古典概型-2021年新高考数学一轮复习

若翼就型

【命题解读】

古典概型是高考中的常考知识点，其背景一般较为新颖，常与排列、组合、统计知识

交汇出题，多以选择或者填空为主，与现实结合较为紧密，难度以中低难度为主。

【命题预测】

预计2021年的高考古典概型出题多与其它知识相联系出题，利用古典概型的概率计算

公式求解。

【复习建议】

1.理解什么是古典概型；

2.能计算古典概型中简单随机事件的概率。

考向一古典概型的概率问题

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基

本事件的概率都是;;如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)=

A包含的基本事件的个数

4.古典概型的概率公式:P(A)=~基本事件的总数-,

口典例剧折

1.【2020全国高三专题练习】中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五

种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中

随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（

【答案】D

【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共=10种，

而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率尸=1-2=，

102

故选：D

2.【2020全国高三（文）】2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员

不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若某医疔团队从甲，乙,

丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为.

【答案】|

【解析】某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，

基本事件有（甲,乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个.

甲被选中包含的基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁）共3个，

31

・•・甲被选中的概率为p=—=—,

62

故答案为：—.

2

考向二古典概型与其它知识点的结合

"典例制中

1.【2020全国高三专题练习】已知直线（：龙一2y-1=0,直线"：ax-by+l=0,

其中〃，bG{1,2,3,4,5,6}.则直线l与12的交点位于第一象限的概率为

【答案】7

6

x—2y—1—0、

【解析】由，0此（{1,2,3,4,5,6},

办―by+l=01

b+2

x->0

b-2a

解得：<

-1-a

y=>0

2a-b

解得：b>2a,

所以当。=1时，b=3,4,5,6；

当a=2时，b=5,6；共6种，

尸—.........-—

6x66

故答案为：—.

6

2.【2020全国高三其他模拟（理）】二项式6+—k的展开式中，二项式系数的和

I2密）

为256,把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为.

【答案】V

12

【解析】因为二项式系数的和为2〃=256，解得〃=8,

CjY

所以二项式Vx+的展开式的通项为

2近,

如Y（«）点=瑞出产,

其中当左=0,3,6时为有理项.

因为二项式的展开式中共有9项，所以全排列有用种排法,

其中3项为有理项，6项为非有理项，且有理项要求互不相邻,

可先将6项非有理项全排列，共或种排法，

然后将3项有理项插入6项非有理项产生的7个空隙中，共用种插法,

8走5

所以有理项都互不相邻的概率为尸=与在=0.

故答案为：—

12

3.12020全国高三专题练习】我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第/专业组，并顺

利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、

力学类这三个专业中的某一个专业,则这三个专业都有我校学生的概率是（结果

用最简分数表示）.

【答案】iT

【解析】：将5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三

个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有3x3x3x3x3=243种，

三个专业都有我校学生的概率：——=一,

24381

故答案为：——.

81

装检测训练

题组一（真题在线）

1.【2019年高考全国II卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标,

若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为

2.【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则

点数和为5的概率是.

3.【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取

球，每次取1个,不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为4,则P©=0）=

,E®=.

4.【2020年高考全国I卷文数】设。为正方形ABCD的中心，在。，A,B,C,。中任取3

点，则取到的3点共线的概率为

2

5

4

5

题组二

1.【2020全国高三其他模拟】《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华

文化、阴阳五行术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在

左，四、九在右，五、十背中，如图，其中白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示

阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有1个偶数的

概率为（）

2.【2020全国高三专题练习（理）】琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、以、笙和鼓这十

种民族乐器被称为“中国古代十大乐器为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题

材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课

只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器

互不相邻的概率为（）

1171

A.-----B.-C.—D.—

36061515

3.【2020全国高三专题练习（理）】如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收

藏于中国台北故宫博物院.有甲、乙两人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该

图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的两个动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方

式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是

)

4.【2020全国高三专题练习（理）】《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象

变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻

组成，其中“一””表示一个阳爻，“表示一个阴爻）.若从八卦中任取两卦，这两

卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率为（）

5.【2020全国高三专题练习】算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直

柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上

部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一

颗上珠，则表示数字65,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机

选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（）

6.12020全国高三专题练习】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数则直线

砒+少=0与圆（X-2/+产=2有公共点的概率为.

7.【2020全国高三专题练习（理）】辐子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大

的土块.农人便用六片叶齿组成辐轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又

能增加重量，让牛拉动辐轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，

即布施、持戒、忍辱、精进、禅定与般若.若甲、乙每人依次有放回地从这六片叶齿中随机取一

片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为.

8.12020上海高三一模】一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个

蓝色、5个黑色.经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到

的概率为.

9.【2020江苏南通市高三月考】《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商

高发现，故又称勾股定理为商高定理.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称

为勾股数.现从6、7、8、9、10这5个正整数中随机抽取3个数，则恰好构成勾股数的

概率为.

10.【2020全国高二课时练习（理）】某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该

产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价M元）88.28.48.68.89

销量y（件）908483807568

由表中数据,求得线性回归方程为y=-20.什6.若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左

下方的概率为.

学答案解析

题组一

1.B

【解析】设其中做过测试的3只兔子为a,4c,剩余的2只为A8,则从这5只中任取3只

的所有取法有

{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B],{a,c,A},{a,c,B],{a,A,B},{b,c,A},

{b,c,B],{b,A,B},{c,A,B],共10种.

其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B}，{仇c,A},{b,c,B},

共6种，

所以恰有2只做过测试的概率为指=|,故选B.

【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

41

出现向上的点数和为5的概率为P=—=—.

369

故答案为：—.

11.1

'3'

【解析】因为4=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球,

所以=0）=—I—X—=—,

4433

随机变量。=。，1,2,

…八212111211

P(c-1)=—X—+—X—X—+—X—X—,

434324323

所以E(J)=0x；+lxg+2xg=l.

故答案为：—；1-

4.A

【解析】如图，从。AAC,05个点中任取3个有:

｛。3,。｝,｛。。,。｝,｛43,。｝,｛48,。｝,｛AC£>｝,｛8,C。｝共10种不同取法,

3点共线只有｛A。。｝与｛瓦。。｝共2种情况，

由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为g=g.

故选A.

题组二

1.D【解析】由题可知，这10个数中5个奇数5个偶数,

所以取出的2个数中至少有1个是偶数的概率P=

故选：D

2.B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为A3从除琵琶、二胡、编钟三

种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有用种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中

挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有用种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且

这三种乐器互不相邻的情况种数为耳耳.

所以所求的概率p==—>

Ao6

故选：B.

3.C【解析】依题意，基本事件总数是禺=24,设事件A表示甲只能模仿“爬”或“扶”且乙

只能模仿“扶”或“捡”，

①若甲模仿“爬”，则乙能模仿“扶”或“捡”，有2种选择，剩余的2人全排列用=2种排

法，故有2x2=4种排法；

②若甲模仿“扶”，则乙只能模仿“捡”，剩余的2人全排列尺=2种排法，故有1x2=2

种排法，

故A包含4+2=6个基本事件，P（A）=—=-.

\/OAA

故选：c.

4.B【解析】从八卦中任取两卦的基本事件有=28圭卜,

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，没有阳爻的是坤卦,

所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的基本事件有3x1=3卦,

33

所以两卦的六个爻中恰有一个阳爻的概率P=k==•

Co2d

故选：B

【解析】在个、十、百、千位档中随机选择一档拨上一颗下珠，再随机选择两个档位各拨

一颗上珠，所有的数有c：c：=24个，其中小于600的有C；C；-=7个,

7

.♦•所求概率为P.

【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a力可得“=6x6=36种结果，由直线与圆

2Q

(x—2『+V=2有公共点可得/2"RV0na<少，故满足a<b的结果有

m=6+5+4+3+2+1=21种，由古典概型的计算公式可得：直线依+外=0与圆

(九一2)2+/=2有公共点的概率为尸='=—=’,应填答案—.

n3612

6

【解析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为。，b,c,d,e,f,

则基本事件有(a,a),(a,b),(a,c),(a,e),(a,f),

(b,a),(b,b),{b,c),(b,d),(b,e),(b,/),

(c,«),(c,c),(c,d),(c,e),(c,/),

(d,A),(d,c),(d,d),(d,e),

(e,a),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),

(/,a)，(fc)，(/,d)，(/>),(/,/),

共36个，其中符合条件的有6个，故所求概率尸=?=!.