大气中的基本波动

第9章大气中的基本波动1第9章大气中的基本波动1§9.1波动的基本概念

22§9.2微扰法，基本方程组的线性化

流体力学：大气运动最主要的特征就是波动，各种大气波动总可由谐波表示（按照付氏展开），由尤拉公式而求解波动问题的一般步骤是：1）合适的闭合方程组；2）大气方程以非线性为主要特征，为能求解要用微扰法进行线性化；3）对扰动方程组（线性化的）消元合并，当然此步也可不要；4）设波动形式解，求解讨论~频率方程（），谐波可以表为复数形式；●对两个未知物理量A，B,AB～两未知函数乘积项→非线性项！为线性化，设：其中时，称为微扰动，则：

这就实现了线性化。～已知的基本量；～未知的扰动量。3§9.2微扰法，基本方程组的线性化流体力学：大气运另外地球大气运动最基本的是纯纬向的轴对称运动，故基本量常取纬圈平均●对于基本量如何取？一要满足微扰法则，二要符合实况。如对

，通常取基本流场常数，甚至0；在讨论正压不稳定时

取，考虑斜压时，甚至还要考虑地转风关系的约束，如常数，注意：基本量形式不同，由此得出的结果也不同。

●两点说明：（a）微扰法中要求“扰动量充分小”，对于热力学变量，是指相对于基本量很小，即；而对运动学变量u,v,w，是指扰动量自身足够小，因可取为0。（b）若扰动是波动，则“扰动量充分小”是指波幅（相对于波长）甚小：

则仍应该是小量，那么必须甚小于L.4另外地球大气运动最基本的是纯纬向的轴对称运动，故基本量常取纬●基本方程组的线性化：

-----（9.37）由于地球大气最基本的运动是纯纬向轴对称运动，故可设基本量＝纬圈平均量（基本量不随x变化），且：-----（9.38）绝热无摩擦的局地直角坐标系下大气基本方程为：（位涡定义式，实际上已经用了状态方程）5●基本方程组的线性化：-----（9.37）由于这就是说，对基本量，有，常数，将它们及其他基本量代入（9.37）（根据微扰法假定2，它们应该满足），有：

-----（9.39）这就说明：基本运动状态是定常的，在水平方向上满足地转风平衡，在垂直方向上满足静力平衡。以上只是对基本量而言，下面将采用微扰法进行方程组线性化，这里详细推导前两式及⑹式以做示范：●将（9.38）代入（1），有：

6这就是说，对基本量，有，常数，将它们及其他基本量代入（9.3注意：故上式右端＝

这样（1）为：

●同样，对于（2）有：这样（2）为：●对于（6），两端取自然对数，有：

（i）7注意：故上式右端＝这样（1）为：●同样，对于（2）有：令，代入上式，有：

（C为常数）根据自然对数函数的幂级数展开公式

知：

（ii）另一方面，基本量应满足原方程（i），即有(也可见9.39式)：

（iii）(ii)减（iii），即有：8令，代入上式，有：（C为常数）根据自然对数函数的幂级数展总之，可以得到线性化后的扰动方程组（又称微扰方程组）：

-----（9.41）9总之，可以得到线性化后的扰动方程组（又称微扰方程组）：

§9.3声波和拉姆波声波可压缩（可压缩的连续方程）当流体某部分受扰动而产生压缩或膨胀，则其周围流体也会依次被压缩或膨胀，这种疏密程度的扰动在流体中的传播即声波，故声波是因流体中辐散场引起的交替绝热膨胀或者压缩而转播的，显然声波是一种纵波。现在为简化问题，考虑声波沿x方向传播（，运动方程只考虑x分量~x向动量方程）。故由（9.41），有描述纯声波（不考虑科氏力作用~若考虑，则是Lamb波）过程的闭合线性化微扰方程组：流体可形成声波，——（9.42）10§9.3声波和拉姆波声波，运动方程只考虑将4式代入3式，消去，得到如下三联方程组：

-----（9.43）设波动形式解：

-----（9.44）将波动解（9.44）代入整理后的线性微扰方程组（9.43）有：

11将4式代入3式，消去，得到如下三联方程组：消去i，可整理出一个关于的齐次线性代数方程组：

-----（9.45）根据线性代数理论，有非零解的充要条件式系数行列式为0，得到频率方程：

，基本量满足原方程

故有：

（9.47）

其解为：

→此根应舍去，因代入（9.45）没有意义

-----（9.48）12消去i，可整理出一个关于的齐次线性代数方程组：根据波参数的关系式，有大气声波的相速度和群速度：

应该注意，大气声波是一种高频，波长极短的快波，无天气意义，常视为“噪音”.必须指出，（9.43）是由（9.42）消元得到的，其实（9.43）还可以进一步消元，当然消元越多，方程个数越少，阶数越高，而所得的未知数（中的某一个），最后可以只剩一个，方程也就是一个，可以表示为：（9.43）是常系数微分方程组，还有一种快捷消元法，称“算子行列式法”：

称绝热声速，拉普拉斯声速其中：13根据波参数的关系式，有大气声波的相速度和群速度：即有大气声波的微分算子：

按照（9.50），该算子可作用于三量中任意一个，例如对此，只须设一个波动解，同样可得（9.48）！，就有：

2．拉姆波定义：空气微团做水平运动，位温无扰动，水平尺度较大，准静力平衡成立，同时考虑地球自转作用的可压缩流体中产生的一种只在水平方向传播的声波。Lamb波：又称惯性-水平声波。在中性层结下，空气水平扰动在大气可压缩性及科氏力共同作用下形成的一种特殊声波，满足静力平衡且只沿着水平方向传播。14即有大气声波的微分算子：按照（9.50），该算子将上例稍做改变：（1）扩展为二维运动，设基本流场静止，但考虑科氏力的影响；（2）垂直方向静力平衡，即大尺度运动；（3）考虑可压缩性；（4）无位温扰动。这样，可得记入科氏力的水平声波——拉姆波。显然，由（9.41）其线性扰动方程为：

-----（9.53）由最后一个关系式（5）可得：

-----（9.54）15将上例稍做改变：（1）扩展为二维运动，设基本流场静止，但考虑将上式代入到连续方程（4）中，“消去”，而在（1）（2）中引用则（1），（2），（4）组成闭合扰动量方程组：

-----（9.55）至于静力方程（3），我们仍将（9.54）代入消去，得到一个确定扰动垂直结构的方程：

-----（9.56）按照刚才介绍的方法，对（9.55）进行消元，应有：

-----（9.57）16将上式代入到连续方程（4）中，“消去”，而在（1）（2）中引而相应的拉姆波的微分算子应为：

算子L作用于之一，则有波动微分方程，且有形式的波动解。不过在此为了简化问题，再进一步设各扰动量均与y无关，则若L对作用，有：

可设波形解代入上述的三阶偏微方程，有频率方程：

------（9.60）相应的解为：

-----（9.61）则拉姆波波速以及群速都可以求得（这里只取正根，实际上是沿x正负方向传播的）：17而相应的拉姆波的微分算子应为：算子L作用

另外还要说明的是，拉姆波各扰动量的振幅在垂直方向有变化：将气压扰动量的形式解代入静力平衡方程（9.56），得：上式对z积分即可得到振幅P(z)的函数形式，若设大气是等温大气，则常数，上式可积分：

，其中P(0)指z=0时的P值，于是有：

-----（9.63）18另外还要说明的是，拉姆波各扰动量的振幅在垂这就表明：气压扰动沿x方向传播，但是扰动振幅随高度指数衰减。显然，若地面无扰动气压：P(0)＝0，则。故拉姆波是外波形波

动（决定于外部条件）。那么，拉姆波的其他扰动量有（9.63）的垂直结构？未必！是否也具等温大气中，基本量也随z指数衰减，基本量应该满足静力平衡方程：积分得：

-----（9.64）这样：

-----（9.65）

于是由（9.55）可得：

-----（9.66）

故故实际上扰动随高度几乎不变。因为：的扰动幅度随z而增加，不过增加的指数甚小，∵19这就表明：气压扰动沿x方向传播，但是扰动振幅随高度指数衰减。

§9.4重力外波重力惯性外波振动在空间的传播就是波，倘流体自由面受了垂直方向的扰动，随着个别流体柱中水平辐散辐合交替变化而传播，就形成了重力外波，若再计入作用，就得到重力惯性外波。●重力外波

设流体均质不可压（），不计科氏力作用，扰动只限于垂直向上且只在。x方向传播，即扰动与y无关：由（9.41）中的(1),(3),(4),有适合于重力外波的线性扰动方程组：

-----（9.67）20§9.4重力外波重力惯性外为后边讨论方便，这里加了“示踪系数”，当静力平衡。设下边界为水平刚壁，上界为自由面，即有本问题的边界条件：＝0，就是垂直方向满足时，时，，线性化处理，可得：

（2）

注意：，再略去二阶小量即可得上边界条件（2）。

设波动形式解：

-----（9.70）所以有此，是因为：21为后边讨论方便，这里加了“示踪系数”，当静力平衡。设下边界为代入（9.67）以及相应的边界条件（1）（2）有：由[3]得，代入[1]可消去U，得[4]，对z求导

后代入[2]，又消去P（注意，故得二阶齐次常系数线性常微分方程：

-----（9.73）将[4]代入（9.72）又有：

-----（9.74）22代入（9.67）以及相应的边界条件（1）（2）有：由[3]得下面就分情况加以讨论：1.＝0，满足静力平衡；由（9.73）→决定A,B：从z=0时W=0,得A=0,故有：W=Bz——[5]，由两边条件（9.74）

时得：；此B代入[5]，并取从而得到重力外波的波动的频率方程：

故有重力外波的波动相速度：——（9.77）又从

23下面就分情况加以讨论：1.＝0，满足静力平衡；由（9.73）

故（9.77）又可改写为：现在考虑的是均质大气，静力平衡，对基本量有，故

-----（9.78）~牛顿声速两点讨论：(1)由于c与波长L无关，故静力平衡下的重力外波是非色散波：，另外，将代入相速度公式，可以算出重力外波的，接近于声速，故为快波型波动。波速为：(2)由以上推导知道：

故垂直速度扰动的振幅W随z线性增加；但是水平速度扰动的振幅为常数，且与有的位相差。24故（9.77）又可改写为：现在考虑的是均质大气，静力平衡2.＝1（非静力平衡）（9.73）若用r表示特征值，

故：

两个积分常数由（9.74）的边界条件决定：z=0,W=0,得到

故频率方程：

故有波动相速：

-----(9.81)则特征方程为：252.＝1（非静力平衡）（9.73）若用r表示特征值，故：○若取短波近似，即则（9.81）简化为Stokes深水重力波相速：

——（9.82）○若取长波近似，即，则（9.81）简化为Lagrange浅水重力波相速：——（9.83）26○若取短波近似，即则（9.81）简化为Stokes深水重力波—（9.84）●重力惯性外波

地球大气在重力和科氏力作用下，在自由面或上下界面受扰，可产生惯性重力外波。故：①均质不可压；②科氏力作用；③静力平衡下，有本问题的方程组：27—（9.84）●重力惯性外波27如图，流体力学已讨论过，若以表示自由面高度，则（3）在z方向积分

—（9.85）由（9.85）可知，（1）（2）右端均可改写为：

—（9.86）这同时也表明：水平压力梯度不随z变化→（1）（2）右端不随z变化，由此推知：（1）（2）左端的，即u,v也不随z变化。最后来简化连续方程（4），对（4）作z方向积分：

28如图，流体力学已讨论过，若以表示自由面高度，则（3）在z方向按下边界条件，不可有流体穿过刚壁：z=0时，，知而

故连续方程最终表示为：

——（9.88）故有改写后的浅水理论中均质不可压流体运动方程组（又称浅水方程组，正压原始方程组）：

——（9.89）下面就是线性化，求波动解29按下边界条件，不可有流体穿过刚壁：z=0时，，知而故连续方设基本流场静止，即令

——（9.90）代入（9.89）进行微扰法线性化处理，可得线性化后的微扰量方程组：

——（9.91）取，用“算子行列式法”进行消元，可得对中任一未知量的方程：

——（9.92）其中可得算符为：30设基本流场静止，即令——（9.90）代入（9.89为简化问题，设扰动与y无关，对于有：

——（9.93）类似以往的讨论，设有波形解：，代入（9.93）可得波动解频率：

——（9.96）则重力惯性外波的波速与群速度可求得：

——（9.97）31为简化问题，设扰动与y无关，对于有：§9.5重力内波，惯性内波，重力惯性内波对于层结大气，若层结稳定，则在重力－浮力的交替作用下，可在流体（大气）内部形成一种重力波，称为重力内波，我们将看到：它既沿水平方向又沿垂直方向传播。进一步，若再加进地球旋转作用（当然，也只取

下面，本节分为4方面加以讨论：·浮力振荡，重力内波形成的机制

稳定层结中的流点受垂直方向的扰动，有可能形成浮力振荡。如图，考察稳定层结的流体中，某高度z处有一气块A因受z方向扰动而绝热地位移到高度。由于是层结流体，故环境密度要随z变化，如上图，微团A移动过程绝热，即位温守恒，○○32§9.5重力内波，惯性内波，重力惯性内波要变化，增量为：p要不断调整与一致，即准静态过程。其实：变为，之所以出现增量但其密度要由，就是微团压力可见，由于p变化，故

←实际上，对准静态过程还有

总结：在处，微团与环流的密度分别为：A:

环境:33要变化，增量为：p要不断调整与一致，即准静态过程。其实：变为故该密度偏差引起的单位质量微团所受（重－浮）力（~又称阿基米德浮力项！）的大小为：可见，A受力的大小与位移成正比，比例系数为。34故该密度偏差引起的单位质量微团所受（重－浮）力（再看受力的方向，对于稳定层结，大气静力稳定度，故受力的方向与位移相反。可见A受的正是重-浮力构成的恢复力→所以A要作浮力简谐振荡→振荡频率就是比例系数开平方，称为：Brunt-Väiäsälla频率N：

浮力振荡通过水平辐散辐合的交替变化得以传播，从而形成重力内波，因此：如果设水平无辐散，就可以排除重力内波。35再看受力的方向，对于稳定层结，大气静力稳定度，故受力的方向与二．Boussinesq近似●Boussinesq近似实为对p188的大气方程组（9.37）或（9.41）进行热力学简化，。首先注意它们同样可表示为基本量＋扰动量，热力学变量有但对层结流体，基本量应是z的函数：

——（9.104）对基本状态，若设其垂直厚度为H，则由静力方程和状态方程：

——（9.105）均质大气高度8km.36二．Boussinesq近似●Boussinesq近似实为对身有相同量级，故有：注：尺度分析一章曾提到：热力学变量，在垂直方向变化与其本

-----（9.106）以上是对基本量而言。那么扰动量呢？对于大中尺度运动，科氏力与梯度力量级相当：

①而另一方面，②比较①、②，得到

-----（9.109）热力学变量的一个重要性质热力学变量的另一个重要特征37身有相同量级，故有：注：尺度分析一章曾提到：热力学变量，在垂推广到，有：对大中尺度系统，热力学变量扰动量比基本量小两个量级左右。●水平运动方程：由以上讨论知，，故在运动方程右端取代替，作为近似简化：

-----（9.110）表明：在水平运动过程中，忽略了扰动密度的作用。●垂直运动方程如果说只要不计作用就是Boussinesq近似，那就太容易了！实际上，在垂直运动方程中扮演重要角色！它构成由浮力振荡的讨论中知道，阿基米德浮力，形成了垂直振荡！38推广到，有：对大中尺度系统，热力学变量扰动量比基本量小两个量垂直运动方程为：将（9.104）代入该方程右端，则右端变为：

故有简化后的垂直方向的动量方程：

-----（9.111）~表明：垂直运动方程中必须考虑●由位温表示的状态方程：直接利用p189（9.41）的最后一式：

-----（9.112）（=g）(=-g)(=0,二阶小量)39垂直运动方程为：将（9.104）代入该方程右端，则右端变为：由于，故有：

-----（9.113）故（9.112）：

-----（9.114）′热膨胀效应可压缩效应下面的分析将表明，可压缩效应比之于热膨胀效应来可以略去，因而密度扰动得以简化：在（9.111）中，扰动气压梯度力与阿基米德浮力量级相当：

③而另一方面又有：

④比较③，④，有：---（9.114）

可表为尺度关系：40由于，故有：-----（9.113）故（9.112）由于D不会超过H:下面分两种情况讨论：深层运动（），则因，由（9.114）′估计出：

-----（9.116）表明：对于深层运动，构成扰动密度的热膨胀效应和可压缩性作用是同等重要的。b.浅层运动（实际上，我们可以比较一下可压缩项与热膨胀项的相对大小：）则（9.114）’中的可压缩项相对而言不重要了！

-----（9.117）41由于D不会超过H:下面分两种情况讨论：深层运动（），则因，由表明：对于浅层运动，热膨胀效应是主要的，故（9.112）中可压缩项可略去而得以简化：

-----（9.118）~密扰之压缩项可以略去●连续方程（深层运动D~H）：

，将代入，可整理得：

-----（9.119）由于，故上式(9.119)左端头两项可以略去，得：

注意：

-----（9.121）~准B故有：42表明：对于浅层运动，热膨胀效应是主要的，故（9.112）中可进一步，对于浅层运动，由于则连续方程简化为不可压缩形式：，故（9.119）左第三项也可以略去，

-----（9.122）●热力学能量方程对此，我们不加证明地指出：绝热方程中的作用是不可忽略的，故不能作简化。干绝热的，位温形式的热力学方程为：即：密扰完全不计，加浅层条件则进一步简化为三维无辐散，可以滤去声波。43进一步，对于浅层运动，由于则连续方程简化为不可压缩形式：，故将代入，有：故有：

------（9.123）（9.123）式下有一段叙述，什么是Boussinesq近似？什么是准Boussinesq近似？总之，Boussinesq近似的基本方程组如下：

-----（9.124）44将代入，有：故有：------（9.123）（9三．重力内波考虑：①不计科氏力作用；②扰动与y无关；③取Boussinesq近似；④基本，即；⑤基本密度有重力内波基本方程组（注意，已将第六式代入第三式，从而消去）：流场静止常数；则由（9.124）

------（9.125）将代入（9.125）进行线性化，这里只推最后一式，其余自己看：~稳定层结流体中的浮力振荡在空间的传播45三．重力内波考虑：①不计科氏力作用；②扰动与y无关；③取Bo考察上式，可以凑出一个来：两端除以，第二项乘以，可得：

总之，有线性扰动方程组：

用“算子行列式法”消元，可得以下4变量之一的高阶线性微分方程：

-----（9.127）-----（9.126）46考察上式，可以凑出一个来：两端除以，第二项乘以，可得：总其中，重力内波的算子为：例如，算子L作用于，有：

-----（9.128）在无界区域内其波动形式解，设：

-----（9.129）代入（9.128）可得频率方程：

-----（9.131）进而求出二维重力内波的圆频率：47其中，重力内波的算子为：例如，算子L作用于，有：方向的波数。，中性层结下也无重力内波，这与P.202是一致的时必有，设运动水平无辐散，则可排除重力内波。，则对于，可得重力内波的相速矢量，以及群速矢量：分别是x,z方向的单位矢量；显然，而当N=0时同样有取，

-----（9.132）其中，二维波数矢量，二维波数矢量的模；k,m分别是48方向的波数。，中性层结下也无重力内波，这与P.202是一致的综上所述，纯重力内波有如下特点：（1）非静力平衡的层结大气中，若是稳定层结，就可产生纯重力内波，它既沿水平方向又沿垂直方向传播，其水平相速是：

-----（9.133），大小不同，

（2）由（9.132）知，即相速矢量与群速矢量相互垂直。（3）从水平方向看，相速矢量与群速矢量

方向一致，均向东（的正方向）。但垂直分量正好相反：相速矢量：，群速矢量：。（4）可以推算出，而但群速则是向东又向上传。，则波动会向东又向下传，49综上所述，纯重力内波有如下特点：（1）非静力平衡的层结大气中●首先，速度扰动与气压扰动同位相，出现向西向下速度扰动时气压扰动为低，出现向东向上速度扰动同时气压扰动为高；而位温扰动则与它们有的位相差。●

这就表明，一个相速度具有向下又向东分量的重力内波，将向上输送正的纬向动量，从群速度或能量观点来看，就意味着能量向东向上传播。为正相关：为正时出现上升，●

其次，为负时出现下沉。如图，给出了一个理想的向东向下传播的重力内波结构图中，短粗箭头为相速度方向，细箭头表示扰动速度场u′，w′

。Holton就曾对以上分析进行了计算，结果如下：50●首先，速度扰动与气压扰动同位相，的位相差。●这就表明，作用,对浅层运动就是不可压;;但垂直方向则必须考虑

四.惯性内波,重力惯性内波在Boussinesq近似之前提下,加入科氏力(但)并取中性层结(可得惯性内波;而考虑由前几节的讨论,不难写出线性化后的三维扰动方程组为:),作用并取稳定层结,就有重力惯性内波.

-----(9.134)水平运动方程中不计即将位温公式代入;连续方程中也不计,具体表现为热胀效应,绝热方程不能对

（此即

）简化。51作用,对浅层运动就是不可压;;但垂直方向则必须考虑四.惯用算子行列式法消元后,有:

-----(9.135)相应的算子应能得出:

例如,L运算于,有:

-----(9.136)设三维波形解为:

-----(9.137)代入(9.136)可得频率方程,解之,有:

-----(9.139)52用算子行列式法消元后,有:-----(9.135)下面就分别加以讨论:取大气为中性层结,即,排除了纯重力内波,得到惯性内波:

-----(9.140)(i)时,

,大气作惯性振荡(惯性圆运动)(ii)当,对于,惯性内波的相速矢和群速矢分别是:

-----(9.141)53下面就分别加以讨论:取大气为中性层结,即,排除了纯重力内波,综上所述,惯性内波有以下特征:非静力平衡大气中又取中性层结条件,则可以形成惯性内波,其x方向波速为:

-----(9.142)(2)易证,,即惯性内波同样

与的垂直分量方向相同,大小差(3)稳定层结,同时考虑取,就得具体推导从略,直接给出结果:

-----(9.144)有相速矢量与群速矢量相互垂直.比例系数;水平分量大小相等,方向相反.惯性重力内波,其波动的微分算子为:54综上所述,惯性内波有以下特征:非静力平衡大气中又取中性层结条重力内波性质,反之,如果其中,是为书写简便取的两个符号,特别要注意的正负决定于。由此可得:(1),对于重力惯性内波,同样有相速矢量与群速矢量相互垂直.(2)重力惯性内波是稳定层结与科氏力共同作用下产生的混和波,这两个因子中哪一个强,混和波的性质便可接近于该因子所产生的波:如果,即,则与的水平分量方向相同,垂直分量方向相反.故主要体现出纯,即垂直分量方向相同,主要表现为惯性内波的性质;的水平分量方向相反,(3)与重力惯性外波一样,这种波动一定是非地转的,且水平辐散辐合很重要.重力内波、惯性重力内波分别与大气的小尺度或中尺度运动有关。55重力内波性质,反之,如果其中,是为书写简便取的两个符号,特别

§6Rossby波

观测事实:北半球中纬度高空气压场冬3夏4,称大气长波(行星波,涡旋慢波)是地物流体中最重要的波动.1939年Rossby率先予以解释:它是一种水平方向单向且向西传播的慢波.具有准水平,准水平无辐散性质.β效应,故称Rossby波.为什么向西传播?下面先予以简要说明：1949年，Biel,Charney和罗斯贝在芝加哥大学旁边的密执安湖岸边。56§6Rossby波

考如图的水平面(xoy平面)，为讨论简单,设初始时刻只有速度的南北分量v，且v在x方向呈正弦波分布。实际上，v的这种波状分布与涡度ζ的波状分布是一致的:,故有如图涡度这时ζ分布场,那么未来将如何变化?因此，下面可以从涡度场变化来分析问题57考如图的水平面(xoy平面)，为讨论简单,设初始时刻考虑正压涡度方程:

-----(9.145)Β效应项水平无辐散

这实际上就是一个绝对涡度守恒式。可见图中的涡度分布与变化实际上取决于β作用。类似,Ⅱ区相对涡度要增加.总效果:原有的负,正涡度区均在在Ⅰ区,故,所以,由于向x轴负向即西移。（实际观测到的大气长波还会有准静止的,因为西风平均气流的作用。）效应,Ⅰ区相对涡度要减小;正压、水平无辐散罗斯贝波58考虑正压涡度方程:-----(9.145)Β效应项水平无设基本气流为平直西风：下面予以正式讨论:(9.145)进行线性化,有:,代入正压水平无辐散涡度方程

-----(9.147)流体力学中讲过,无旋就有势,二维无辐散就有流函数,故现在可引入代入(9.147)可得关于的常系数偏微分方程:扰动流函数

-----(9.149)设纬向基本气流为常数59设基本气流为平直西风：下面予以正式讨论:(9.145)进行线

故可设二维波动解:

代入上式得到频率方程:

-----(9.151）即有Rossby波动角频率:

------(9.152)进而可得x方向(纬向)波动传播速度及群速度:

60故可设二维波动解:代入上式得到频率方程:注意:Rossby波的基本控制方程是正压水平无辐散涡度方程:,实际上科氏力参数,故该方程又可写为:

→

绝对涡度守恒方程,因此,可有以下结论:正压大气中的Rossby波由绝对涡度守恒所控制,波动传播的主要扰动就是效应，因此它是涡旋性波动;(2)Rossby波相对于基本气流向西传播,若取,对于地区,有

则,故Rossby波相对于纬向基本气流的传播速度为左右,是慢波.(3)对于Rossby波,c与k有关,故是色散波,其能量频散有重要的天气意义.(4)Rossby波是大尺度运动,故有准地转性.61注意:Rossby波的基本控制方程是正压水平无辐散涡度方程天气预报员可以据此做简单的估算62天气预报员62

§7噪音与滤波总结本章前几节的内容,可知:(3)对于某种尺度运动,天气意义较小并能计算不稳定的快波,称为”噪音”.除去噪音的方法叫做滤波.途径:修改方程组,使之不含产生噪音的物理机制.(2)不同尺度的运动,起主要作用的波动是不一样的:小尺度大气基本方程组中含有各种波动,主要有4中基本类型:声波,重力波,惯性波,大气长波.不同类型波动形成和传播的物理机制不同,且其性质及天气影响有不同.通常,快波能量频散快,因而振幅小,生命史短.中尺度惯性重力内波。大尺度主要决定于长波.中期(3~10天)天气过程主要决定于长波与超长波.重力内波。大气长波.短期(1~3天)天气过程

(4)为什么要滤波?对某一种运动,都有主要和次要波动,保留次要波动似乎也无不可,但是实际应用于数值预报时,会出问题:①增加运算次数;数值计算时为使计算稳定,须,显然,对固定的空间步长(例如300km),若是c=300的快波,则分钟,而对于c=30慢波,63§7噪音与滤波总结本章前几节的内容,则小时,那么作24小时数值预报,若含快波须100次重复运算,而只含慢波时仅10次重复运算.②计算不稳定;③激发出虚假的声波和重力波,完全扰乱大尺度运动的真正图像,对大尺度运动,垂直方向满足静力平衡,水平方向接近于地转平衡,故垂直方向与水平方向的加速度都是二大量间的小差值.若不进行滤波而直接用未经简化的方程,将观测值作为初始场代入方程,则由于误差可引起虚假波.(5)过滤一种噪音的时候有可能对谐音构成一定的歪曲,过滤的方法也可以有多种,如扰动量满足静力平衡可滤去垂直声波,扰动满足地转关系可滤去水平声波,而设水平无辐散同样可滤去水平声波.再比如,设中性层结可滤去重力内波,而设扰动满足地转平衡关系,同样可滤去重力波.因此,如何既滤去噪音又保持最小的歪曲,是很重要的.下面,以一个惯性重力外波和罗斯贝波的动力学模式为例,加以具体分析:考虑不可压并具有自由面的流体,z方向满足静力平衡,同时计入f随y的变化,效应,这样,基本方程组就是P199(9.89),惯性重力外波的浅水方程,只不过即这里f随y变化:

64则小时,那么作24小时数值预报,若含快波须100下面就是微扰法线性化,设波动解。顺便指出,浅水方程有一个重要性质:位涡守恒推导如下:鉴于,作运算得到涡度方程:

------(9.156)由于f只是y的函数,故连续方程(3)代入上式,可有:

易证,上式左端=,故上式最终可以表示为位涡守恒式:

-----(9.157)

-----(9.155)65下面就是微扰法线性化,设波动解。顺便指出,浅水方程有一个重要设其中基本量满足地转平衡,常数,代入(9.155)有微扰方程组:

-----(9.160)线性化后的扰动涡度方程也不难得出::

-----(9.161)66设其中基本量满足地转平衡,常数,代入(9.155)有微扰方程现以(9.161)取代(9.160)的y分量式,除(3)体现效应的项外,其余f又为简便,且进一步设与y无关,则有等价的微扰方程组:均取为

-----(9.162)若取,表示(1)中满足地转关系,而(2)满足准地转近似.取,表示(3)中左端最后一项为0,由(9.160)可知,实为水平无辐散.设(9.162)有波动形式解:

-----(9.163)67现以(9.161)取代(9.160)的y分量式,除(3)体现代入(9.162),有关于的一个三联齐次代数方程组:

-----(9.164)有非零解的充要条件是系数行列式必为0,故可得频率方程:

-----(9.166)下面分3种情形讨论:

(1),原方程不取任何近似简化,这时(9.166)写为:

-----(9.167)68代入(9.162),有关于的一个三联齐次代数方程组:这是关于c的一个三次代数方程,应该有三个根,从物理上讲,浅水方程的前提是均质不可压,排除了声波;而考虑了g(重力外波,因有自由面),(惯性波)及(Rossby波,亦即书上称的涡旋慢波),故这三个根是一对惯性重力外波解,以及一个涡旋慢波解.

进而得到慢波相速:

-----(9.169)与Rossby波纬向相速相比较可见,(9.169)是一个受重力和惯性()修正后的Rossby波,或者是计入水平散度影响的正压Rossby波,甚大,可认为,故(9.167)可作简化,它近于实况.对于快波解,因c(1)Β项可略；（2）也比小可略，即保留，进而有快波相速:

-----(9.171)~这正是重力惯性外波69这是关于c的一个三次代数方程,应该有三个根,从物理上讲,浅水以上讨论告诉我们,通常的3个根就是一个慢波(9.169),两个快波(9.171),且(9.169)是近于实际情况的.(2),设运动水平无辐散,这时(9.166)变为:

解之,得到:

-----(9.173)结论:取水平无辐散的滤波法可以排除重力惯性波而保留涡旋性慢波,但同时也去掉了g与对涡旋慢波的影响,而只能得到纯Rossby波,这与实际相差很大.(3)

,取准地转近似,(9.166)(9.174),解之,得到:

------(9.175)70以上讨论告诉我们,通常的3个根就是一个慢波(9.169),两声波,重力波,惯性波和重力惯性波都将被消除.结论:取准地转近