2024年广东省高考数学一轮复习第2章：函数与方程（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第2章：函数与方程

一、单项选择题

1.函数7(x)=ex+2x—5的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

答案B

解析函数1x)=e，+2x—5在R上单调递增，而负l)=e—3<0,_/(2)=e2—l>0,

由函数零点存在定理知，函数1x)的唯一零点在区间(1,2)内.

2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速

走了一圈(路线为AB-8。-04),则小明到。点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间

f之间的函数图象大致是()

解析小明沿AB走时，与。点的直线距离保持不变，

沿8。走时，随时间增加与O点的距离越来越小，

沿。4走时，随时间增加与。点的距离越来越大，故结合选项可知D正确.

答案D

解析因为—吧,XW。，故、=吧为奇函数,图象关于原点成中心对称,

]a|r—11

将函数图象向右平移1个单位长度可得的图象,

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所以的图象关于点(1,0)成中心对称，排除A,B；

又当她U=o时，x=o或x=2,故了=里三11的图象与X轴有2个交点，排除C.

4.在使用二分法计算函数/U)=lgx+x-2的零点的近似解时，现已知其所在区间为(1,2),

如果要求近似解的精确度为0」，则接下来需要计算次区间中点的函数值()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为区间(1,2)的长度为1,每次二等分都使区间长度变为原来的;，

3次取中间值后，区间(1,2)的长度变为七下二上乂)」，不满足题意，

4次取中间值后，区间(1,2)的长度变为(；)4=点＜0.1,满足题意.

5.信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信

号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，声

压的衰减过程可以用指数模型：P(s)=PoeY描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单位:

米)的变化规律，其中办为声压的初始值，常数K为试验参数.若试验中声压初始值为900

帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：

In2公0.69,In3^1.10)()

A.0.162B.0.164

C.0.166D.0.168

答案B

解析由题意知，400=900e_5/c,

两边取自然对数，则In4=ln9—5K,

-In9-ln42(ln3-ln2)2X0.41

所以K=-------一--------—g—=0.164.

fln(—x),无＜0,

6.已知«x)=I-j则函数丫=^(尤)一纨%)的零点个数为()

[2x^O,

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析由题设，当x＜0时，,/U)GR且单调递减，当x》o时，y(x)e(o,i)且单调递减,

2

令，="r),则了=3产-2/=0,可得，=0或/=可，作出函数/W的图象，如图所示，

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2

由图知，当，=0时有一个零点，当r=g时有两个零点，故共有3个零点.

7.已知函数<x)=2，+logK，且实数“>6>c>0,满足人必愀。)<0,若实数项是函数)=於)

的一个零点，那么下列不等式中一定不成立的是()

A.x^<aB.xo>a

C.xo<bD.xo<c

答案D

解析由函数的单调性可得，

函数_Ax)=2，+log2X在(0,+8)上单调递增，

由加次切(c)<0,

则式a),人与，大c)为负数的个数为奇数，

选项A,B,C可能成立；

对于选项D,当项<c时，

由函数的单调性可得式a)>0,4b)>0,«)>0,

即不满足加求切(c)〈0,

故选项D不可能成立.

[fix—2),x>l,

8.(2022・西安模拟)己知函数兀0=-若函数g(x)=/(x)—log«(x+l)恰有3

[|x|—1,一IWxWl,

个零点，则实数4的取值范围为()

n

rl-B

A.?

5一37

答案B

解析令g(x)=Ax)—1og“(x+1)=0,可得於)=log“(x+1),

所以曲线y='/(x)与曲线y=log“(x+1)有三个交点，

当时，曲线y=/(x)与曲线y=k>g«(x+l)只有一个交点，不符合题意;

当0<〃<1时，若使得曲线y=/(x)与曲线y=log“(x+l)有三个交点，

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|10ga3>—1,

则\log«5<—1,解得

[0<6f<1,

二、多项选择题

9.净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径

为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、

悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤

前水中大颗粒杂质含量为50mg/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L,

则PP棉滤芯层数不可能为()

(参考数据：Ig2*0.30,1g3=0.48)

A.5B.6C.7D.8

答案ABC

解析由题意得，经"层棉滤芯过滤后水中大颗粒杂质含量为50。-4〉=5OX停下,nGN*,

则50X(§"W2.5得，20X停>W1,

所以lg20+阙、W0,

lg10+lg2+n(lg2-lg3)W0,

所以l+0.3+(0.3—0.48)〃W0,1.3W0.18〃，

得心系，

因为〃为正整数，

所以〃的最小值为8.

X2+2X,

10.设函数段)={则g(x)=/U)一m的零点个数可能是()

\nx-x,x>0,

A.1B.2C.3D.4

答案AB

『+2x,

解析由函数'得/<-1)=70)=-1，

Inx-x,x>0,

则函数g(x)=/(x)—用的零点个数就是函数y=y(x)的图象与y=m的交点个数,

画出>=人》)和y=，"的图象，如图所示，

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由图可知，当〃?>0时，两个函数的图象有1个交点，

当机W0时，两个函数的图象有2个交点，

所以函数的零点可能有1个或2个.

11.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射

后每毫升血液中的含药量），（微克）与时间，（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进

一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

A.a=3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物1小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5短小时

答案AD

pk,OWrcl,

解析由函数图象可知

当t=l时，y=4,

即解得〃=3,

(At,OWf<l,

故A正确,

药物刚好起效的时间，当47=0.125,即/==

药物刚好失效的时间e）'r=125,

解得f=6,

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i31

故药物有效时长为6—焚=5石(小时)，

注射一次治疗该病的有效时间长度不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物！小时后

每毫升血液含药量为4义!=0.5(微克)，故C错误.

O

12.已知定义域为R的偶函数段)有4个零点R,X2，X3，X4(X1<X2<X3<X4)，并且当X20时，

共幻=/一以+1,则下列说法中正确的是()

A.实数〃的取值范围是(-8,-2)U(2,+8)

B.当x<0时，J(x)=x2+ax+]

C.X]X2X3X4=1

D.即+2尤2+3冷+4X4的取值范围是[2小，+°°)

答案BC

解析因为/(X)为偶函数且有4个零点，

则当月>0时段)有2个零点，

J=a2—4>0,

即，—a解得a>2,A不正确；

—^->0,

当xvO时，一心>0,则式x)=/(—x)=f+如+1,B正确；

偶函数外)的4个零点满足：XI<X2<X3<X4,

则X3，入4是方程——1=0的两个根，

则有制>0,冗3工4=1且汨=一戈4,X2=—X3,

于是得X1X2&X4=(X3X4)2=1,C正确；

、3

由C选项知，XI+2%2+3%3+4X4=%3+3X4=X3+

工3

3

且0<X3<l,而函数y=x+"在(0,1)上单调递减，

3

从而得乃+；6(4,+8),D不正确.

X3

三、填空题

13.为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加

密密钥密码系统(PrivateKeyCryptosystem),其加密、解密原理为：发送方由明文f密文(加

密)，接收方由密文一明文.现在加密密钥为y=&,如“4”通过加密后得到密文“2”，若

接收方接到密文“士”，则解密后得到的明文是.

答案|

解析由题可知，加密密钥为

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由已知可得，当x=4时，y=2,

21

所以2=kX43,解得％=不=五，

故产看,显然令产看,即虫=方，

解得炉=1,即尸宗

14.若函数於)=er-ln(x+a)在(0,+8)上存在零点，则实数〃的取值范围是

答案(一8,e)

解析由题意可得，函数)，=。*与g(x)=ln(x+a)的图象在(0,+8)上有交点，

当。>0时，gQ)=lna+a)的图象是由函数y=lnx的图象向左平移得到的，由图象可得，若想

两函数图象在(0,+8)上有交点只需要g(o)=ina〈i,即0<a<e；

当aWO时，ga)=ln(x+a)的图象是由函数y=lnx的图象向右平移得到的，此时两函数图象

在(0,+8)上恒有交点，满足条件.综上可得“ve.

\x,xWO,

15.已知函数y=y(x)的表达式为/(x)=|八则函数y=Mx))的所有零点之和为

[logM，x>0,

答案3

解析,.,y(x)=o=Xx=o或X—1,

二欢x))=03/(x)=0或六0=1,

由y(x)=o=>x=o或x=1,

由兀v)=lOx=2,

A0,1,2为函数)，=A/(x))的零点，

，函数y=A/(x))的零点之和为3.

16.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、