线性代数与解析几何曲面及其方程

关于线性代数与解析几何曲面及其方程例解1.

球面及其方程P(x0,y0,z0)rP(x,y,z)第2页,共81页，2024年2月25日，星期天观察柱面的形成过程:定义

在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线所形成的曲面称为柱面。这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.母线准线2、柱面及其方程第3页,共81页，2024年2月25日，星期天且有从(2)(3)中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0这就是以(1)为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程.如果M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点M1的母线方程为设柱面的准线为准线母线MM1母线的方向数为X,Y,Z.试建立这柱面的方程.第4页,共81页，2024年2月25日，星期天例1

柱面的准线方程为而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程.解：设M1(x1，y1，z1)是准线上的一点，那么过M1(x1,y1,z1)的母线为且第5页,共81页，2024年2月25日，星期天所以令(4)=t,得将(7)代(5)、(6)得由(8)、(9)得第6页,共81页，2024年2月25日，星期天

母线平行于坐标轴的柱面方程.1

方程F(x,y)=0表示:2

方程F(x,z)=0表示:3

方程F(y,z)=0表示:母线平行于

z轴的柱面,准线为xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.母线平行于

y轴的柱面,准线为xoz面上的曲线C:F(x,z)=0.母线平行于x轴的柱面,准线为yoz面上的曲线C:F(y,z)=0.第7页,共81页，2024年2月25日，星期天abzxyo椭圆柱面第8页,共81页，2024年2月25日，星期天yxz=0zo

双曲柱面第9页,共81页，2024年2月25日，星期天zxyo抛物柱面第10页,共81页，2024年2月25日，星期天3.

旋转面及其方程lC第11页,共81页，2024年2月25日，星期天.Sl定义在空间，一条曲线

C绕着定直线l旋转一周所生成的曲面

S称为旋转面（或回转曲面）

C称为旋转面的母线，

l称为旋转面的旋转轴.

3.

旋转面及其方程C第12页,共81页，2024年2月25日，星期天生活中见过旋转曲面吗？第13页,共81页，2024年2月25日，星期天第14页,共81页，2024年2月25日，星期天纬圆Ⅱ以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线.说明：ⅰ纬圆也可看作垂直于旋转轴l

的平面与旋转面的交线S旋转曲面的有关概念Ⅰ母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线。ⅱ任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。经线和母线一样吗？lM经线满足什么条件母线就是经线？旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成C第15页,共81页，2024年2月25日，星期天旋转曲面的方程（直角坐标系）设旋转曲面的母线1旋转曲面的一般方程旋转轴为直线分析：lM1S旋转曲面又可看作以轴l

为连心线的一族纬圆生成的曲面当M1遍历整个母线Γ

时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.

第16页,共81页，2024年2月25日，星期天注：ⅰ写出这母线上任意一点的纬圆方程，ⅱ写出参数的约束条件，ⅲ消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。lM1S第17页,共81页，2024年2月25日，星期天例

求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程。母线不是经线注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的母线.单叶旋转双曲面第18页,共81页，2024年2月25日，星期天解（两直线为异面直线），设M1(x1,y1,z1)是母线L1上的任意点，因为旋转轴L2通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.第19页,共81页，2024年2月25日，星期天母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：

已知yoz面上一条曲线C

,方程为F(y,z)=0,x=0,曲线C

绕

z

轴

旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1`,z1)是C

上任意一点,则有F(y1,z1)=0当

C绕z轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有且F(y1,z1)=0.

第20页,共81页，2024年2月25日，星期天得旋转曲面的方程:思考题：xoy面上的一条曲线C，F(x,y)=0,z=0分别绕x轴及y轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？第21页,共81页，2024年2月25日，星期天规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。第22页,共81页，2024年2月25日，星期天解

:应该先建立母线的方程圆锥面方程例：直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为的圆锥面方程．第23页,共81页，2024年2月25日，星期天旋转椭球面zxyzxy例2：将椭圆

分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋转，求所得旋转曲面的方程。第24页,共81页，2024年2月25日，星期天

xyoz

xoz叫做旋转单叶双曲面y例3:(1)将双曲线

第25页,共81页，2024年2月25日，星期天axzoz.xy第26页,共81页，2024年2月25日，星期天

（2）将曲线

叫做旋转双叶双曲面yzoxyzox绕实轴（即y轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为第27页,共81页，2024年2月25日，星期天旋转抛物面xyzox例4：将抛物线绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为yzo第28页,共81页，2024年2月25日，星期天例5、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为圆环面.第29页,共81页，2024年2月25日，星期天zyoab绕z轴旋转所成曲面将圆第30页,共81页，2024年2月25日，星期天xzyo.第31页,共81页，2024年2月25日，星期天x.生活中见过这个曲面吗？zyo..第32页,共81页，2024年2月25日，星期天救生圈.第33页,共81页，2024年2月25日，星期天

准线母线顶点

x0z

y锥面及其方程定义

在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线A锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的准线.第34页,共81页，2024年2月25日，星期天设锥面的准线为设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过点M1的母线为：顶点为A(x0,y0,z0)，试建立锥面的方程.且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0消去参数x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0准线母线母线x0z

yMM1A第35页,共81页，2024年2月25日，星期天例1、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。答：（二次锥面）同理分别表示锥面。第36页,共81页，2024年2月25日，星期天解：

设M(x,y,z)为任一母线上的点，那么过M点的母线的方向向量为轴线的方向向量为根据题意有M得例2：已知圆锥面的顶点A(1,2,3),轴垂直于平面母线与轴组成300角,试求这圆锥面的方程.A第37页,共81页，2024年2月25日，星期天空间曲线及其方程设空间曲线L的一般方程消去一个变量后得方程任取其中的两个联立，如它也表示同一条曲线L.第38页,共81页，2024年2月25日，星期天以曲线L为准线,母线平行于z

轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线L关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.

所以方程组 所表示的曲线叫做空间曲线L在xOy面上的投影.注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.第39页,共81页，2024年2月25日，星期天Lyz

x0例如从分别消去y及z，得第40页,共81页，2024年2月25日，星期天由空间曲线

C的方程消去

z后得到(母线平行

z轴的柱面).例第41页,共81页，2024年2月25日，星期天解在

xOy面上的投影为例求曲线在

xOy面上的投影.第42页,共81页，2024年2月25日，星期天例设一个立体由上半球面 和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:

半球面与锥面的交线为由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y2

1这是一个母线平行于z轴的圆柱面.于是交线C

在xoy面上的投影曲线为这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2

1第43页,共81页，2024年2月25日，星期天空间曲线

C的参数方程例曲线C的参数方程为空间曲线的参数方程第44页,共81页，2024年2月25日，星期天例

圆柱螺线

第45页,共81页，2024年2月25日，星期天§6.4

二次曲面

1、椭球面2、二次曲面3、单叶双曲面4、双叶双曲面5、椭圆抛物面6、双曲抛物面7、二次方程的化简

第46页,共81页，2024年2月25日，星期天二次曲面的定义：三元二次方程讨论二次曲面性状的平面截痕法：

1、对称性，2、曲面的范围，3、主截线，即用坐标面截曲面的截线，4、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．所表示的曲面称之为二次曲面．ax2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0第47页,共81页，2024年2月25日，星期天椭球面定义在直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面，其中a,b,c都为任意的正常数。方程叫做椭球面的标准方程.1、对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。顶点（±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)xzyO第48页,共81页，2024年2月25日，星期天

3、主截线

用平面z=0,y=0,x=0分别去截割椭球面,得椭圆，它们的方程分别为

由方程可知x2≤a2,y2≤b2,z2≤c2,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,也就是曲面在由六个平面x=±a,y=±b,z=±c组成的长方体内。2、范围

Oxyz第49页,共81页，2024年2月25日，星期天zoxyO

用平面z=h去截割(要求|h

|c),得椭圆当|h

|＜

c

时,|h|越大,椭圆越小;4、平行截线

顶点在椭圆(2)上，第50页,共81页，2024年2月25日，星期天zoxyO

用平面z=h去截割(要求|h

|c),得椭圆当|h

|＜

c

时,|h|越大,椭圆越小;当|h

|=c时,椭圆退缩成点.4、平行截线

顶点在椭圆（3）上，第51页,共81页，2024年2月25日，星期天特别:当a=b=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.当a=b≠c时，或a=c≠b,或a≠b=c时为旋转椭球面.椭球面的参数方程球面的参数方程第52页,共81页，2024年2月25日，星期天例：已知椭球面试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。解：圆的方程为圆的方程为（1）与（2）等价，得所求平面的方程为第53页,共81页，2024年2月25日，星期天所表示的曲面叫做单叶双曲面，其中a,b,c都为正常数，叫做单叶双曲面的标准方程。单叶双曲面定义在直角坐标系下，由方程（1）对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。顶点（±a,0,0）与（0,±b,0)oxyz第54页,共81页，2024年2月25日，星期天

xyoz(2)主截线用三个坐标平面z=0，y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为第55页,共81页，2024年2月25日，星期天

用一组平行平面（h为任意实数）

与曲面相交

，其交线为椭圆.(3)平行截线顶点与

xyoz在（2）上，在（3）上，第56页,共81页，2024年2月25日，星期天实轴与x轴平行,虚轴与z

轴平行，顶点在腰椭圆（1）上。实轴与z

轴平行,虚轴与

x

轴平行，顶点在双曲线（3）上.

xyoz用平行于xoz面的平面y=h截割单叶双曲面,其截线方程为：当|h|≠b时表示双曲线第57页,共81页，2024年2月25日，星期天截痕为一对相交于点的直线.同理用平行于yoz面的平面x=h截曲面其截线与（3）中的b类似。

xyoz截痕为一对相交于点z的直线第58页,共81页，2024年2月25日，星期天单叶双曲面图形在工业生产中的应用是什么？当a=b时，方程方程与各表示什么图形？表示旋转单叶双曲面。第59页,共81页，2024年2月25日，星期天所表示的曲面叫做双叶双曲面，双叶双曲面定义：在直角坐标系下，由方程其中a,b,c都为正常数，叫做双叶双曲面的标准方程.(1)对称性曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称.顶点（0,0,±c）(2)主截线用两个坐标平面y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为xyzo第60页,共81页，2024年2月25日，星期天与都表示双曲线.xyo(3)平行截线a、用平面z=h(|h|＞c)来截曲面，其截线方程为表示椭圆，顶点在（6）上，在（7）上.第61页,共81页，2024年2月25日，星期天

xyob、用平行于xoz面的平面y=h(h≠0）时，其截线为双曲线,方程为:方程与都表示双叶双曲面。实轴与z轴平行，虚轴与x轴平行，顶点在（6）上椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面它们的方程可以统一吗？z第62页,共81页，2024年2月25日，星期天例：用一组平行平面z=h(h为任意实数），截割单叶双曲面得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹方程.解：这一族椭圆的方程为即第63页,共81页，2024年2月25日，星期天因a>b,从而椭圆焦点轨迹方程为消去参数得第64页,共81页，2024年2月25日，星期天

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐近锥面第65页,共81页，2024年2月25日，星期天表示的曲面叫做椭圆抛物面，其中a,b

都为任意正常数,为椭圆抛物面的标准方程.原点也叫椭圆抛物面的顶点.椭圆抛物面定义

在直角坐标系下，由方程(1)对称性曲面关于xoz,yoz坐标面，z轴对称.（2）主截线用坐标面y=0及x=0截曲面，其截线方程分别为zxyo第66页,共81页，2024年2月25日，星期天xyzo（3）平行截线a、用平面z=h(h>0)来截曲面，其截线总是椭圆顶点在（1）上，在（2）上，第67页,共81页，2024年2月25日，星期天b、用平行于xoz面的平面截割椭圆抛物面得交线为抛物线.它的轴平行于z

轴

xyzo顶点在主抛物线(2)上.第68页,共81页，2024年2月25日，星期天xyzo（4）与（1）全等.c、用平行与坐标yoz(x=0)的平面x=t均可得抛物线.第69页,共81页，2024年2月25日，星期天zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形开口与x或y轴一致时方程是啥？第70页,共81页，2024年2月25日，星期天特殊地：当a=b

时，方程变为旋转抛物面（由xoz

面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）第71页,共81页，2024年2月25日，星期天所表示的曲面叫做双曲抛物面（马鞍面），其中a,b都为任意的正常数，为椭圆抛物面的标准方程。双曲抛