陕西省咸阳市2023届高三高考模拟（三）文科数学试题

陕西省咸阳市2023届高三高考模拟（三）文科数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.设集合Z={xeN*|-l<x43},则集合4的真子集个数是（）

A.6B.7C.8D.15

2.已知复数2=",则复数Z的虚部是（）

1

A.—2B.—2iC.2D.3

3.如图，在“8C中，点。为3c边的中点，O为线段的中点，连接CO并延长交N8

于点E,设在就=加，则酝=（）

R

4.已知方程sina+2cosa=0,则cos2a-sinacosa=()

5.已知函数/（x）的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（）

B.f(x)=——

cosx

C./(X)=eAcosxD./(x)=exsinx

6.已知正三棱锥4-8CO的所有棱长均为2,点M,N分别为棱4。和6c的中点，点

E为棱4B上一个动点,则三角形用EN的周长的最小值为（）

A.3B.2+J2C.1+V2+V3D.4+J2

试卷第1页，共4页

x-y>l,

7.若实数x,y^^2x-y<4,,则x+y+1的取值范围为()

^>0,

A.[1,5]B.(1,5)C.(2,6)D.[2,6]

闾且,⑺

8.已知函数/(x)=2sinax-^](a)>0),对任意xeR,恒有/(x)4

在上单调递增，则下列选项中不正确的是（）

A.co=2

B.函数/（幻的对称轴方程为工=与+]（攵eZ）

c.y=/（x+]j为奇函数

D./（x）在-：,丁上的最大值为更

144」2

9.已知实数x,ye[0,2],任取一点（x,y）,则该点满足f+/2的概率是（）

,71

A，-B.1——

A84

兀

c1--D.-

■84

1

,12022COS----------,|/、

10-已知“一2023'6=e，c=2023，则n()

'2023

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.a>c>b

11.已知等差数列｛《,｝,也｝的前〃项和分别为S“，T„,若（2〃+3电=〃7；,则£=

（）

〃9-11

ABC—D—

-I-i•25*25

12'已知抛物线"A""）,把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体，在

该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大

值为（）

432256

A.4兀B.—71C.——7TD.-----兀

333

二、填空题

13.若一数列为2,7,14,23,…，则该数列的第8个数是

试卷第2页，共4页

14.已知△AfiC的三个内角力、B、C所对的边分别是〃、b、c,若〃cosC+ccosN=3,

且/+c?=9+QC，则6=.

15.已知/CO是定义在R上的偶函数，当xNO时，/(x)=e*-cosx,则不等式

/(x-l)-l<eR的解集是.

16.已知耳，鸟是双曲线C:片-口=1的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象限上

54

一点，设/,G分别为死的内心和重心，若/G与y轴平行，则

丽.丽=.

三、解答题

17.从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份，分别统计出这些试卷总分，由总

分得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100份数学试卷的样本平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)在样本中，按照分层抽样从数学成绩不低于125分的试卷中抽取6份，再从抽取的试

卷中随机抽取出2份试卷进行答卷分析，求至少有一份试卷成绩不低于135分的概

率.

18.如图，三棱柱”。-45£的侧面网CC是边长为1的正方形，侧面网GC，侧

面44e8,4B=4,N4,8=60。，G是4月的中点.

试卷第3页，共4页

(1)求证：平面G8CJ.平面8AGC；

(2)若尸为线段8c的中点，求三棱锥/-P8G的体积.

19.已知数列｛%｝满足%-2a,=〃-1,且4=1.

⑴求数列上｝的通项公式；

(2)数列｛叫的前〃项和为E,，若5“<2023,求〃的最大值.

20.已知椭圆C:[+，=l仅>6>0)的左，右焦点分别为大，心，离心率为日，M

为椭圆C上的一个动点，且点/到右焦点亮距离的最大值为2+G.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知过点名的直线/交椭圆C于/,B两点,当的面积最大时，求此时直线/

的方程.

21.已知函数[(x)=x2+xlnx-ox,g(x)=ae~2x+x2.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程；

(2)若函数/(x)和g(x)有相同的极值点看,求实数〃的值.

[x=a-2tlTT

22.直线/：,(t为参数),圆C：0=2拒sin(9+：)(极轴与X轴的非负半轴重

[y=-l+f4

合，且单位长度相同).

(1)求圆心C到直线/的距离：

(2)若直线/被圆C截得的弦长为华，求〃的值.

23.已知定义在R上的函数/(x)=|x-l|+|x+2]的最小值为p.

(1)求p的值；

(2)设"cwR,a2+2h2+3c2=2p,求证：p+2ft+3c|<6.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】由题意列举出集合A中的元素，再用真子集个数公式2"-1（〃为集合中元素个数）

计算即可.

【详解】因为Z={xeN*|-l<x43},

所以力={1,2,3},

所以集合4的真子集个数是2,-1=7,

故选：B.

2.A

【分析】根据复数的除法运算求解z,即可得结果.

【详解】由题意可得：z=3=J±=-3-2i,

11

所以复数Z的虚部是-2.

故选：A.

3.C

【分析】设存=4万，再根据平面向量基本定理分别表示由，无，进而根据向量共线设

2=-

CE=pCO,代入向量可得;，进而得到近.

I〃=一3

【详解】设荏=2万，则怎=荏-%=而-石，又

Cd=LcA+LcD=AAC+-CAB-AC\=-AB-^AC=-a--b,

2224、,4444

设区=〃函，贝!|4万一5=〃（；）_:很），

\Afo_1

A=­X=—

43

故…即",

3〃4

-1=------〃=—

4I3

故CE=-CO=±G—b.

33

故选：C

4.B

【分析】由已知可得tana=—2,cos?a-sinacosa用齐次式方法处理后得］将

tan-a+1

答案第1页，共16页

tana值代入即可得出答案.

【详解】方程sina+2cosa=0,化简得tana=-2,

cos2a-sinacosacos2a-sinacos«

贝ijcos2a-sinacosa=

1sin2a+cos2a

分子分母同时除以cos2a可得：cos-a-sina8Sa1-tana

sin'a+cosatan2a+1

->.1-tancr、IP)=3

将tana=—2代人可得cos-a-smacosa--------------

tan-a+1(-2『+15,

故选：B.

5.D

【分析】利用排除法，结合函数图象，利用函数的定义域和导数研究函数的单调性，依次判

断选项即可.

【详解】由图象可知，函数/(x)的定义域为R.

A：/(x)=-£-,函数/(x)的定义域为{x|x*E,左eZ},所以A不符题意；

B：/(x)=—,函数/(x)的定义域为+所以B不符题意；

cosX〔2J

C：当0cxe%时,/(x)=evcosx,则f\x)=ex-cosx-ersinx=er(cosx-sinx),

当0<x<2时，fr(x)>0,当四<x<兀时，fr(x)<0,

44

所以/(X)在(o,：)上递增，在(:，兀)上递减，所以是函数的极大值,

结合图形，不是极大值，故C不符题意；

D：当0<x<兀时，/(x)=ex-sinx,

贝ff(x)=e'•cosx+ex-sinx=e'(cosx+sinx),

当0<xv—时，/'(x)>0,当—<x<兀时，/'(R)<09

44

所以/(X)在(0,牛］上递增，在上递减，结合图形，D符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】将侧面N8C和侧面18。展开为一个平面，求出ME+NE最短时的长度，再计算出

的长度即可.

【详解】根据题意，将正三棱锥的侧面Z8C和侧面/BD展开为一个平面，如图所

答案第2页，共16页

小，

当点M,N,E在同一直线上时，ME+NE最短,

因为正三棱锥/-BCD的所有棱长均为2,

所以40=08=8C=4C,即四边形493C为菱形,

又因为点"，N分别为棱力。和8C的中点，

所以四边形/MM?为平行四边形,

所以MN=/C=2,

下面求MV的长；

连接。N,过点A和点N作49,平面/8C,平面48C,垂足为点。和点P,

因为三棱锥A-BCD为正三棱锥，

所以点。和点尸在底面/8C的中线CN上，且点0为等边三角形/8C的中心，

则CN=；8C=1，DN=>JCD2-CN2=>/22-12=x/3-

所以NP=DO=^DN=W"

33

因为/O_L平面48C,平面/8C,0Z）u平面Z8C,

所以AO//MP,AO1OD,则例PJ.。。，

又因为点M为中点，所以

2

在RMN。。中，/0=J心_DO?=J_（半）2=半,则A/p=9，

在中，MN=y)MP2+NP2=)2=3>

所以三角形MEN的周长的最小值为NE+ME+MN=2+&，

故选：B.

答案第3页，共16页

A

7.D

【分析】根据不等式组作出可行域，如图，当直线z=x+y+l经过点8时，z取得最小值,

当经过点4时，z取得最大值，求出点/、8的坐标即可求解.

【详解】由不等式组，作出可行域，如图，

令2=》+、+1,则y=x+l_z,作直线V=x,

平移直线了=》，当直线经过点8时，z取得最小值，

当直线经过点力时，z取得最大值，

又8(1,0),此时z=2,

[y=x-l

由.、/解得x=3j=2,即"(3,2),止匕时z=6,

[y=2x-4

所以2=》+了+1的取值范围为[2,6].

【分析】根据三角函数的对称性和单调性求得0=2,进而求得f(x)=2sin(2x-利用

整体代换法，结合奇偶函数的定义和三角函数的最值依次判断选项即可.

【详解】A：由题意，VxeR,恒有图，

所以“三是函数/(x)的一个最高点，即三+左eZ,

3362

得口=2+3A,左GZ.

答案第4页，共16页

又函数/（X）在（0,；）上单调递增，贝1]0＜》＜弓=＞（0、-弓）€（-[,（0-弓）,

又函数N=sinx的单调递增区间为1-5+2而，1+2标）,AeZ,

所以（一不,10_不）=1_2+2%兀,]+2版＞％€2,

兀…,兀f,’1

-----F2EW—kJ一

即26,kwZ,解得6,JeZ,

兀…兀兀，、/1

—+2KTI＞—CD—k＞----

124683

当左=0时，0）=2,此时4左＜:，符合题意；

126

71

当左=1时，3=5,此时二4%4二，不成立，故不符合题意，

246

所以0=2.所以/（x）=2sin（2x-。.故A正确；

ITJTJTk

B：令2x——=—+kii,keZ,解得x=—+—兀,攵£Z,

6232

ITk

即函数的7（x）的对称轴为x=§+5兀#eZ,故B正确;

C：/1x+^|J=2sin2(.r+-jy=2sin2x,令g(x)=/[x+^-\=2sm2x,

JT

则8（-%）=25布（一2%）=一25布2%二-8（幻，即函数/（工十二）为奇函数，故C正确;

「兀’/兀2兀“入兀，兀

D：—4x4-=---W2xW-

44363

因为函数P=sinx在卜年,一!）上单调递减，在卜卦）上单调递增,

所以函数〃x）在上，-2＜/（x）＜V3,即函数/（x）的最大值为百，故D错误.

故选：D.

9.C

【分析】根据几何概型的方法，求出x,'=[0,2]表示的区域中满足的面积所占

的比例即可.

【详解】设。={（X/）|0WXW2,0VX42},则在平面直角坐标系中画出平面区域复，如图所

示，

则平面区域。的面积为：2x2=4,

圆/+/=2的圆心为（0,0）,半径为夜,

答案第5页，共16页

则在夏中满足尤2+_/>2的面积为：4-（x?rx（及）2=4-],

4_7r

则C中的点满足》2+『22的概率口4-5,兀，

48

故选：C.

【分析】构造函数/（x）=e'-x-l,利用导数分析单调性即可得出〃<6；由

1

0<cos-1-<1,可得cos遍1进而求解.

2023C-^02F2023"

【详解】设/（x）=e"x-l,

所以r(x)=e、-l,令"x)<0nx<0,令((x)>0nx>0,

所以函数/（x）在（一*0）上单调递减，在（0,田）上单调递增,

则〃x)"(0)=0,即e'-x-IWO,得e*Nx+l.

一些70??1

所以b=e2。23>一£^£+1=_!_=4,即Q<b;

20232023

1

又0<8S专<匕所以，cos

2023<」_=&'即C<"，

20232023

所以c〈a<6.

故选：B.

11.A

Sn

【分析】由（2〃+3电=吃,得V■，再根据等差中项的性质及等差数列前〃项和公

式进行计算即可.

,Sn

【详解】由（2〃+3电=〃北,得亍n=2〃+3

答案第6页，共16页

9（q+%）

收。5,2%不q+砌_—一1:59.9彳3

bs2bs4+699,+4）7；2x9+37-

2

故选：A.

12.C

【分析】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，设此时球与

平面xp的交点为尸（%,”）,球心为半径为r,利用导数的几何意义求出产处的切线方

程，利用点到直线的距离公式、两直线垂直斜率之积为-1计算化简，求出厂，结合题意和球

的体积公式即可求解.

【详解】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，

设此时球与平面X。的交点为P（x°，K）,球心为«,半径为r,

则%）=；片，O/O,S-r）,

设抛物线在点P处的切线为/,贝1"，。声,且Q到直线/的距离为r,

y=^x2y'=­x,所以直线/方程为y-%=!xo（x-Xo）,

4ZZ

即3守-夕+%-；w=0,所以点a到直线的距离为

111

%x0-1x（8-尸）+j%一汇7_（8-r）一4%9）

rr-,二一=%），

4（户7+（T）-《片+1

又批w=1,即290_/°=1，

整理得8-厂=2+%；,代入①式，

-（8一厂）-卜：卜-卜：2+白；_

“卜；卜+产，

因为球始终与该几何体的底部相接，所以点「为原点,即/=0,此时尸=Jx；+4=2,

44

所以球的最大体积为乃万x2'=?乃.

故选：C.

答案第7页，共16页

【分析】根据题意可得数列的通项公式，进而可得结果.

【详解】由题意可得：2=l2+2xl-l,7=22+2x2-l,14=32+2x3-l,23=42+2x4-l,---,

可得知="°+2〃-1.

所以。8=82+2x8-1=79.

故答案为：79.

14.y/60*

【分析】如图，根据解三角形可得6="cosC+ccos/,进而6=3,则结

合余弦定理计算即可求解.

【详解】如图，在“8C中，过B作8OL4C于点。，

得DC+AD=acosC+ccos/,即6=acosC+ccosA,

又acosC+ccos/=3,所以6=3.

由/+c?=9+ac，^a2+c2-b2=ac>

由余弦定理得cos8=a"i--=i,

2aclac2

又0<8<180°,所以8=60°.

故答案为：60.

15.（1-兀/+兀）

【分析】利用导数判断当xNO时，/（X）的单调性，结合偶函数解不等式.

答案第8页，共16页

【详解】当xNO时，f(x)=ex-cosx,/^(x)=ex+sinx>1+sinx>0,

则/（x）在［0,+e）上单调递增，

因为/（x）是定义在R上的偶函数，则/（x）在（—,（）］上单调递减，

若/（x-l）-l＜e\即/（x-l）＜e"+l=/（兀），

可得|x—1|＜兀,解得1—兀＜X＜1+兀,

所以不等式的解集是（1-兀,1+兀）.

故答案为：（1-兀,1+兀）.

16.68

【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得闺山-|巴力|=2石、

|耳闻+优4=6,进而求得巧=追，则毛=%,由重心的定义有Xc=x°+c；（-c）,求出吃,

求得”（3右,4近）,利用平面向量数量积的坐标表示计算即可求解.

【详解】由题意知〃=石力=2,c=3.

如图，。/为△A/6用的内切圆，切点分别为工、B、C,设"（乙,%）,

则忸C|=\FtA\,\MC\=\MB\,\F2^=\F2B\,由双曲线的定义知,

\MFt\-\MF2\=2a,即|MC|+忸Q+内叫）=怩/卜内川=2a=2心,

又旧山+优/|=2c=6,所以忸⑷=3+.,|居/卜3-君,

得|。川=|耳/卜c=3+J?-3=6，即匕=石.

又△峙工的重心G与内心/的连线平行与y轴，即/GJ_x轴于点/,

所以即=%•

因为%=x°+c；（-c）=］,所以4=3%=3巧=3指，

代入双曲线方程，得1"），7,解得%=4&,即"（3右,4&）,

54

又耳（-3,0）,月（3,0）,所以砒=（-3-3后,-4及）,丽=（3-3右,一4夜）,

答案第9页，共16页

所以丽.丽=（3-3石）（-3-3石）+（-472）2=68.

故答案为：68.

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合求平均数的方法计算即可求解：

（2）由题意设位于［25,135）的4份分别记作4B,C,D,位于［135,145］的2份分别

记作a,h.利用列举法，结合古典概型的概率公式计算即可.

【详解】（1）由题意，这100份数学试卷的平均分为

60x0.02+70x0.08+80x0.14+90x0.15+100x0.24

+110x0.15+120x0.1+130x0.08+140x0.04=100.

所以这100份数学试卷的平均分为100分；

（2）抽查的100份试卷中，成绩位于区间［125,135）的有8份，位于区间［135,145］的有

4份，

共计12份试卷.从中分层抽取6份，

设其中位于区间［25,135）的4份分别记作4B,C,D,位于区间［135,145］的2份分别

记作a,b.

从6份试卷中任取2份试卷的所有可能情况有

AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bh,CD,Ca,Ch,Da,Db,ab,共计15种结果,

且每个结果的发生是等可能的.

至少有一份试卷成绩不低于135分的情况有：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,ab,

共计9种结果.

93

■■■P（至少有一份试卷成绩不低于135分）=

答案第10页，共16页

即至少有一份试卷成绩不低于135分的概率,为3:

18.（1）证明见解析

【分析】（1）在AG8R中，由余弦定理求出GB,由勾股定理逆定理得出G8L8A，再说明

G8J•平面88CC和G8u平面GBC,即可证明；

3

（2）由七”《；=匕,_谢;，说明尸8为三棱锥/-486的高，即可求出体积.

【详解】（1）在△G8g中，GB、=；AB=2,BB}=\,乙4田田=60。，

则在AGB、B中，由余弦定理得GB=《GB；+BB；-2Gq.BB、cos///田=百，

因为BB；+GB2=12+（0门=4=GB：,即GB：=BB；+GB2,

所以G818片，

由已知平面BBGC1平面AA^B,且平面BSCCn平面AAtBtB=BB、,

又G3u平面//田田，故G8_L平面88CC，

又GBu平面GBC,则平面GBC1平面BB£C.

（2）由题意知，乙-PBG=%-ABG>

由（1）知，GB,平面8B℃,8。匚平面886。，

则8C1G8,

又BCIBB、,且GBCBB]=B,G8,881u平面,

可得8CJ"平面”4四8,因此尸8为三棱锥尸-48G的高，

因为N448=60°,NGBB\=90°,

所以48G=30。，

又/.=gsin4BGx/8x8G=Kx4xG=5

所以匕耽=-xS.„xPB=-xV3xl=—.

A-PliGP-ABG3AtSAo（rj326

答案第11页，共16页

19.(\)a„=2"-n

(2)10

【分析】（1）根据题意中的递推公式可得等等=2,则数列｛/+〃｝是以2为首项，2

为公比的等比数列，结合等比数列的通项公式即可求解；

（2）由（1）,利用分组求和法，结合等差、等比数列前〃项求和公式计算可得

5=21-2-器辿＜2023,求出小、配即可求解.

【详解】⑴=〃-1,且4=1,

:.〃〃+[+〃+1=2an+2〃=2(an+n).

由于％=1,则q+1=2w0,・・.+〃w0.

・•・数列｛4+〃｝是以2为首项，2为公比的等比数歹

得%+〃=2-2"T=2",则4=2”一〃，

即数列｛/｝的通项公式为=2"-〃.

（2）,:a“=2"-n,

•••S”=《+的+%+…+a”

=(2-l)+(2*2-2)+(23-3)+---+(2"-n)

=."I2〃5+1)

一-2--

...S„<2023,即2"'一2一<2023,

当〃=10时，2"+1-2-/?(/?+1)=1991；当a=11时，2,,+'-2-/,(/,+1)=4028.

22

满足，<2023的〃的最大值为10.

2

20.(l)；r+/=i

(2b+。_退=0或》_。_石=0.

答案第12页，共16页

【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得£=且、a+c=2+上,结合/=从+。2求

a2

出a、6即可求解；

（2）设直线/的方程为》=啊+百，4和%），8（%,力）,联立椭圆方程，利用韦达定理表

示X+%、y仍,根据弦长公式表示凡用3,结合基本不等式计算即可求解.

【详解】（1）椭圆C的离心率为g=正，

a2

又点M到右焦点工距离的最大值为2+6，即a+c=2+g,

解得a-2,c=>/3.

又由/=从+。2,可得b=l.

椭圆C的方程为：—+/=1.

4

（2）由题意，设直线/的方程为x=您+百，

[%22।

联立，4“得（加2+4）/+2为〃少-1=0,

x=my+百，

设力（再，必），8a2，%），

-2百〃?1

则%+%=必为=一

tn2+4m2+4

以平8=j与用回-%|=6>/（必+%）2-4必%

=4色叵巨<^=2

=4百-------

〃广+4J.2+1+2V3

J加2+1

当且仅当心=7总即加=±及时取等号.

••・所求直线/的方程为X+肉-百=0或X-0-6=0.