2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知向量五=（8,-2,1）,b=（-4,1,⅛）-且五〃B，那么实数k的值为（）

1

B--C.-22

A.20-2D.

2.直线I：X-y-V3=。的倾斜角是（)

A.45°B.135°C.60°D.90°

3.抛物线y2=-2久的准线方程是（）

11

A.B.y=-1C.X==2D.x=l

4.2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未

来”（英文为："TogetherforaSharedFiitiire"）,这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出

14亿中国人民的美好期待一起向未来’’的英文表达是："Together/OraSharedFUtUre",

其字母出现频数统计如表：

字母t09ehrfasdu

频数32142422112

合计频数为24,那么字母“e”出现的频率是（）

111

CD

---

A.864

n

5.设5n为数列｛ajl｝的刖Ti项和，己知o⅛=3,Sn+1=Sn+2,那么6⅛=()

A.4B.5C.7D.9

6.已知在长方体ABCD-aBlGDl中，AB=AD=1,AA1=2,那么

直线4C与平面所成角的正弦值为（）

C.堂

DT

7.如图，点。是正方形TlBCD两条对角线的交点.从这个正方形的四个A

D

顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点。对称的概率为（）

1

-

A.5

1

4-

c∙l

D.1

2

8.圆心为（一1,2）,半径r=3的圆的标准方程为（）

A.(x-I)2+(y+2)2=9B.(x+I)2+(y-2)2=9

C.(x-I)2+(y+2)2=3D.(%+I)2+(y-2)2=3

9.已知正四棱锥P-ABC。的高为4,棱AB的长为2,点H为侧棱PC上

一动点，那么AHBC面积的最小值为（）

A.√2

β∙τ

c∙τ

D殍

10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为X,第二次得到的点数记为y,

那么事件"2，+y≤16,,的概率为（）

1511

CD

---

A.963

36

11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”

之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydaek和Pι√o∕提出的双台

子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中

的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地

震预警中，两地震台A站和B站相距Iokm,根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到4站

的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为（）

A.QkmB.6kmC.4kmD.2km

12.对于数列｛a71｝,若存在正数M,使得对一切正整数n,都有Ianl≤M,则称数列｛an｝是有

界的.若这样的正数M不存在，则称数列｛&l｝是无界的.记数列｛α71｝的前n项和为S71,下列结

论正确的是（）

A.若%=则数列｛a71｝是无界的

B.^an=nsinnf则数列｛αn｝是有界的

n

C.若αn=（-l）,则数列｛Sn｝是有界的

D.若αn=2+1，则数列｛Sn｝是有界的

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.已知空间向量N=（1,-1,0）,b=（m,1,-1）»若a上方，则实数m=.

14.在等差数列｛αn｝中，QI=2,a4=a2+6,贝IJan=.

15.两条直线53x-4y-2=0与％：3%-4y+8=0之间的距离是.

16.某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假

设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是|,且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对

其中两道题的概率为:若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两

道题的概率为.

17.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程

18.已知点P是曲线QX2+by?=1（其中Q,匕为常数）上的一点，设“，N是直线y=X上任意

两个不同的点，且IMNl=£.则下列结论正确的是.

①当αb>0时，方程ax?+⅛y2-1表示椭圆；

②当Qb<0时，方程α/+妙2=1表示双曲线；

③当b=l，且t=4时，使得AMNP是等腰直角三角形的点P有6个；

④当ɑ=*,b=l，且0<t<4时，使得AMNP是等腰直角三角形的点P有8个.

三、解答题（本大题共5小题，共46.（）分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题8.0分）

某超市有A,B,C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示,

且两人选择哪个收银台相互独立.

收银台

4收银台B收银台C收银台

顾客

甲a0.20.4

乙0.3b0.3

(1)求处b的值;

(∏)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；

(Iil)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率.

20.(本小题10.0分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，PALAD,PA=AB=2,

再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.

条件①：平面P4。1平面4BCD；

条件②：PALAB.

(I)求证:Pal平面4BC。；

(∏)求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；

(III)求点B到平面4CQ的距离.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

21.(本小题10.0分)

已知圆C：X2+y2-2x+4y-4=0,圆Cj(X-3/+(y-1)2=4及点P(3,l).

(I)判断圆C和圆G的位置关系；

(∏)求经过点P且与圆C相切的直线方程.

22.(本小题10.0分)

已知椭圆E：胃+，=l(α>b>0)的离心率为争一个顶点为4(0,1).

(I)求椭圆E的方程；

(H)若求点A的直线Z与椭圆E的另一个交点为B,且IABl=g√∑求点B的坐标.

23.(本小题8.0分)

(2yn,0≤yn<ɪ

己知无穷数列｛%｝满足公式％χ+ι=112设yι=α(0≤α≤l)∙

(2—2yn,-<yn<1.

1

ZI∖若α-

KIJ4-

(H)若'3=0,求α的值；

(DI)给定整数M(M≥3),是否存在这样的实数α,使数列｛%｝满足：

①数列｛%｝的前M项都不为零；

②数列｛%｝中从第”+1项起，每一项都是零•

若存在，请将所有这样的实数α从小到大排列形成数列｛arj｝,并写出数列｛aj的通项公式；若

不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：丫向量苍=(8,-2,1),b=(-4,l,fc)＞且五〃石，

-41k,1

—=—=.∙.k=~-,

故选:B.

利用空间向量共线的坐标运算求解即可.

本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】解：由直线，：X—y—B=0，得y=X—百，

则直线1的斜率k=1,其倾斜角为45。.

故选:A.

化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角.

本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：••・抛物线的方程为y2=-2x,

二该抛物线的准线方程为X=ɪ

故选：C.

根据抛物线的凡何性质即可求解.

本题考查抛物线的几何性质，属基础题.

4.【答案】B

【解析】解：字母e的频数为4个，

则字母“e”出现的频率是U=士

246

故选：B.

根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解.

本题主要考查频数分布表，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：依题意，由5n+ι=Sn+2%

n

可知Sn+l-S71=2,

2

当n=2时，a3=S3-S2=2=4.

故选：A.

先将题干已知条件进行转化，再根据公式即=Sn-Sn_1(n≥2)代入进行计算即可得到a3的值.

本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值.考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数

学运算能力，属基础题.

6.【答案】A

【解析】解：连接&D，如图所示：

在长方体力BCDGDi中，CD_L平面44ιDιD,

故直线4C与平面44ιDID所成角为NCaID,

2222

在长方形/14]DlD中，41。=y∕AD+AiA=V5,CA1=yjA1D+CD=√6

^.Rt∆CA1D<^,sin"4ιθ=器=+=串

故选:A.

根据棱柱的结构特征，可得直线4传与平面44。1。所成角为NcAlD,即可得

出答案.

本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力,

属于中档题.

7.【答案】C

【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有底=6种,

选的两个点关于。对称的情况有4,C与B,D,

故所求的概率为P=I="

Oɔ

故选：C.

由已知结合古典概率公式即可求解.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(x+I/+(y-2)2=9；

故选:B.

根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案.

本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题.

9.【答案】D

【解析】解：取8。中点D,连接。H,PO,OC,如图所示，

P

•••四棱锥P-为正四棱锥，.∙.POL平面4BC0,DH=BH,

∙.∙0为BD的中点，ʌOHIBD,

∙.∙OCu平面4BCD,∙∙.OCJ.PO,

•：AB=2,PO=4,.∙.BD=2√2>OC=√2.

4×√24

在直角三角形PoC中，当。，J_PC时，OH最小，为F==3,当点H和点P重合时，OH最大,最

√42+2

大为4,

4

λOH∈[-,4],

又∙∙'S>HBD=∣×2λ∕2×OH,

当0"=g时，AHBO的面积最小，为殍.

故选：D.

取BD中点。，连接OH,PO,OC,由正四棱锥的性质可知PoIoC,OHLBD,所以在直角三角

形POC中，当OHlPe时，。”最小，求出此时。H的最小值，从而求出△HBD面积的最小值.

本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题.

10.【答案】C

【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点

数记为x,第二次得到的点数记为y,

又2>y≤16=24,则x+y≤4,

则满足事件''2x+y≤16”的基本事件为(L1)，(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)共6种,

则事件"2E≤16”的概率为白=ɪ,

ɔθO

故选：C.

根据古典概型概率计算公式可解.

本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：设震中为P，依题意有∣PB∣-∣PA∣=6<∣AB∣=10,所以点P的轨迹是以A,B为焦

点的双曲线靠近4的一支，

因为∣PZ∣+∣PB∣≥=10,当且仅当A,P,B三点共线时，取等号，

所以IPBI-6+∣PB∣≥10,所以∣PB∣≥8,

所以震中到地震台B站的距离至少为8km.

故选:A.

设震中为P，根据双曲线的定义以及IP川+∖PB∖≥∖AB∖=10可求出结果.

本题主要考查双曲线的性质，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：对于4「∣αn∣=心|=打1恒成立，•・・存在正数M=1,使得Ianl≤M恒成立，

•••数列｛αrι｝是有界的，A错误；

对于8,∖an∖=∖nsinn∖=n∖sinn∖,

∙∙∙∖sinn∖≤1,ʌ∣αn∣≤n,即随着九的增大，不存在正数M,使得IQnl≤M恒成立,

・•・数列｛αn｝是无界的，B错误;

对于C,当九为偶数时，Sn=O;当日为奇数时，SrI=-1；

∣Sn∣≤1,•••存在正数M=1,使得ISnl≤M恒成立,

•••数列｛Sn｝是有界的，C正确；

4

对于Z‰⅛=⅛≤(2n-1χ2n+υ=⅛-i⅛γ)•

111Ill11

.∙.Sn=2n+l+？+?+∙∙∙+^≤2n+4(l--+---+∙∙∙+---)=2n+4(l-

1、_ɔ.8LM2”

向)=20+赤=2(n-咫+2),

∙.∙y=X-Wy在(0,+8)上单调递增，.∙.n-―jrγe6,+8),

不存在正数M,使得ISnl≤M恒成立，二数列｛Sn｝是无界的，D错误.

故选：C.

根据已知IanI≤1恒成立,A错误；an-nsinn,Ianl不存在最大值,即数列｛αzι｝无界；C项分别在

n为偶数和H为奇数情况下求和，由此可确定；。项采用放缩法可判断.

本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进

而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题.

13.【答案】1

【解析】解：因为苍=(I,—1,0),b—(m,1,-1)>α1

所以?n—1=0,解得m=l,

故答案为：L

由WLa可建立关于n的方程，解出即可.

本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】3n-1

【解析】解：等差数列｛aj中，α1=2,α4=α2+6,

所以α4—a?=2d=6,

所以d=3,

则c⅛=α1+3(n-1)=3n—1.

故答案为：3τι-l.

由已知结合等差数列的通项公式即可求解.

本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题.

15.【答案】2

∣-2-8∣

【解析】解：两条直线k3x-4y-2=0与，2：3x-4y+8=0之间的距离是EN

故答案为：2.

由已知结合两平行线间的距离公式即可求解.

本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

16•【答案】施亮

【解析】解：设甲能够答对X道题目，

ɔ

则X~B（5,令，

P（X=2）=CK∣）2×d-∣）3=⅛

若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，

则乙恰好答对两道题的概率为垓=ɪ.

故答案为:ɪ!⅛∙

根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题.

17.【答案】/_4=1（或其它以丫=±2%为渐近线的双曲线方程）

4

【解析】解：・・・渐近线方程为2%±y=0,

设双曲线方程为4/—y2=2»λ≠0,

所以双曲线的方程为/一q=1（或其它以y=±2X为渐近线的双曲线方程）.

故答案为：/—4=i（或其它以y=±2久为渐近线的双曲线方程）.

首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4∕-y2=zl,λ≠0,写出结果即可.

本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型.

18.【答案】②③④

【解析】解：方程α∕+by2=1中，当a=b>o时，可表示圆；

当ab<O时，近+9=1表示双曲线，故①错误，②正确；

在③④中：椭圆方程为α+[=1椭圆与直线y=x均关于原点对称，

248

设点P(2√^cos仇2√2sinθ),则点P到直线y=X的距离

d=[2√⅞%2√¾i”!=4∣sin(g-≡)∣∈[0,4]；

对③：t=4时，若P为直角顶点，如图1,贝IJlMM=t=4,d=2√2<4,

满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，

图1

若P不是直角顶点，如图2,则IMNl=t=4,d=4,满足APMN是等腰直角三角形的非直角顶

点P有两个，

图2

故t=4时，使得AMNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确;

对④：0<t<4时，若P为直角顶点，如图1,则IMNI=t,d=*<4,

满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个.

若P不是直角顶点，如图3,则IMNl=3d=t<4,

满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，

图3

故0<t<4时，使得AMNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；

故答案为：@(3)(4).

对①②，根据方程a/+"?=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；

对③④,求出点P到直线y=X的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d,

t的等量关系，综合可得出结论.

本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中

档题.

19.【答案】解：(I)由表可知，甲选择4收银台的概率为α=1-0.2-0.4=0.4,

乙选项B收银台的概率为b=1-0.3-0.3=0.4；

(∏)甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率为0.4X0.3=0.12；

(In)甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率为1-(I-0.4)×(1-0.3)=0.58.

【解析】(/)根据已知条件，结合概率和为L即可求解；

(∏)根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

(IIl)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解;

本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.

20.【答案】解：(I)选取条件①：平面PADI平面ABCD,

证明：；平面P4。1平面ABC。，PA1AD,PAu平面P4。，且平面P40n平面48CD=4。,

.∙.PA，平面ABCD；

选取条件②：PAA.AB,

证明：•••PAlAB,PALAD,ABU平面ZBCD,ADU平面4BCD,ABnAD=A,

：.PA_L平面4BCO；

(11)由(1)得24_1平面48。。，ABLAD,

则平面4BCC的一个法向量为方=(0,0,2),

则建立以4为原点，以AB、AD.AP所在直线分别为%轴、y轴、Z轴的空间直角坐标系4-xyz,

如图所示：

PA=AB=2,则4(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),Q(0,1,1),

设平面4CQ的一个法向量为元=(x,y,z),ΛC=(2,2,0)，福=(0,1,1)，

则｛_,,取y=—l,则X=1,z=l,

(n∙AQ=y+z=0

••・平面ACQ的一个法向量为元=(1,-1,1),

设平面4CQ与平面ABCO夹角为α,

则CoSa=ICos<屁,元>∣=j^⅛=熹=彳，

故平面ACQ与平面4BCD夹角的余弦值为导

(IIl)由(∏)得平面ACQ的一个法向量为元=(1,-1,1),

B(2,0,0),则南=(2,0,0)，

•••点B到平面4CQ的距离噌=磊=孥.

∣n∣√3ɔ

【解析】(I)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论;

(∏)由(I)得PAI平面ABC。，ABLAD,建立以A为原点，以48、AD.4P所在直线分别为X轴、

y轴、Z轴的空间直角坐标系4-孙z,利用向量法，即可得出答案；

(In)由(U)得平面ACQ的一个法向量为元=(1,-1,1),利用向量法，即可得出答案.

本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑

推理能力和运算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(/)圆C：X2+y2-2x+4y-4=0,配方为(X-I)2+(y+2产=9,

可得圆心C(I,一2),半径R=3.

圆Cj(X-3)2+(y-I)?=4,可得圆心C](3,l),r=2.

22

∙∙∙∣CC1∣=√(l-3)+(-2-l)=√13,

3-2<√13<3+2，

••・圆C和圆GI相交.

(〃)由点P(3,l),可知切线的斜率存在，

设切线方程为y-1=⅛(x-3),BPfcx-y+l-3∕c=0,

∣∕c÷2-3fc÷l∣ɔɔ

则α+必=3,解得％=0或k=一1当，

要求的切线方程为y-1=。或12X+5y-41=0.

【解析】(/)圆C：X2+y2—2x+4y—4=0,配方为(X-I)2+(y+2/=9,可得圆心C,半径

R.圆G：(x-3)2+(y-I)2=4,可得圆心Q,r.求出圆心距离IeCl与半径的和差比较即可得

出位置关系.

(〃)由点P(3,l),可知切线的斜率存在，设切线方程为y-l=k(x—3),根据直线与圆相切的性

质即可得出k.

本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

22.【答案】解：(/)因为椭圆£•务/=l(α>b>0)的离心率为多上顶点为4(0,1),

所以匕=1-=乎，即α=\j2ci

2222

因为a?=b+c,所以2c?=h+c9所以b=c=l,

所以α=√2,

4

所以椭圆E的方程为a+丫2=1.

(∏)由题意易知，斜率不存在时不符合要求.

当直线的斜率存在时，设直线，的斜率为k,则直线，：y=kx+l,

由[[2+')1:2,整理得(1+2fc2)x2+41CX=0,

因为4(0,1),

-4k1-2/

则B(），

2k2+l,2k2+l

由∣A8∣=竽，得MBl=√IT/∙∣W=殍

化简得人+1-2=0,

解得d=1或—2（舍），

所以点B的坐标为（±[,—g）.

【解析】（I）根据椭圆中α,b,C的关系求解即可；

（Il）易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线八y=kx+l,联立直线与椭

圆的方程，求出B点坐标，由∣4B∣=g√Σ化简可得Zc的方程，解方程求出/