四川省达州外国语学校2023-2024学年高三9月月考（理科）数学试题

达州外国语学校高三上学期9月月考

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1.设集合。={1,2,3,4,5,6},J={1,3,5},5={3,4,5},则q,（/lu8）=（）

A.{3,5}B.{2,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

2.复数z=4+"三3/的虚部为（）

i-2

A.2zB.-2iC.2D.-2

3.已知命题P：V〃eN,2"-2不是素数，则可为（）

A.gN,2"-2是素数B.V〃eN,2"-2是素数

C.T”任N,2"-2是素数D.3neN,2"-2是素数

4.2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路

车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率=（今年车流量

一去年同期车流量）+去年同期车流量xlOO%））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结

302

论错误的是（）0%

2515%

0%

1

20

A.2023年4月19日至4月25日的高速公%

5

15

路车流量的极差为235%w

100'-

B.2023年4月19日至4月25日的高速公5-

路车流量的中位数为17-15%

19日20日21日22日23024日25日

C.2023年4月19日至4月21日的高速公■2023年4月19日至4月25日♦同比增长率

高速公路车流量

路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差

D.2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次

x-2y<0

5.若实数x,y满足卜x+y+4>0,则z=3x+2歹的最大值为（）

A.8B.6C.-D.——

6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来

说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段

乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）

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A.y=sinx+—sin2x4--sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

.1,1,1rle

C.=smx+—COSZX+—cos3xD.N=COSX+QCOS2X+§COS3K

7.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工

智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且

每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共

有（）

A.480种B.360种C.240种D.120种

8.若函数y=cos"+^）（。>0）在区间上恰有唯一极值点，则0的取值范围为

（）

-171（171（171（2

A-15MB-l?6jC-D.序于

9.通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用/表示,

强制性国家标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求,

即通过地震面波质点运动最大值（//T）皿进行测定，计算公式如下

"=lg（Z/T）s+L661gA+3.5（其中』为震中距），已知某次某地发生了4.8级地震，测得

地震面波质点运动最大值为0.01,则震中距大约为（）

A.58B.78C.98

10.如图，平面四边形/C8D中，AB1BC,ABLDA,

AB=AD=\,BC=6,现将沿48翻折，使点。移

动至点尸，SLPALAC,则三棱锥P-N8C的外接球的表面积

为（）

A.8万B.6乃C.4nD.------n

3

11.已知P为双曲线*-白=1（4>0,6>0）左支上的一点，双曲线的左、右顶点分别为A、

B,直线8P交双曲线的一条渐近线于点。，直线HP、4。的斜率为尢、&,若以48为直

径的圆经过点。，且2勺+&=0,则双曲线的离心率为（）

A.-B.2C.72D.—

22

12.若函数“X）的定义域为R,且/'（2x+l）偶函数，/'（x-1）关于点（3,3）成中心对称，则

第2页，共18页

F列说法正确的个数为()

①/(x)的一个周期为2②"22)=3

19

③/(X)的一条对称轴为x=5④£/(，)=57

f=l

A.1B.2C.3D.4

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.(x-l)(x+iy的展开式中，/的系数为.(用数字作答)

14.若向量£=(1,1),5=(1,2),BL(a-Ab)rh,则实数2的值为

15.已知正方体的棱长为4,点P在该正方

体的表面上运动，且R4=4应，则点尸的轨迹长度

是.

16.对于数列｛4｝,定义4=q+2/+…+2”4为数列｛4｝的“加权和”,已知某数列｛q｝的

“加权和”4,=〃2田，记数列｛%+8｝的前〃项和为小若4n对任意的“wN•恒成立,

则实数p的取值范围为

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(-)必考题：第17至21题，每小题12分，共60分.

.…cosAcosC

17.在“鸟。中，——=----

2b-ac

(1)求角C的大小.

⑵若a=3,的面积为66，。为48的中点，求CO的长.

18.现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.

(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;

(II)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3:

4

答对每道乙类题的概率都是］,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,

求X的分布列和数学期望.

19.如图，在四面体/8CZ)中,MBDQBCD均为等边三角

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形，AB=2,点E为ZC的中点，NEBD=45°.

(1)证明：直线。平面Z8C：

⑵设点F在加上，犯求二面角。-"-尸的余弦值.

20.已知椭圆C:7V=l(a>b>0)的左右焦点分别是耳，网,点P在椭圆C上，以P耳

为直径的圆E:/+1-；)=、过点用.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知4,5是椭圆C上两个不同的动点，以线段48为直径的圆经过坐标原点O,是否存

在以点。为圆心的定圆与N8相切？若存在，求出定圆的方程，若不存在，说明理由.

21.已知函数/(》)=(加+，)lnx+：-x,(其中常数机>0)

⑴当加=2时，求〃力的极大值；

(2)当〃?e[3,+8)时，曲线》=/")上总存在相异两点以士,/(占))、。(&,/伍))，使得曲线

y=/(x)在点P、。处的切线互相平行，求西+X2的取值范围.

(二)选做题：请在22,23题中任选一题作答，如果多答，则按所答的第一题计分.

0,fx=2+2cos0

22.在平面直角坐标系中，曲线4：/一丁=2,曲线C,的参数方程为。.°

(6为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线£、C2的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，射线。£与曲线G,G分别交于A、B两点(异于极点0),定点A/(3,0),

求AM48的面积

23.己知正实数满足2x+y=l

(1)解关于x的不等式2(x+y)+|x-y区g；

(2)证明：>36.

参考答案：

1.B

【分析】根据集合的交集补集运算.

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【详解】由"={1,3,5},5={3,4,5},得ZU8={1,3,4,5},

所以［«。8)={2,6},

故选：B

2.D

【解析】根据复数的除法运算，化简出z,即可得出虚部.

【详解】解:

i-2(/-2)(/+2)-5

故虚部为-2.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.

3.D

【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】命题P为全称量词命题，该命题的否定为Y泪〃eN,2"-2是素数.

故选：D.

4.C

【分析】通过计算得到选项AB正确：观察数据的波动情况，得到选项C错误；设2022年

4月23日的高速公路车流量为x万车次，则二，x100%=10%,解得》=20,故D正确.

X

【详解】对于A：由题图知，2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为

25-2=23,故A正确；

对于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17,故B正确；

对于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量波动更大，故C错误；

对于D：2023年4月23日的高速公路车流量为22万车次，同比增长率为10%,设2022年

4月23日的高速公路车流量为x万车次，则二，x100%=10%,解得》=2(),故D正确.

X

故选：C.

5.A

【分析】根据约束条件，作出不等式组所表示的平面区域，再作直线/：3x+2y=0平移求

解.

【详解工作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，

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其中Z'5(2,1),

作直线/：3x+2y=0,平移直线/,

当其经过点8(2,1)时，z有最大值8,

故选：A.

6.A

【分析】由图像可知，该函数为奇函数，根据奇偶函数的定义，得出A,B为奇函数，再根

据函数图像中判断出A对，B错：由图像得"0)=0,判断出C,D错误，即可

得出答案.

【详解】对于A,函数y=〃x)=sinx+gsin2x+；sin3x,

因为/(-x)=-sinx-gsin2x-；sin3x=-/(x),所以函数为奇函数，

又个］=农+1+必=_1+逑＞o,故A正确；

1,4)22623

对于B,函数夕=/(X)=sinx-；sin2x-；sin3x,

因为/(-x)=-sinx+；sin2x+；sin3x=-/'(x),所以函数为奇函数，

故B错误;

函数y=/(x)=sinx+；cos2x+；cos3x

对于C,

因为/(°)=1+:=230,故C错误;

236

对于D,

/(0)=1+1+1=^0,故D错误,

故选：A.

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7.B

【解析】将人脸识别方向的人数分成：有2人、有1人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计

算出不同的分配方法数.

【详解】当人脸识别方向有2人时，有=120种，当人脸识别方向有1人时，有C，：=240

种，.•.共有360种.

故选：B

【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.

8.C

【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.

・、，，(兀八、K(con兀兀、

【详解】当工£一彳,。，cox+—e\---,

\ZJo\2o07

由于》=8$(0*+仁)(0>0)在区间15,0)上恰有唯一极值点，故满足一兀<-苧+已<0,

解得,

故选：C

9.C

【分析】由题意，"=4.8,(4T濡=0.01,代入式子可得△“10小，结合选项估计，即得

解

【详解】由题意,M=4.8,(M)皿=0.01

代入必=1g(//T)H+1.661gA+3.5

可得4.8=lg0.01+l.661gA+3.5

.-.1.661gA=4.8-3.5+2=3.3

33

IgA=—»1.988

1.66

.1.A«10L988<102=100

因此震中距/是接近100但小于100的数

结合选项，震中距大约为98

故选：C

10.C

【分析】由题意可得P4J■面/8C,可知P/L8C,因为4BJ.BC,则8c立面P48,于是

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8cLp8.由此推出三棱锥P-/8C外接球球心是PC的中点，进而算出CP=2,外接球半

径为1,得出结果.

【详解】解：由。/_L/8,翻折后得到尸又P4LAC,

则尸41面Z8C,可知产/工8c.

又因为28C,则面尸”8,于是8c，尸8,

因此三棱锥P-ABC外接球球心是PC的中点.

计算可知CP=2,则外接球半径为1,从而外接球表面积为4*

【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论

证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题.

11.D

212

【分析】设点。（私〃），可得出与，利用圆的几何性质可得与B=一不，由

m—a"a伤

k1L2

2勺+&=O=-r=J，即可得出勺的值，由此可求得双曲线的离心率.

与2/

222

【详解】设点人"?,〃），则±-4=1,即有＜—耳，①

a2b2m2-aa~

由”（一0,0）、8（凡0）以及以AB为直径的圆经过点。可知AQLPB,

所以《力力=Tnkx-7~，

k?

又左]二,kpB—,所以，

m+am-a

由题意知2,+%2=0n_?=J，所以一?•=」一x/一=一~-=②

«2幺k2m-am+am-a''2

由①和②得［=2，由c2=a2+b2=得e=£==^~.

a122aU2

故选：D.

12.C

【分析】由题意,根据函数的对称性,可得/（1）=/（1+x）,/（2-[=6-/（2+x）,且

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/(2)=3,根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根

据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的

对称性，可得〃1)+〃3)=6,/(2)+/(4)=6,可判④的正误.

【详解】因为/(2x+l)偶函数，所以〃l-2x)=〃l+2x),贝4(l-x)=/(l+x),即函数/(X)

关于直线x=l成轴对称，

因为函数/(x)的图象是由函数/(x-1)的图象向左平移1个单位，所以函数/(x)关于点

(2,3)成中心对称，则/(2-x)=6-/(2+x),且"2)=3,

对于①，/(x+2)=6-/(2-x)=6-/(1-(x-1))=6-/(1+x-l)=6-/(x),

/(x+4)=/(2+x+2)=6-/(2-x-2)=6-/(-x)=6-/(l-(x+l))

=6-/(l+x+l)=/(2-x)=/(l+l-x)=/(l-l+x)=/(x),则函数/(x)的周期T=4,故

①错误；

对于②，/(22)=/(2+4x5)=〃2)=3,故②正确；

对于③，/(5+x)=/(l+x+4)=/(l+x)=/(l-x)=/(l-x+4)=/(5-x),故③正确；

对于④，/(1)=/(2-1)=6-/(2+1),则/(1)+/(3)=6,

/(4)=/(0)=〃1-1)=/(1+1)=〃2)=3,贝ij42)+/(4)=6,

由19+4=4……3,则

19

Z/(i)=/0)+/(2)+…+/(19)=4(/(1)+〃2)+/(3)+〃4))+/07)+/(18)+/(19)

i=l

=4x(6+6)+/,⑴+/(2)+/(3)=48+6+3=57,故④正确.

故选：C.

13.9

【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出d的系数.

【详解】(x-l)(x+l)6的展开式中，X、的系数为优-。：=9,

故答案为：9.

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【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求得实数力的值.

【详解】解：••・向量万=(1,1),3=(1,2),且0-亦)

二.伍-焉)石=&石-篇2=(1+2)-5/=0,

则实数4=13,

3

故答案为：~.

【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题.

15.6兀

【分析】由已知可判断点尸可能在平面4与。2内，可能在平面5CC£内，可能在平面

DCGA内.先求解当点尸在平面44GA内时，可推得点p的轨迹为以点4为圆心，4为半

径的圆与正方形44GA边界及其内部的交线.然后根据扇形的弧长公式，即可得出当点尸在

平面内时，点p的轨迹长度是2兀，进而得出答案.

【详解】因为"=4近＞4,所以点P可能在平面44GA内，可能在平面5CC4内，可能

在平面OCG2内.

当点p在平面481GA内时，

由平面44GA，/fu平面4B|GR,可知14,4尸，

所以尸才=4/；+4P2,所以4P2=PA2_AAI=9④)?-甲=16,

所以点p到4的距离为4,

所以点尸的轨迹为以点4为圆心，4为半径的圆与正方形44GA边界及其内部的交线.

7T

如上图，ZD^B,=-,4耳=4,

则丽的长/=段4=2兀，

第10页，共18页

所以，当点尸在平面4片G。内0寸，点P的轨迹长度是2兀.

同理可得，当点尸在平面8CG耳内时•，点尸的轨迹长度也是27t.

当点尸在平面。cq&时，点尸的轨迹长度也是27t.

综上所述，点尸的轨迹长度为2兀+2兀+2兀=6兀.

故答案为：67r.

「127一

⑹[一?工

【分析】根据数列新定义可得4+2出+...+2"2%+2"一&=".2叫从而〃22时，

2n

al+2a2+-+2"-a„_i=(n-l)-2,相减求得a,=2w+2,进而求得7；的表达式，利用

对任意的〃eN,恒成立，列出不等式组，即可求得答案.

【详解】由题意可得a,+2%+...++2-'a„=n-2向，

2

,“22时，a]+2a2+---+2"-a„_l=(n-1)-2",

两式相减可得：2"%,=〃.2向―(〃T).2”,

化为=2〃+2,

”=1时，4=2°=4,满足上式，

故a,,=2n+2,neN,

_八八、〃(4+2〃+2)〃(〃+1)/八n(n+1)

故[=〃]+出+…+〃〃+P(1+2H--F〃)=-----------+p----——=n(n+3)+p----——,

・・・]《4对任意的」£小恒成立,

・{T4<T5128+10/7<40+15/7

**[7；<7；，'[54+21pK40+15p'

127F127-

解得一--即夕£一~,

■127'

故答案为：---

【点睛】关键点点睛：根据数列新定义可得％+2〃2+...+2〃一2%+2”%=〃.2向，从而〃22

时，％+24+-・・+2〃-24I=5—1).2〃，相减求得可，从而可求得[的表达式，因此解答的

第11页，共18页

AM

关键就在于将T„<TS对任意的〃€N'恒成立转化为解的问题.

17.（l）y

⑵卑

2

【分析】（1）首先利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到cosC,

即可得解；

（2）首先由面积公式求出6,再由。为N8的中点，得至I」方=g（0+而），最后根据数量

积的运算律计算可得；

【详解】（1）解：因为誓'所以ccos4=（2b-a）cosC,

2b-ac

由正弦定理可得sinCcosA=(2sinB-sin)cosC,

即sinCcosA+sinAcosC=2sin8cosC

即sin(C+^)=2sin5cosC,

即sin(1一8)=2sin8cosC,

即sin8=2sinBcosC,又sin8〉0,所以cosC=—,

2

因为。£（0,乃），所以。二q

（2）解：因为/处=!〃从沿。=6百，BP-x3ftx—=6A/3,所以b=8,

222

又。为N8的中点，所以函=g（B+砺），

---21

所以8=7CB+2CA-

97

82+32+2x3x8x-

24

所以西卜孚；

18.（I）|（ID见解析

6

【分析】（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有C3张同学至少取到1道乙类题

的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解

（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值

第12页，共18页

的概率，即可求解分布列及期望值

【详解】解：（/）设事件/="张同学至少取到1道乙类题”

则；?=张同学至少取到的全为甲类题

£L5

:.P(A)=1-P(J)=1-=

6

（〃）X的所有可能取值为0,1,2,3

。）=强|）。•令•缶高

尸(X=l)V28

125

57

P(X=2)=•(—-)2+C\

-55555125

P(X=3)@(|Y)嗯

X的分布列为

X0123

4285736

P

125T25125125

〜八4,28f57、36r

EX=0x----F1x----F2x---F3x---=2

125125125125

【点睛】本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望

值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力.

19.（1）证明见解析；

用而

【分析】（1）证明ABEQ为以8。为底边的等腰三角形，进而证明OELBE,OE1/C再根

据判定定理即可证明结论；

（2）以方，而，丽的方向分别为x/，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即

可.

【详解】（1）证明：因为“BDqBCD均为等边三角形,

所以D4=DC,B4=BC.

因为点E为/C的中点，

所以。E_LXC,5EJ./C,

第13页，共18页

2

所以，DE=BE=

所以，ABED为以8。为底边的等腰三角形，

因为NE5Z)=45。，

所以N£)E8=90",即。E18E,

因为4。(13后=瓦/。,8£匚平面工8(^,

所以OE1平面/8C.

(2)解：由(1)依iDELBE,DEJ.AC,BELAC,

所以，以成，而，丽的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图,

所以,0(0,0,正),/(0,0,0),C(-6,0,0),8(0,72,0)

因为叫皿所以小岑，斗

设平面ZCF的一个法向量为7=(X,NZ),

信近3五门

V2xH------yH---------z=0

AFn=044

则一，即令z=l得〃=(0,-3,1),

C/方=0

，2x+——v+---z=0

44

因为平面ACD的一个法向量为m=(0,1,0),

/----\tnn-3-3A/10

所以,\cos(下H2I,〃h)l=i一i「二］=—T=1°=-，---

第14页，共18页

所以，二面角。-/C-F的余弦值为亚.

10

->-）

20.⑴三+匕=1

42

,,4

⑵存在，/+_/=§

【分析】（1）对于圆E令歹=。得。、片、工的坐标，且OE〃货，由2a=|产用+附矶求出a

可得椭圆C的方程；

（2）设，（芭,必），B（x2,y2）,当25斜率存在时,直线45的方程为八年+m与椭圆方程联

立，由韦达定理代入列.丽=0的坐标运算得3〃/=4。+公），再代入原点。到48的距离

为d；当AB斜率不存在时由题意知归|=|M|求出圆心。到AB的距离可得答案

【详解】（1）对于4:/+,-£|-=*,令y=0,得》=±夜，

所以c=近,6（-&,0），F小区0）,

圆心为因为OE〃桃，所以P（啦,1）,

所以2a=户川+户周=4,所以。=2,

所以椭圆C的方程为：—+^=1；

42

（2）设,&,乂）,8卜2,%），

当斜率存在时，直线Z8的方程为尸=h+，”，

x2y2

•T+T=,7肖去V得（1+2左2）x?+4左wx+2m2-4=0,

y=kx-^-m

A=16*2m2-4（l+2k2）（2m2-4）,

=8（止+2-叫>0,

-4km2m2-4

再+X）=-2，X,Xj=------，

-1+2-12i+2左2

因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点。，所以次.痂=0,

xtx2+y2y2=xtx2+（fcv,+W）（AX2+w）=0,

2

（1+左2）X|X2+（x,+x2）+/M=0,

第15页，共18页

-4km

+加2=o,

EM江1+242

化简得：3m2=4（1+公）,

原点。到AB的星巨离为d=二爰，

9->

当Z8斜率不存在时由题意知：|芭|=|必|,9+左=1,

42

2

圆心。到/B的距离〃=|占|=耳,

综上所述，存在以O为圆心的定圆与直线相切，定圆的方程为/+/=：

53

21.(1)—In2——

(2)(*)

【分析】（1）利用导数分析函数/（X）的单调性，即可求得函数/（X）的极大值;

1

（2）由/"（X1）=/"（X2）（X］、占＞0且国力工2）可得出再+々=〃？+—X,x,利用基本不等

m2

44

式可得出国+々＞京工对加式3,y）恒成立，求出京工在加43,y）时的最大值，即可得

mm

出演+々的取值范围.

【详解】（1）解：当阳=2时，/（x）=glnx+J-x,该函数的定义域为（0,+司,

当0＜x＜；或x〉2时，/z（x）＜0；当g＜x＜2时，/f（x）＞0,

所以，函数小）在（0,3）和（2,+8）上单调递减，在区2）单调递减

2

S4

故函数“X）的极大值为/（2）=；ln2-j

1m+-1

（2）解：因为/（x）=m+—inx+x~x,则/"(x)=—包

m

由题意，可得/'（七）=/'（々）（々、%＞0且再**2）,

1

…掰+一i阳+—1

即m1

mH——3

须m

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因为玉片々，由不等式性质可得<（2产）恒成立，

又不、々、〃?>0,所以，西+*2<（加n玉+x2Uy对〃?«3,”）恒成立，

m

令g（m）=〃2+'（加23）,则gr