直击2024年高考-高三数学函数题型（全国版）

函数题型专练

【函数的定义域】

【例1】函数加0=[/[「+产彳的定义域为()

1111✓LI1)

A.[-2,0)U(0,2]B.(―1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【答案】B

【解析】要使函数有意义，

'x+1>0,

则需<x+lWl,

解得-1<XW2且xWO,

所以xG(-l,0)U(0,2].

所以函数的定义域为(-1,0)U(0,2].

【复合函数的定义域】

1

【例2】函数兀r)=卜ln(3x-l)的定义域为()

A.&£

「111

I4)D1-5,2

【答案】B

［解析］要使函数段)=J-+ln(3x-1)有意义,

yjl-4f

1-4/>0,11

则J=^T<x<y.

3x-1>0'乙

.•.函数.©的定义域为&I)

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【函数的解析式】

【例3】已知y（1+i）=igx,则於）的解析式为

2

【答案】於）=lg』（x>l）

2

【解析】乞+1=（A1）,

2

贝卜二一-

t-1

2

所以7W=ig―：（»D,

%-1

2

所以y（x）=ig—"（x>i）.

X-1

【分段函数】

[cos71X,小（4、

【例4】已知外）=入_]）+1,Q1,则冒的值为（）

A.；B.-2C.—1D.1

2兀1

二COS-J-=-

.•姆+（3=1亭L

【求具体函数的单调区间】

【例5】（多选）下列函数在（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=ex—e~xB.y=\x2-2x\

C.y=x+cosxD.y=y/x2+x—2

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【答案】AC

【解析】••》=e'与j，=-e-工为R上的增函数，

.\y=e^-e-x为R上的增函数，故A正确；

由y=|尤2-2H的图象知，故B不正确；

对于选项C,y'-1-sinxNO,

，y=x+cosx在R上为增函数，故C正确；

y=yjx2+x-2的定义域为(-8,-2]U[1,+8),故D不正确.

【判断或证明函数的单调性】

【例6]试讨论函数本)=詈(。/0)在(一1,1)上的单调性.

【解析】方法一设-

x-1+1)(1、

+士[-a]1+六)

Q(X2~%1)

(X1-1)(X2-1),

由于-1<%1<%2<1/

所以％271>0,XI-1<0,X2-1<0,

故当。>0时，曲)-加2)>0,即兀n)>/(X2),函数负X)在(-1,1)上单调递减;

当a<0时，flx\)-flx£)<0,

即>1)</(X2),函数;(x)在(-1,1)上单调递增.

(ax)1(x-1)-ax(x-l)z

方法二f(x)=-------------；--------

(x-I)2

a(x-1)-axa

(X-1)2(X-I)2,

当心0时，f(x)<0,函数/)在(-1,1)上单调递减;

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当。<0时，/（x）>0,函数於）在（-1,1）上单调递增.

【比较函数值的大小】

【例7］已知函数段）为区上的偶函数，对任意XI,也以一8,0）,均有（XI—刈）师1）一加2）卜0成立,

11

若a="n止），。=穴”），则a,b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】..,对任意XI,X2E（-OO（0）,

均有（xi-X2）［/（X1）-於2）］<0成立，

...此时函数在区间（-8,0）上单调递减，

•••加）是偶函数,

.。•当Xe（0,+8）时，加）单调递增，

1

又加）='在xe（0,+8）上单调递增,

Al<e3<33,

又0<lny［2<l,

£1

：.\nyf2<^<V,

•••/”次ln@,

V）k）

即a<c<b.

【求函数的最值】

2

匕,/Y石+-4的最大值为.

［例8］函数y=

【答案】f2

【解析】令《2+4二乙贝h22,

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设//«)=/+1,

则以。在[2,+8)上为增函数，

・・h(t)min=〃(2)=2,

=,(x=0时取等号).

2

2

即y的最大值为1

【解不等式】

【例9】已知函数式log2(x+2),若加-2)>3,则a的取值范围是

【答案】(0,1)

【解析】由/(x)=(；)-log2(x+2)知，

/(X)在定义域(-2,+8)上是减函数，

且人-1)=3,

由於-2)>3,得如「2)次-1),

a-2<-1,

a-2>-2,

解得0<a<l.

【求参数的取值范围】

/，xNl,

且满足对任意的实数XIWX2都有野詈>。成立,则

[例10]函数於)=<ra\

(4-]Jx+2,x<\,

实数。的取值范围是()

A.[4,8)B.(4,8)C.(1,8]D.(1,8)

【答案】A

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炉，工21,

函数倜京3+2,XV满足对任意的实数X1WX2都有殁二㈣>0,

【解析】

X\-X2

ax,x21,

所以函数以）=,嫡是R上的增函数,

（4-+2,x<\

^>1,

则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足｛4■2>0^

-5+2,

解得4《a<8,

所以实数。的取值范围为48）.

【判断函数的奇偶性】

【例11】判断下列函数的奇偶性：

（1y（x）=^/3—X2+yjx2—3；

[x2+x,x<0,

Q阿…>°；

（3匹）=log2（x+yjx2+1）.

f3一/NO,「

解（1）由。>八得,=3,解得x=,

\x-3d）,

即函数9x）的定义域为｛—小，小｝,

从而7（x）=^/3—x2+^/x2—3=0.

因此八一X）=一加）且八一x）=/（x），

所以函数人对既是奇函数又是偶函数.

（2）显然函数次尤）的定义域为（-8,0）U（0,+8）,关于原点对称.

,当x<0时，-x>0,

则火一X）=一（―X）2—X

=—/一

当x>0时，一x<0,

则y（—x）=（­x）2—X=/_JC=-y（x）；

综上可知，对于定义域内的任意无，总有八一x）=一/）成立，

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函数次X)为奇函数.

(3)显然函数於)的定义域为R,

=10g2("\/x2+l—X)

=iog2(q?n+x)—1

=—logzC^+l+x)=-fix),

故人x)为奇函数.

【函数奇偶性的应用】

［例12］函数於)=x(e，+er)+l在区间［-2,2］上的最大值与最小值分别为初，N,则7+N的值为

()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【解析】依题意，令g(x)=xe+e-，,

显然函数g(x)的定义域为R,

贝(lg「X)=-X(Q-X+^=-g(X),

即函数g(X)是奇函数，

因此，函数g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,而人x)=g(x)+1,

则有M=g(X)max+1,N=g(X)min+1,

于导M+N=g(x)max+1+g(x)min+1=2,

所以"+N的值为2.

【函数的周期性】

【例13］已知函数/)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x,2)=%+2),当xG(0,2)时,

加0=?,则/(学)等于()

9119

A.一不B.-4C，4D.4

【答案】A

【解析】由人x-2)=/(x+2),知尸治)的周期7=4,

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又./（X）是定义在R上的奇函数,

【函数的对称性】

【例14］已知函数段）的定义域为R,对任意x都有人2+x）=/（2—尤），且｛一x）=〃），则下列结论

正确的是（）

A.-）的图象关于直线x=2对称

B.火x）的图象关于点（2,0）对称

C./）的周期为4

D.y=/（x+4）为偶函数

【答案】ACD

【解析】••7（2+x）=;（2-X）,则上）的图象关于直线x=2对称，故A正确，B错误；

••・函数加）的图象关于直线x=2对称，

贝徵-X）=/（x+4）,又人-x）=加）,

：.flx+^=flx）,：.T=4,故C正确;

：7=4且加）为偶函数，故了=加+4）为偶函数，故D正确.

【函数周期性与奇偶性结合】

【例15］已知函数/”的定义域为R.当/，时，/-/1；当1'1时,

/"）;当J-）时，则/（）.

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D;

【解析】因为当上＞；时，/（r--/I,

所以!''''f：r'1

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所以当J•时，周期为I,

故有/“，，，：，

因为当一1.一|时，/|,rl-f，一,

所以当-I・，・1时，/”是奇函数，

故而，m/111-/(1),

因为当时，/(,ri_.r'1,

所以/'1-11->

则有/，山।22.

故选I).

【函数对称性与奇偶性综合】

【例16】已知f,是定义域为IV.\的奇函数，满足/1，/'1'r.若fI2,则

/illi/i211•/150=().

A.-X)B.(IC.2D.r,0

【答案】C;

【解析】因为/一।是定义域为I'八।的奇函数，且'.''<1'।，

所以"1+/)=-/(zT),

所以/，3一：/Ir■1：］「1

所以/—I,

因此：r|/(3)+...+/(^)=12711'；I/H)：♦/⑴+/(2),

因为，3i/11),/I4I/1：2,

所以/(1J./(2I⑶+/⑷=0,

因为〃2)=/(-2)=-〃2),

所以/2i。，

从而fI，f」"7/12,

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故选

【函数对称性与单调性综合】

【例17］已知函数对定义域内任意.，都满足。一；出「，且,八在口.IX)上单调递减,

则,，,"7,,|,，二f"，的大小关系是().

A.“>b>cB.b>c>C.c>b>(1D.b>ac

【答案】D;

【解析】根据题意：/(r)=/(6r),

；.「，)关于直线；对称，

又，，在■、।上单调递减，

故,『在(宣3)上单调递增.

V33".D.31-II-

/(3^s)>/{0.3'1)>/(())，

即5>a>r,

故答案选11.

【函数对称性与周期性综合】

【例18］己知定义在K上的函数的图象关于点(；储］对称，且满足

/(-1)=|./(0)=-2,贝U卜ld/(2)+/(3什----/I2小内的值为().

A.-2B.—1C.()D.|

【答案】D;

【解析】由函数/⑺的图象关于点(-：.o)对称可知，“「」—/(一”》.

又fm=-f［)，则/(•>•：；)=/(八•

✓✓3、3\(3\

故/J彳-•1I1,»,1=1-

所以，/1是以1为周期的偶函数.

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从而，11=1,/i2l=/l1|3I=/(11=1,/(3>=/l0>=2.

故/可，-"，、/1T，；，/；•；「，/』而,，/I11.

【幕函数的图象与性质】

【例19］若幕函数>=式1,>=苫加与卜=苫"在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为

()

A.—1<m<O<n<1B.-1<n<0<m<2

C.—l<m<0<n<2D.—l<«<O<m<l

【答案】D

【解析】幕函数y=x。，当a>0时，尸x"在(0,+8)上单调递增，且0<加1时，图象上凸,

0<m<l.

当a<0时，»=下在(0,+8)上单调递减.

不妨令x=2,由图象得2」<2",则

综上可知，-l<n<0<m<l.

【二次函数的解析式】

【例20］若函数/(x)=(x+a)(6x+2a)(a,6GR)满足条件八一x)=/(x),定义域为R,值域为(一8,

4］,则函数解析式八劝=.

【答案】一2f+4

［解析］｛x)=(x+a)(bx+2d)

-bx2+(2a+ab)x+2a2.

'■"A-x)=/(x),

2a+ab=0,

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'•fix）-bx2+2a2.

VXx）的定义域为R值域为（-8,4],

：.b<0,且2a2=4,

.\b=-2,•-fix）=-2x2+4.

【二次函数的单调性与最值】

【例21】已知函数｛x）=x2—ft—1.

（1）若｛x）在区间（一1,2）上不单调，求实数t的取值范围;

（2）若后一1,2］,求正）的最小值g（f）.

［解析］段）=X2—/L1=Q—J?—1

⑴依题意，-1<2<2，

解得-2<t<4,

二实数/的取值范围是（-2,4）.

（2）①当红2,即停4时，於）在［-1,2］上单调递减，

=A2）=3-2/.

②当-14<2,即-2«<4时，

火X）min=-1-不

③当欠-1,即怎-2时,/）在［-1,2］上单调递增，

—fk-1）二△

t,-2,

综上有g。）=5-1-4,2</<4,

、3-It,fN4.

【指数幕的运算】

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门。］(4向丫

［例22］)———U---------------r(a>0,b>0)=________.

⑷(0.1尸W.A"

【答案】|

33_3

2•42a2b2a

【解析】原式==3

10a5b5

【指数函数的图象及应用】

【例23］已知实数a,6满足等式2021"=2022&,下列等式可以成立的是（）

A.a=b=0B.a<b<0

C.0<a<bD.0<b<a

【答案】ABD

【解析】如图，观察易知，。<6<0或0<6<。或。=6=0,故选ABD.

【比较指数式的大小】

【例24］若a=0.3°7,b=0.7°-3,c=1.20'3,则a,b,c的大小关系是()

A.d>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

【答案】B

【解析】\•函数y=0.3'在R上是减函数，

.,.O<O,3o-7<O.3°-3<O.3o=1,

又：幕函数y=xO3在(0,+8)上单调递增，

0.3<0.7,

.1.0<0,3°-3<0,7°-3,

Q<a<b<\,

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而函数y=12'是R上的增函数，

.,.c=1.203>1.2°=1,.,.c>b>a.

【指数方程或不等式】

【例25】已知>=4'—32-3的值域为[1,7],则x的取值范围是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,l）U[2,4]D.（-8,0]U[l,2]

【答案】D

【解析】：y=4工-32工+3的值域为[1,7],

-32'.+3W7.

或2W2*W4.

.,.无W0或14W2.

【指数函数性质的综合应用】

【例26]已知函数於）=2白一叫加为常数），若段）在区间[2,+8）上单调递增，则加的取值范围是

【答案】（-8,4]

【解析】令t=\2x-m\,则/=|2x-刈在区间e+8）上单调递增，在区间（-8,日上单调递

减.而>=2,是增函数，所以要使函数人》）=2k-训在[2,+8）上单调递增，则有当W2,

即mW4,所以m的取值范围是（-8,4].

【对数式的运算】

【例27]设2“=5』加，且>春=2,则加等于（）

A，V10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】2a-5b=m,

Iog2m=a,logsm=b.

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-logm2logm5

•,«Z)log2wlog5m-

=log,,,10=2,

nr-10,

m=yib(舍m=--s/10).

【对数函数的图象及应用】

【例28】已知函数/（x）=log"（2x+6—且。=1）的图象如图所示，则a,6满足的关系是（）

A.0<。一1幼<1B.0<6<«-1<1

C.Q<bx<a<\D.0<G<L<]

【答案】A

【解析】由函数图象可知，人x）为增函数，故.函数图象与y轴的交点坐标为（0,log滴），由函

数图象可知-l<log^<0,解得.综上有得<*1.

【比较指数式、对数式大小】

【例29】设a=log3e,QeRc=logj,则()

34

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】D

[解析】c-logj—=Iog34>log3e=a.

34

L5

又c二log34<log39=2,b=e>2,

:.a<c<b.

【解对数方程不等式】

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【例30］若loga(a+l)<log“(2W)<0(a>0,a^l),则实数。的取值范围是

【答案】a1)

［解析1依题意logfl(a+l)<logfl(2^/a)<logfl1,

a>\,0<6z<l,

,J或《

a+1<2^<1a+1>2^>1,

解得.

【对数性质的应用】

【例31】设函数段)=ln|2x+l|Tn|2x-l|,则兀r)()

A.是偶函数，且在弓，+8)上单调递增

B.是奇函数，且在(一；，上单调递减

C.是偶函数，且在(一8,—2上单调递增

D.是奇函数，且在(一8,一§上单调递减

【答案】D

【解析】")=1吟+1|-ln|2x-1|的定义域为,卜。士3

又/(-x)=ln|-2x+11-ln|-2A:-11

=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-J(x),

•••40为奇函数，故排除A,C.

当xd(-8,-£)时，

-2x-1

fix)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=In-----------

1-2x

2x+1।

=In-------=In

lx-1)

•.?=l+=-在(-8,一专上单调递减,

2x-1v々

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由复合函数的单调性可得40在(-8,-0上单调递减.

【函数零点所在区间的判定】

【例32］(多选涵数加)=H—x—2在下列哪个区间内必有零点()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

【答案】AD

【解析】X-2)=^2>0,X-1)=1-1<0,

负0)=-KO,/l)=e-3<0,

/2)=e2-4>0,

因为八-2)4-1)0,Xi)-X2)<o,

所以八x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.

【函数零点个数的判定】

【例33］若函数y=/(x)(xeR)满足於+1)=一/)，且正［—1,1］时，/)=1一居已知函数g(x)=

f|lgx\,x>0,

,则函数〃(x)=/(x)—g(x)在区间［―6,6］内的零点个数为()

［ex,x<0,

A.14B.13C.12D.11

【答案】C

【解析】因为｛x+1)=-於)，

所以函数y=Xx)(xeR)是周期为2函数