新高考数学复习 情境问题的探究之概率部分（教师版）

专题16情境问题的探究之概率部分

一、题型选讲

题型一、通过列举法研究概率

例1、(2020届山东省潍坊市高三上期中)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的

上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王

与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，共进行三场比赛，规定：每一场双方均任意选一匹马参赛，且

每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜.则田忌获胜的概率为()

1II1

A.-B.-C.一D.—

36936

【答案】B

【解析】

设齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B,C,

设田忌的上等马、中等马、下等马分别为a,b,c,

每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜.

基本事件有：(Aa,Bb.Cc),(Aa,Be,Cb),(Ab,Be,Ca),(Ab,Be,Ca),(Ac,Bb，Cd),

(Ac,Ba,Cb),共6个，

田忌获胜包含的基本事件有：(Ac,Ba,Cb),只有1个，

二田忌获胜的概率为

6

故选：B.

例2、【2018年高考全国II卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥

德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如30=7+23.在不超过30的素数中，

随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

【答案】C

【解析】不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，

随机选取两个不同的数，共有C：o=45种方法，

因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法,

故所求概率为二3=上1，故选C.

4515

古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件

的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元

素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于

限制条件较多且元素数目较多的题目.

例3、（2020•衡阳三模）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上

有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点

为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（）

【答案】C

【解析】：阴数为：2,4,6,8,阳数为：1,3,5,7,9,

各选一个数，其和能被5整除的分别为：2,3；4,1；6,9；8,7.

所以能被5整除的概率

4X55

故选：C.

例4、如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.有甲、乙两人想根

据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一

个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”

或“捡”的概率是

【答案】C

【解析】：有题意可知甲乙分别从爬、扶、捡、顶中的两个动作，共有12种方法，

若甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”有（爬，扶）（爬，捡）

（扶，捡）3中情况。

题型二、与排列组合相关的概率

例5、（2020•山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆

游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”

字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金

额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼

品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（）

5479

A.-B.-C.—D.—

991616

【答案】B

【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，

有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数〃=3'=81,

他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m==36,

则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p=m-='36=—4.

"819

故选：B.

例6、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十

二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，

甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学

哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（）

1155

A.—B.—C.—D.—

66556611

【答案】C

【解析】若甲选牛或羊作礼物，则乙有3种选择，丙同学有10种选择，此时共有2x3x10=60种；

若甲选马作礼物，则乙有4种选择，丙同学有10种选择，此时共有1x4x10=40种.

60+401005

因此，让三位同学选取的礼物都满意的概率为〒=同=而

故选：C.

例7、（2021年江苏淮阴中学调研）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,因为

142857x2=285714,142857x3=428571,…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：

142+857=999,571+428=999,…若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三

位数x,则999-x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（）

4323

A.-B.-C.-D.—

55510

【答案】C

【解析】记事件A为：999-x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数•由0+8=9

<2+7=9

4+5=9

可知情况共有110，个位数可能结果有1,4,2,8,5,7共6种

二、达标训练

1、【2019年高考全国HI卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称

为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅

读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》

且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值

为

B.

C.0.7D.

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为.故选C.

2、（2019•新课标I）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6

个爻组成，爻分为阳爻“一”和阴爻“一一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该

重卦恰有3个阳爻的概率是（）

A.2B.旦C.21D.11

16323216

【答案】.A

【解析】:在所有重卦中随机取一重卦，

基本事件总数〃=2'=64,

该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数勿=（;需=20,

则该重卦恰有3个阳爻的概率P=a=20=_L.

n6416

故选：A.

3、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒

子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟

时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，

假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）

1833

A.-B.—C.-D.—

515520

【答案】D

【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖

一次香烟，记香烟为4,4，厶3，口香糖为4，员,员，进行四次取物，

基本事件总数为：6x5x4x3=360种

事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以卜三种情况：

烟、糖、糖、糖：3x3x2x1=18种

糖、烟、糖、糖：3x3x2x1=18种

糖、糖、烟、糖：3x2x3x1=18种

包含的基本事件个数为：54,

543

所以，其概率为卞=F

36020

故选：D

4、（2020・5月份模拟）纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发

展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富.小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣.收集了如下9枚

纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章.小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽

章的概率为（）

【答案］B

【解析】：从9枚徽章中任取3枚的