2024届广东省揭阳市榕城区一中学中考数学五模试卷含解析

2024届广东省揭阳市榕城区一中学中考数学五模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（）A．方程两边分式的最简公分母是（x﹣1）（x+1）B．方程两边都乘以（x﹣1）（x+1），得整式方程2（x﹣1）+3（x+1）＝6C．解这个整式方程，得x＝1D．原方程的解为x＝12．下列图形中，阴影部分面积最大的是A． B． C． D．3．如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）A． B． C． D．4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y25．下列计算中，错误的是（）A．； B．； C．； D．．6．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（）A． B．C． D．8．如图是一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（）A．三棱柱 B．正方体 C．三棱锥 D．长方体9．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：410．下列各数中最小的是（）A．0 B．1 C．﹣ D．﹣π二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为▲．12．已知数据x1，x2，…，xn的平均数是，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是____.13．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.14．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是15．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：，，；，，其中正确的结论序号是______16．与是位似图形，且对应面积比为4：9，则与的位似比为______．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）（阅读）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1，h1．连接AM．∵∴（思考）在上述问题中，h1，h1与h的数量关系为：．（探究）如图1，当点M在BC延长线上时，h1、h1、h之间有怎样的数量关系式？并说明理由．（应用）如图3，在平面直角坐标系中有两条直线l1：，l1：y=－3x+3，若l1上的一点M到l1的距离是1，请运用上述结论求出点M的坐标．18．（8分）如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．19．（8分）讲授“轴对称”时，八年级教师设计了如下：四种教学方法：①教师讲，学生听②教师让学生自己做③教师引导学生画图发现规律④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图为调查教学效果，八年级教师将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种．他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计如图(1)请将条形统计图补充完整；(2)计算扇形统计图中方法③的圆心角的度数是；(3)八年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？20．（8分）如图，AB为⊙O直径，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，射线DC切⊙O于点C、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．（1）求证：∠D=2∠A；（2）若HB=2，cosD=，请求出AC的长．21．（8分）填空并解答：某单位开设了一个窗口办理业务，并按顾客“先到达，先办理”的方式服务，该窗口每2分钟服务一位顾客．已知早上8：00上班窗口开始工作时，已经有6位顾客在等待，在窗口工作1分钟后，又有一位“新顾客”到达，且以后每5分钟就有一位“新顾客”到达．该单位上午8：00上班，中午11：30下班．（1）问哪一位“新顾客”是第一个不需要排队的？分析：可设原有的6为顾客分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6，“新顾客”为c1、c2、c3、c4…．窗口开始工作记为0时刻．a1a2a3a4a5a6c1c2c3c4…到达窗口时刻000000161116…服务开始时刻024681012141618…每人服务时长2222222222…服务结束时刻2468101214161820…根据上述表格，则第位，“新顾客”是第一个不需要排队的．（2）若其他条件不变，若窗口每a分钟办理一个客户（a为正整数），则当a最小取什么值时，窗口排队现象不可能消失．分析：第n个“新顾客”到达窗口时刻为，第（n﹣1）个“新顾客”服务结束的时刻为．22．（10分）计算：.23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与反比例函数的图象相交于点.（1）求a、k的值；（2）直线x＝b（）分别与一次函数y＝x、反比例函数的图象相交于点M、N，当MN＝2时，画出示意图并直接写出b的值.24．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．求证：MD=MC；若⊙O的半径为5，AC=4，求MC的长．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解析】

先去分母解方程，再检验即可得出.【详解】方程无解，虽然化简求得，但是将代入原方程中，可发现和的分母都为零，即无意义，所以，即方程无解【点睛】本题考查了分式方程的求解与检验，在分式方程中，一般求得的x值都需要进行检验2、C【解析】

分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可：【详解】A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=1．B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：．C、如图，过点M作MA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B，根据反比例函数系数k的几何意义，S△OAM=S△OAM=，从而阴影部分面积和为梯形MABN的面积：．D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：．综上所述，阴影部分面积最大的是C．故选C．3、D【解析】

根据勾股定理求出四边形第四条边的长度，进而求出四边形四条边之比，根据相似多边形的性质判断即可．【详解】解：作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC=AD=1，AE=CD=3，∴BE=4，由勾股定理得，AB==5，∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的判定和性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．4、D【解析】试题分析：反比例函数y=-的图象位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，∵A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)在该函数图象上，且x1＜x2＜0＜x3，，∴y3＜y1＜y2；故选D.考点：反比例函数的性质.5、B【解析】分析：根据零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义作答即可．详解：A．，故A正确；B．，故B错误；C．．故C正确；D．，故D正确；故选B．点睛：本题考查了零指数幂、有理数的乘方、分数指数幂及负整数指数幂的意义，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．6、B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选B.7、C【解析】

先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．【详解】小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是，故选C．【点睛】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．8、A【解析】【分析】根据三视图的知识使用排除法即可求得答案.【详解】如图，由主视图为三角形，排除了B、D，由俯视图为长方形，可排除C，故选A．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，做此类题时可利用排除法解答．9、C【解析】

由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．10、D【解析】

根据任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可判断．【详解】﹣π＜﹣＜0＜1．则最小的数是﹣π．故选：D．【点睛】本题考查了实数大小的比较，理解任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、．【解析】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质．【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（2a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积．设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=3．∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=2．∵点P（2a，a）在直线AB上，∴2a=2，解得a=3．∴P（2，3）．∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=2×3=2．∴此反比例函数的解析式为：．12、【解析】

根据数据x1，x2，…，xn的平均数为=（x1+x2+…+xn），即可求出数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数．【详解】数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数=（x1+1+x2+1+…+xn+1）=（x1+x2+…+xn）+1=+1．故答案为+1．【点睛】本题考查了平均数的概念，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．13、15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线l=，∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14、4【解析】

当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．【详解】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.15、【解析】

由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】由图象可知：抛物线开口方向向下，则，对称轴直线位于y轴右侧，则a、b异号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，，故正确；对称轴为，，故正确；由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，所以当时，，即，故正确；抛物线与x轴有两个不同的交点，则，所以，故错误；当时，，故正确．故答案为．【点睛】本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．16、2：1【解析】

由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比．【详解】解与是位似图形，且对应面积比为4：9，与的相似比为2：1，故答案为：2：1．【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．三、解答题（共8题，共72分）17、【思考】h1+h1=h；【探究】h1－h1=h．理由见解析；【应用】所求点M的坐标为（，1）或（－，4）．【解析】

思考：根据等腰三角形的性质，把代数式化简可得.探究：当点M在BC延长线上时，连接，可得，化简可得.应用：先证明，△ABC为等腰三角形，即可运用上面得到的性质，再分点M在BC边上和在CB延长线上两种情况讨论，第一种有1+My=OB，第二种为My－1=OB，解得的纵坐标，再分别代入的解析式即可求解.【详解】思考即h1+h1=h．探究h1－h1=h．理由．连接,∵∴∴h1－h1=h．应用在中，令x=0得y=3；令y=0得x=－4，则：A（－4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），，又因为AC=5，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h1=h得：1+My=OB，My=3－1=1，把它代入y=－3x+3中求得：，∴；②当点M在CB延长线上时，由h1－h1=h得：My－1=OB，My=3+1=4，把它代入y=－3x+3中求得：，∴，综上，所求点M的坐标为或．【点睛】本题结合三角形的面积和等腰三角形的性质考查了新性质的推理与证明，熟练掌握三角形的性质，结合图形层层推进是解答的关键.18、(1)y=x2﹣x；（2）点P坐标为（0，）或（0，）；（3）.【解析】

（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE，OC=，推出当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似；（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．由△OE′Q∽△OBE′，推出，推出E′Q=BE′，推出AE′+BE′=AE′+QE′，由AE′+E′Q≥AQ，推出E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长.【详解】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°，∴OH=1，AH=，∴A点坐标为：（-1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2-x；（2）如图，∵C（1，-），∴tan∠EOC=，∴∠EOC=30°，∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°，∵OA=2OE，OC=，∴当OP=OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，∴OP=，OP′=，∴点P坐标为（0，）或（0，）．（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．∵，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴，∴E′Q=BE′，∴AE′+BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为．【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．19、解：(1)见解析；(2)108°；(3)最喜欢方法④，约有189人.【解析】

（1）由题意可知：喜欢方法②的学生有60-6-18-27=9（人）；（2）求方法③的圆心角应先求所占比值，再乘以360°；（3）根据条形的高低可判断喜欢方法④的学生最多，人数应该等于总人数乘以喜欢方法④所占的比例；【详解】(1)方法②人数为60−6−18−27=9(人);补条形图如图：(2)方法③的圆心角为故答案为108°(3)由图可以看出喜欢方法④的学生最多,人数为(人)；【点睛】考查扇形统计图,条形统计图，用样本估计总体,比较基础，难度不大，是中考常考题型.20、（1）证明见解析；（2）AC=4.【解析】

（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，然后根据圆周角定理证明即可；（2）设的半径为，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．【详解】（1）连接．∵射线切于点，．，，，，，由圆周角定理得：，；（2）由（1）可知：，，，，，设的半径为，则，在中，，，，∴由勾股定理可知：，．在中，，由勾股定理可知：．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．21、（1）5；（2）5n﹣4，na+6a．【解析】

(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，则第n个“新顾客”到达窗口时刻为5n﹣4，由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a，7a，8a，…，第n﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n﹣1)a=(5+n)a，第n﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n)a+a=na+6a．【详解】(1)第5位，“新顾客”到达时间是20分钟，第11位顾客结束服务的时间是20分钟，所以第5位“新顾客”是第一个不需要排队的；故答案为：5；(2)由表格中信息可得，“新顾客”到达时间为1，6，11，16，…，∴第n个“新顾客”到达窗口时刻为5n﹣4，由表格可知，“新顾客”服务开始的时间为6a，7a，8a，…，∴第n个“新顾客”服务开始的时间为(6+n)a，∴第n﹣1个“新顾客”服务开始的时间为(6+n﹣1)a=(5+n)a，∵每a分钟办理一个客户，∴第n﹣1个“新顾客”服务结束的时间为(5+n)a+a=na+6a，