任意一点处法向量为于是，曲面在它上面任意一点切平面方程为：即的切平面与坐标面处的41.所围成的四面体的体积为常数.8.证明：曲面解曲面在它上面任易知，该切平面在轴上的截距分别为：则切平面与坐标面所围成的四面体的体积为切平面方程为：42.易知，该切平面在轴上的截距分别为：则切平面与坐标面所围成的四9.求在点处沿从点到点解向量的方向即是l的方向.于是,

与l同向的单位向量的方向的方向导数.43.9.求在点处沿从点到点解向量的方向即是l的方向.于是,44.44.

10.求在点解由已知,有而函数在