2022-2023学年北京顺义区一中高三上学期期中数学试卷及答案

2022北京顺义一中高三（上）期中

数学

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项）

1.已知集合M={x|-l<x<3},#={X|X2<4},那么A/CN=()

A.[-2,-l)u[2,3)B.(-1,2]

C.[2,3)D.[-2,3)

2+i

2.复数-----=()

4-3i

12.12.112.112.

A.----1B,一+一1C.------1D.-------b—1

55552525255

3.已知｛%｝是公差为"的等差数列，为其前〃项和.若S3=3q+3,贝ijd=（）

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知向量r=(2,1),1=(-2,左)且力(2々一5卜则实数★=()

A.-14B.-6C.6D.14

5.设a,b是实数,则“a>5”是/<]”的（）

ab

A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.将函数y=2cosx的图象向右平移'个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的今

（纵坐标不变），得到的函数解析式为（）

A.^=2cos2xB.y=-2cos2xC,y=-2sin2xD,歹=2sin2x

7.设函数/（x）=x/,则（）

A.X=—l为/（x）的极大值点且曲线），=/（x）在点（0J（0））处的切线的斜率为1

B.x=l为/（x）的极小值点且曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线的斜率为2e

c.x=—l为/（x）的极小值点且曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线的斜率为1

D.x=-l为/a）的极小值点且曲线y=/（x）在点（0,/（0））处的切线的斜率为2e

8,若函数/5）=3-2》一“，当xN，时，/（x）W0恒成立，则。的取值范围（）

x3

A.(-co,3]B.[3,+co)C.l^-oo,yD.y,+<xj

9.若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的血倍，且一个顶点的坐标为(2,0),则双曲线的标准方

程为()

10.过点的直线/与圆C:(X-1)2+/=4交于A、8两点，。为圆心，当/4C8最小时，直线/

127

的方程为()

A.2x+y+2=0B.2x+y-2-0C.2x-4y+3=0D.2x+4y-3=0

二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分)

冗

11.在中，A,B,C分别是三边“，b,C所对的角，a=15,6=10,A=—,sin5=

3

12.数列｛6,｝是公差为—2的等差数列，记｛/｝的前〃项和为S“，且4,%,%成等比数列，则4=

；.

13.设函数/(x)=a?+bx+4在x=2处取得极小值，曲线y=/(x)在点(3,/(3))处的切线与直线

y=~x互相垂直，则函数y=〃x)在(-8,o]上的最大值为.

14.设b,万是单位向量，且万.万=0,则(3-云)•伍一丹的最小值为.

2'-l,x<a

15.设函数/,(x)=1/2\，则当4=1时，求/(X)的最小值为__________:若/(X)恰有两

4(£-3x+2),xNa

个零点，则实数。的取值范围是.

三、解答题(本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.已知函数/(x)=asin2x+2cos2x-1,再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：

(I)/(x)的最小正周期；

(II)/(x)的单调递增区间.

条件①：/(x)图像的对称轴为x=?;条件②：=条件③：a=JL注：如果选择多个条件

分别解答，按第一个解答计分.

17.已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S,,,4=2,Ss=14.数列也｝满足a=5,

4=3,且也一见｝为等差数列.

(I)求数列｛4｝和也,｝的通项公式;

(II)求数列｛4｝的前〃项和刀,.

18.在△NBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,B,C成等差数列.

(I)若6=屈,。=3,求边c的值；

(II)/=sin/lsinC,求E的最大值.

19.已知函数/(x)=；/+(〃?-2)

x-2mInx(w<0).

(1)当，”=-1时，求/(X)的单调增区间；

(2)当机K-g时，求证：/(x)一/nr在(O,+e)上是增函数；

(3)求证：当-1〈机<0时，对任意xe[l,+8),/(x)N2m(l-ln2)-2.

Y2

20.已知椭圆C：%+l(a>b>0)的长轴长为4,且离心率为

(1)求椭圆c的方程;

(2)设过点/(1,0)且斜率为左的直线/与椭圆C交于48两点，线段的垂直平分线交x轴于点D

网

求证:|四为定值.

A

21.已知｛恁｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前“项的最大值记为4”最小值记为',令"=片.

(I)若册=2〃(„=1,2,3,…)，写出仇,b2,历的值;

(II)证明：bn+\>b„(n—1,2,3,•■■)；

(III)若｛儿｝是等比数列，证明：存在正整数〃°,当吟〃°时，a,„a„+i,%+2，…是等比数列.

参考答案

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的

一项)

1.【答案】B

【解析】

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合N,再由集合交集的定义求解即可.

【详解】因为集合”={司―1<%<3},7V={x|x2<4}={x|-2<x<2},

所以A/cN={x|-l<x«2}.

故选：B.

2.【答案】B

【解析】

【分析】利用复数运算法则直接求解即可.

2+i_(2+i)(4+3i)8+4i+6i+3i25+10i12.

4-3i(4-3i)(4+3i)16-9i22555

故选：B.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

根据{6,}是公差为d的等差数列，且邑=30+3,利用等差数列的前〃项和公式求解.

【详解】因为{。“}是公差为1的等差数列，且,=34+3,

所以3q+3d-3q+3,

解得d=l，

故选：C

4.【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件求得y-石的坐标，再根据力斯一耳，得到关于左的方程，解之即可.

【详解】•.i=(2,l),B=(—2,左)，

又・・a_L{la-B),

・・・2x6+lx(2—左)=0,解得左=14.

故选：D.

5.【答案】D

【解析】

［分析】通过列举反例即可说明充分性和必要性.

【详解】当a=l,6=—1时，有a>6,但L=1〉L=-1,

ah

故a>人不能推出

ab

当时，有L<4，但a=—1<6=1,

ab

故上不能推出。>b,

ab

故7>/,，，是"±<；，的既不充分也不必要条件

ab

故选：D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式以及函数y=4sin(cox+s)的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析式.

TT

【详解】将函数y=2cosx的图象向右平移5个单位长度,

再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的去(纵坐标不变),

可得到的函数y=2sin2x的图象，

故选：D.

7.【答案】C

【解析】

【分析】对函数/(X)求导，求出函数/(X)的单调性，进而可得出其极值点，由/'(0)=1,可得到在点

(0,/(0))处的切线斜率.

【详解】解：因为/(x)=xe",所以/'(X)=俄+xex=(x+l)ex,

令ra)>o,解得x〉一i,令ra)<o,解得x<-i,

・・../•(刈在(-8,-1)上单调递减，在(-1,+8)上单调递增，

.,”=-1是函数/5)的极小值点，

又/'(0)=1,则曲线y=/、(x)在点(0,7(0))处的切线斜率为1,

故选：C.

8.【答案】D

【解析】

【分析】依题意，当时，。2二一2万恒成立，令g(x)=Z-2x,xN,，则aNg(x)max，利用

3xx3

导数求出g(x)的单调性，进而求得最值得解.

【详解】解：依题意，当xN，时，aN-V—2x恒成立，

3x2

令g(x)=4■-2x,X>^-,则aNg(x)max，又g'(x)=一一2=-2+1]<0,

x3x[xJ

F11

••・g(x)在-,+oo上单调递减，

-3

・••aNg*)max=g(|jJ=9—§2=不25，即此三25

故选：D.

9.【答案】A

【解析】

【分析】根据条件列关于。，b,c的方程组求解即可.

2

【详解】设双曲线的标准方程为二y~

一=1

a5

2a+2b=141c

a=2

由已知得＜a=2解得《

h=2

a2+b2^c2

所以双曲线的标准方程为工-二=1

44

故选：A.

10.【答案】C

【解析】

【分析】可证明当CP，/时N4C8最小，故可求直线/的方程.

取48的中点为连接CN,则CW且|CM4|CP|,

而cos0co=回”4回，当且仅当CP，/时等号成立，

222

k_1一0__2

故/ZC6最小时，CPA.I,此时CP=T7,故直线/的斜率为;,

---1L

2

故直线/的方程为：y=/（x-]]+1，即2x—4y+3=0,

故选：C.

二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）

11.【答案】—##-73

33

【解析】

【分析】利用正弦定理可求sin8.

1015r-r-

【详解】由正弦定理可得硒=^，故布==若，故初人曾吓

故答案为：立.

3

12.【答案】①.8（2）.-"+9"

【解析】

【分析】

由等比数列的性质得城=。「。4,解出囚的值，再结合等差数列的前〃项和公式可得结果.

【详解】因为数列｛q,｝是公差为-2的等差数列，4%，%成等比数列,

所以裙=qq，即(q—4)2=4(q—6),解得q=8；

所以S.-8〃+-------x(-2)=-〃~+9”

故答案为：8,-n2+9n.

13.【答案】—

3

【解析】

【分析】对/(x)求导，根据题意建立关于。，b的方程组，解出。，b的值，进而利用导数可得到答案.

/'⑵=12a+b=01

a——

【详解】解：f\x)=^>ax2+b依题意,(27a+b){_：、，解得经检验，符合题意,

-1

7

f(x)=-^x3-4x+4,f\x)-x2-4=(x+2)(x-2),

易知，当XG(一*一2)时，/'(x)〉0,/(x)单调递增，当xe［—2,0］时，/'(x)<0,/⑴单调递减，

1OR

二函数V=/(%)在(-8,0］上的最大值为/(-2)=-x(-8)+8+4=y.

故答案为：--.

3

14.【答案】1-72.

【解析】

【分析】设"+B与万的夹角为。，根据已知，利用向量的数量积的运算将(1一丹-0-同化为关于。的

三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值.

【详解】)石=0,且,b,♦均为单位向量,

22

小+很卜J(2+0=y]a+b+2(ib=#+12+2x0=0,

|c|=Lc2=1,

・•・("一万)(万一同二万万一(万+1)2+22=i-()+1)・？

设a+B与己的夹角为仇

则(万一3)•(5—=1一5+方|同cos6=1—及cos0.

故(方—弓-0一己)的最小值为i—JI

故答案为：1-&.

15.【答案】①.-1（-co,0]u（l,2]

【解析】

【分析】当。=1时，分别求解两段函数的最小值，取最小值中的最小者可得一（X）的最小值；分别求

»=2*-1与歹=412-3%+2）的零点，再对。分类讨论得答案.

【详解】解：若a=l,则当x<l时,/（x）=2A-l<2-1=1；

当时，/（x）=4（x—|）-1,当x="|时，/（*）的最小值为-1.

・・・/（x）的最小值为-1;

由2'—1=0，解得x=0；

由4（x2-3X+2）=0,解得X=I或X=2.

若aWO,则函数/（x）恰有2个零点，分别为1,2,符合题意；

若0<。41,则函数/（©有3个零点，分别为0,1,2,不符合题意；

若1<aW2,则函数/*）有2个零点，分别为0,2,符合题意；

若。>2,则函数/（x）有1个零点0,不符合题意.

综上所述，满足题意的实数。的取值范围是（一8,0]口。,2].

故答案为：-1;（-co,0]u（l,2],

三、解答题（本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.【答案】（I）答案见解析；（II）答案见解析.

【解析】

【分析】

选①（I）逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得/（幻=朽^^皿2》+9），根据对称轴求

得S的值，进而求得。的值，得到函数的解析式，求得最小正周期；

（II）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得/"）的递增区间.

选②⑴逆用余弦的二倍角公式降事得到/（x）=asin2x+cos2x,根据选择的条件求得“的值，得到函数

的解析式，并利用辅助角公式化简，然后求得了（x）的最小正周期：

（II）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得“X）的递增区间.

选③逆用余弦的二倍角公式降幕后，使用辅助角公式化简得到/（X）=2sin（2x+工）

6

然后求得/（X）的最小正周期；

（II）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求得/（X）的递增区间.

【详解】选①（"X）图像的一条对称轴为X=[）

8

国军：(I)/(x)=tzsin2x+2cos2x-1

2

=asin2x+cos2x=y/a+1J“sin2x+:，cos2x

17771V^+i

=7a2+lsin(2x+^)(其中tan°=一)

a

rr

因为/(x)图像的一条对称轴为X=—

o

所以fg)=Jr，+1sin(—+⑼=±\la2+1

84

即有%"+夕=kji+—,keZ

JI

所以9=左1+—

4

71冗|

所以tane=tan(左44--)=tan—=1=—

44。

.a=l

故/(x)=&sin(2x+马

4

2乃2万

所以/（X）的最小正周期为：T=「=F=兀

⑷2

7T717T

(II)・・•一一+2ki<2x+-<-+2左乃,keZ

242

3万冗

：.--+2k7V<2x<上+2k7T,kGZ

44

34,,,兀、,

------冗<x4—+k7T,keZ

88

37171

所以fM的递增区间为［--+k为一十%力keZ

88

选②（吗）=D

解：(I)f(x)=«sin2x+2cos2x-1

=asin2x+cos2x

f(?)=asin]+cosy=1

:.a=\

f(x)=sin2x+cos2x

=亚sin2x+cos2x)

=V2sin(2x+—)

4

.2〃24

所以的最小正周期为：T=-~~-=—=^

⑷2

TTT[TT

(II),/——+2k兀<2x+—<—+2左乃,keZ

242

3万71

-----+2ki<2x<—+2k兀,kGZ

44

-----+k冗<x<一+左肛％GZ

8--------8

所以/(x)的递增区间为[-苧+k乃，9+4)],keZ

oo

选③(fl=V3)

解：(I)/(x)=V3sin2x+2cos2x-1

=V5sin2x+cos2x

=2(-^-sin2x+—cos2x)

7T

=2sin(2xd——)

.2万2乃

所以的最小正周期为：T=—=—=7U

⑷2

7TT[TT

(II)・•・一一+2k兀<2x+-<-+2左肛keZ

262

--<2x<—+2k7r,keZ

33

TTTT

——+k兀<x<—+k7r,kGZ

36

所以/(X)的递增区间为[-f+k花2+无幻,keZ

36

【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的性质，关键是逆用余弦的二倍角公式降幕后，并使用

辅助角公式化简.

17.【答案】(I)an=2","=2"-4〃+7,〃eN*(II)7；=2向-2/+5〃—2,〃eN*.

【解析】

【分析】⑴设公比为,，公差为d,再利用基本量法求解即可.

(II)由(I)可知〃=2"-4〃+7,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.

【详解】解：(I)设等比数列｛%｝的公比为/等差数列他,-4｝的公差为d.

因为％=2,83=q+%+%=14,所以+q-6=0.

解得q=2或夕=-3(舍).

又因为4-q,与一2也一％成等差数列，

所以(4一四)=(4-q)+2d.

解得d=-4.

所以。“=2"也=2"-4〃+7,〃eN*.

(H)由(I)知,2=2"-4〃+7.

因此数列｛4｝的前〃项和为7；=(2+2?+…+2")-4(1+2+…+〃)+7”,

所以,数列也J的前〃项和为*=2田一2/+5〃-2,〃eN*.

【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法，同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.

3

18.【答案】(I)4；(II)

【解析】

【详解】试题分析：(D由4民。成等差数列求得5的值，再由余弦定理求得。的值；(II)因为

A+C=—,利用两角和差的正弦公式化简函数t的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得t的

3

最大值.

试题解析：(I)因为角/，2，C成等差数列，所以28=/+C,

71

因为4+8+。=笈，所以8=—..................2分

3

因为6=,。=3，b2=a2+c2-2accosB，

所以。2-3C-4=0,

所以c=4或c=-l(舍去).

27r

(II)因为力+C=—,

3

所以，=sin4sin——cos4+—sin/

22

cos24

._.、,八.2万――..7C77T

因为0<4<—,所以---<24---<—

考点：三角函数的基本性质.

19.【答案】(1)见解析；

(2)见解析；(3)见解析.

【解析】

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性；

(2)利用判别式可判断导数的符号，从而可证函数在(0,+力)上是增函数；

(3)结合(1)的讨论可求函数的最小值，从而可证不等式成立.

【小问1详解】

/，()+(w-2)x-2w(x+w)(x-2)

XX

当m=-l时，=,

当0<x<l或x>2时，/'(x)>0；当1<X<2时，/'(x)<o,

故/(x)的增区间为(0」),(2,+e)，减区间为(1,2).

【小问2详解】

、几/\\,/、x2+(m-2]x-2mx2-2x-2m

设g(x)=/(x)-wx,则g，(x)=---------2----------m=-----------------

XX

当加〈一1时:A=4+8〃?W0,故》2—2》—2〃?20恒成立且不恒为零，

2

故g'(x)20在(0,+0上恒成立且不恒为零，故g(x)在(0,+力)上为增函数.

【小问3详解】

、(x+加)(工一2)

,(力=^——弋~~

当x>2时，/'(x)>0：当l<x<2时，/，(x)<0,

故/(x)在(1,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数，

故在[L+OO)上，=/(2)=2+2(/M-2)-2mIn2=2w(l-In2)-2,

故〃x)N2冽(-ln2)—2成立.

20.【答案】(1)工+匕=1

43

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求出a,b后可得椭圆的方程；

(2)设直线/的方程为y=Mx—1),用斜率左表示后可证前为定值.

【小问1详解】

由题设可得4=2,

C1

设椭圆的半焦距为C,则一=一，故c=l,故力=道,

a2

22

故椭圆的方程为：—+^=1.

43

【小问2详解】

当左=0时，l:y=0,此时|AB|=4,而。（0,0）,故|。尸|=1,故幽=4

当比H0时,直线/的方程为卜=%（》一1）,/（再，必）,8（孙必）,

由可得（3+4左2*一8炉x+4k2一12=0,

3x2+4y2=12'7

此