2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习：核心素养测评十一

核心素养测评十一

函数与方程

巩固提升练(3。分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.函数f(x)=2L?-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是

()

A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)

【解析】选C.因为f(x)在(0,+8)上是增函数，则由题意得f(l)・f(2)=

(0-a)(3-a)<0,解得0<a<3.

2.已知函数f(x)=(口-logx,若实数x是方程f(x)=0的解,且x<x,则f(x)的

U30011

值()

A.恒为负B.等于零

C.恒为正D.不大于零

【解析】选A.由于函数f(x)=G)Tog'x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)=0,

当x〈x时,一定有f(x)<0.

011

3.(2020•泰安模拟)已知函数f(x)=G)-cosx,则f(x)在［0,2n］上的零点个

数为()

-1-

A.1B.2C.3D.4

【解析】选C.作出g(x)=G)与h(x)=cosx的图象(图略)，可以看出函数g(x)

与h(x)在［0,2n］上的图象的交点个数为3,所以函数f(x)在［0,2n］上的零点个

数为3.

4.(2020•福州模拟)已知f(x)42z+1，*工°，则方程f(f(x))=3的根的个数

.lux,x>0,

是()

A.6B.5C.4D.3

【解析】选B.令f(x)=t,则方程f(f(x))=3即为f(t)=3,解得t=e-3或e3,作出函

数f(x)的图象(图略)，由图象可知方程f(x)=e-3有3个解,f(x)=e3有2个解，则

方程f(f(x))=3有5个实根.

5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2020-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则

下列不等式正确的是()

A.a>c>b>dB.a>b>c>d

C.c>d>a>bD.c>a>b>d

【解析】选D.f(x)=2020-(x-a)(x-b)=-X2+(a+b)x-ab+2020,又f(a)=f(b)=

2020,c,d为函数f(x)的零点，且a>b,c>d,所以可在平面直角坐标系中作出函数

f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d.

二、填空题(每小题5分，共15分)

-2-

6.(2018,全国卷HI)函数f(x)=cos(3x+三)在［0,兀］上的零点个数为

[解析]令f(x);cos(3乃+乙)=0,得3x+-=-+kn(k£Z),即x=-+Akn,

I,£丿6292

当k=0时，x=^£[0,n],当k=1时，x=生£[0,n],当k=20^,x=—G[0,n],所以

999

f(x)=cos(3x+力在［0,n］上零点的个数为3.

答案：3

7.已知函数f(x)=f°%"+Vfx>0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实

(-z2-2匕x<0,

数m的取值范围是.口

【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化

为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象，则直线y=m与其有3个公

共点.又抛物线的顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).

答案：(0,1)

8.设函数丫=乂3与y=H)“2的图象的交点为(x,y),若x£(n,n+1),n£N,则x所

oooo

在的区间是.「I

【解析】设f(x)=x3-ey1则x。是函数f(x)的零点，在同一平面直角坐标系下

作出函数y=X3与y=(2)’'的图象如图所示

-3-

因为千(1)=1-(3f(2)=8-GJ=7>0,所以f(1)彳(2)<0,所以x°£(1,2).

答案：(1,2)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.设函数f(x)=1-丄(x>0).

T

(1)作出函数f(x)的图象.

(2)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求丄+丄的值.

ab

⑶若方程f(x)初有两个不相等的正根，求m的取值范围.

【解析】⑴如图所示.

--1,(0,1」，

(2)因为f(x)=1-1=.X

X1-+8丿,

故f(X)在(0,1］上是减函数，而在(1,+8)上是增函数.

由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,

且所以L£=2.

nhnh

-4-

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y=m有两个不

同的交点，即方程f(x)二m有两个不相等的正根.

10.已知二次函数f(x)=X2+(2a-l)x+l-2a,

(1)判断命题：”对于任意的aER,方程f(x)=l必有实数根”的真假,并写出判断

过程.

⑵若y=f(x)在区间(-1,0)及(0,》内各有一个零点,求实数a的取值范围.

【解析】(D"对于任意的a£R,方程f(x)=l必有实数根”是真命题.依题

意，f(x)=1有实根，即X2+(2a-1)x-2a=0有实根，因为△二(2a7)2+8a=(2a+1)220

对于任意的aGR恒成立，即X2+(2a-1)x-2a=0必有实根，从而f(x)=1必有实根.

⑵依题意，要使

(f(-1.)>0,p-4«>0,

只需1丿vo,即｛1一2。<0,

［心。，3>。，

解得Uad.故实数a的取值范围为H

综合运用练(15分钟35分)

1.(5分)函数f(x)=(x+l)InxT的零点有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解析】选B.由f(x)=(x+1)InxT=0,得Inx二」—,作出函数y=lnx,y二——的

£+11

图象如图，

-5-

由图象可知交点个数为1,即函数的零点个数为1.

2.(5分)(2019•郑州模拟)设m£N,若函数f(x)=2x-mJlQ^+10存在整数零点,

则符合条件的m的取值个数为()

A.2B.3C.4D.5

【解析】选C.令f(x)=0,得2x+10=m［iQ—x，则有-5WxW10,

因为meN,x£Z,

所以当mHO时，［10-x^N,

所以x可以取1,6,9,10,相对应m的值为4,11,28(其中x=10时m的值不存在),

又当m=0,x=~5也符合，所以符合条件的m的值共有4个，选C.

3.(5分)(2020•黄冈模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(-x).

当x£［0,1］时,f(x)=2x-l,则函数g(x)=(x-2)f(x)-1在区间［-3,6］上的所有零

点之和为()

A.2B.4C.6D.8

【解析】选D.由题意得,f(x+2)=-f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4.

因为千(x+2)=f(-x),所以千(x)的图象关于x=1对称.

-6-

作出f(x)图象如图所示，函数g(x)=(x-2)f(x)-1的零点即为y=f(x)图象与

y--图象的交点的横坐标,四个交点分别关于点(2,0)对称，则x+x=4,x+x=4,

X-21423

即零点之和为8,故选D.

【变式备选】

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x20时,f(x)=a|x-2|-a,其中a

为常数,且a>0.若函数y=f(f(x))有10个零点,则实数a的取值范围是

【解析】当x20时,令f(x)=0,得|x-2|=l,即x=l或x=3.因为f(x)是偶函数,

则f(x)的零点为x=±1和x=±3,作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.

令f(f(x))=0,则f(x)=±1或千(x)二±3.因为函数y=f(f(x))有10个零点，则函

数(x)的图象与直线y=±1和y=±3共有10个交点.由图可知，1<a<3.

答案：(1,3)

1

4.(10分)已知函数f(x)=-X2-2x,g(x)=..XH----.X>0.

lx+1,x<0.

(1)求g(f(l))的值.

⑵若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围.

-7-

［解析］⑴利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.

⑵令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-8,1)上有2个不同

的解，则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交

点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图，

由图象可知，当1Wa<m时，函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点，即所求a

4.

的取值范围是L1).

5.(10分)已知函数f(x)=-X2+2ex+m-l,g(x)=x+—(x>0).

上

(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.

(2)确定m的取值范围，使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.

【解析】⑴因为g(x)=x+弓22\：/=2e,

X

等号成立的条件是x=e,

故g(x)的值域为［2e,+8),

因而只需m22e,则g(x)=m就有零点,

即m的取值范围为［2e,+8).

⑵函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点，

即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,

-8-

即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,

作出g(x)=x+—(x>0)的图象.

因为f(x)=-X2+2ex+m7=-(x-e)2+m7+e2,其对称轴为x=e,开口向下，最大值为

m-1+e2,

故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两

个相异实根.

所以m的取值范围是(_e2+2e+1,+°°).

【拓广探索练】

1.(2019•济南模拟)已知函数f(x)=e「er+4,若方程f(x)=kx+4(k>0)有三个不同

的实根x,x,x,则x+x+x=.

123123

【解析(x)=kx+4(k>0),即ex-e-x=kx,所以y=ex-e-x与y=kx有三个不同的交点,

12

且都是奇函数.因此x+x+x=0.

123

答案：0

2.(2020・嘉兴模拟)已知函数f(x)=|x-2k|,xG[2k-l,2k+l](k£Z),则函数

g(x)=f(x)-lgX的零点个数是()

A.5B.7C.9D.11

【解析】选C.函数g(x)=f(x)-lgx的零点转化为y=lgx与(x)的交点，给k

赋值,作出函数y=f(x)及y=lgx的图象，从图象上看，共有9个交点，所以函数

g(x)的零点共有9个，故选C.